Le raisonnement par récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n>0$, $u_n+1 = \sqrt{u_{n+1}}$

On montre par récurrence que tous les termes de la suite $(un)$ sont strictement positifs et que la suite est croissante.

Rappel

Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq u_{n+1}$

Il s’agit de démontrer que $0 < u_n\leq u_{n+1}$

Commençons par noter $(P_n)$ la proposition $0 < u_n\leq u_{n+1}$

• Initialisation

$u_0 = 1$ et $u_1 = \sqrt {u_0+1} = \sqrt {(1+1)} = \sqrt 2 $

On a bien $ 0 <1 < \sqrt 2 $ donc $0 < u_0\leq u_1$

• Donc la proposition $P_0$ est vraie.
• Hérédité

Supposons la proposition $(P_n)$ vraie pour un certain entier $n$, c’est-à-dire : $0 < u_n\leq u_{n+1}$

• C’est l’hypothèse de récurrence.

Montrons que la proposition $(P{n+1})$ est vraie (c’est-à-dire : $0 < u_{n+1}\leq u_{n+2 }$), ce qui est équivalent, en utilisant la définition de la suite $(u_n)$, à :

$0<\sqrt {u_n+1} \leq {\sqrt{ u_{n+1} +1}} $

D’après l’hypothèse de récurrence :

$0 < u_n\leq u_{n+1}$

On ajoute 1 aux inégalités :

$1 < u_n+1\leq u_{n+1}+1$

Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0\ ; +∞[$, on obtient :

$\sqrt1<\sqrt {u_n+1}\leq \sqrt { u_{n+1}+1}$

Soit : $0 < 1 < u_{n+1}\leq u_{n+2 }$

• La propriété $(P_{n+1})$ est donc vraie.
• Conclusion

Par récurrence, la proposition $(P_n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, donc la suite $(u_n)$ est croissante et à termes strictement positifs pour tout entier naturel $n$.

Démontrons que pour tout entier naturel $n$ : $4^n+2$ est divisible par $3$.

Notons $P_n$ la proposition « $4^n+2$ est divisible par $3$ ».

• Initialisation

Pour $n = 0$, on a $4^0+2=1+2=3$ et $3$ est bien divisible par $3.$

• Donc la proposition $P_0$ est vraie.
• Hérédité

Supposons la proposition $P_n$ vraie pour un entier $n$.

• Conclusion

On a alors $4^n+2$ est divisible par $3$, c’est-à-dire qu’il existe un nombre $b$ tel que $4^n+2=3\times b$

• C’est l’hypothèse de récurrence.

Astuce

Pour montrer qu’un nombre $x$ est divisible par un entier $a$, il faut montrer qu’il existe un nombre $b$ tel que $x = a \times b$

Montrons maintenant que la proposition $P_n$ est vraie au rang $n+1$, c’est à dire que $4^{n+1}+2$ est aussi divisible par $3$.

• On cherche à montrer qu’il existe un entier $k$ tel que $4^{n+1}+2 = 3 \times k$

On a : $4^n+2=3\times b$

• On soustrait $2$ à l’égalité :

$4^n=3\times b -2$

• De plus :

$4^{n+1}+2 = 4^n \times 4 +2$

• On remplace $4^n$ par $(3 × b - 2)$ :

$4^{n+1}+2 =( 3\times b-2) \times 4 +2$

• On développe :

$\begin{aligned}4^{n+1}+2 &=( 3\times b-2) \times 4 +2 \\ &= 12b-8+2 \\ &=12b-6\end{aligned}$

• On factorise par $3$ :

$4^{n+1}+2 = 3 \times (4b -2)$

Comme le nombre $4b - 2$ est un entier alors on a bien $4^{n+1}+2=3\times k$ en posant $k = 4b - 2$

• Donc la proposition $P_{n+1}$ est vraie.
• Conclusion

Par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $P_n$ est vraie, donc pour tout entier naturel $n$, $4^n+2$ est divisible par $3$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0= 2$ et pour tout entier naturel $n>0$ :

Démontrons que pour tout $n∈ \mathbb N$, $u_n={\dfrac{2}{2n+1}}$

Notons $P_n$ la proposition « $u_n={\dfrac{2}{2n+1}}$  »

• Initialisation

Pour $n = 0$, $u_0 = 2$ et ${\dfrac{2}{2 \times 0 +1} } = 2$

Donc la proposition $P_0$ est vraie.

• Hérédité

Supposons la proposition $Pn$ vraie pour un entier $n$, c’est-à-dire que pour un entier $n$, $u_n={\dfrac{2}{2n+1}}$

• C’est l’hypothèse de récurrence.

On montre maintenant que la proposition est vraie au rang $n + 1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}={\dfrac{2}{2(n+1)+1}}$

Par définition de la suite $u_n$, on a $u_{n+1} ={ \dfrac{u_n}{1+u_n}}$ et d’après l’hypothèse de récurrence cela donne : $u_{n+1}= { \dfrac{{\dfrac{2}{2n+1}}}{1+{\dfrac{2}{2n+1}}} } $

En réduisant au même dénominateur et en simplifiant par $2n + 1$, on obtient :

$u_{n+1}={\dfrac{2}{2n+1+2}}$

ce qui est égal à $u_{n+1}={\dfrac{2}{2(n+1)+1}}$

• Donc la proposition $P_{n+1}$ est vraie.
• Conclusion

Par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $P_n$ est vraie, c’est-à-dire que pour tout entier naturel $n$ :