Pourcentages : calculs et quantité totale

$63\ \%$ se lit $63$ pour $100$. Cela signifie que si la quantité totale était égale à $100$, on en prendrait une portion égale à $63$.

Lors de la session 2017 du brevet, $809\ 300$ candidats se sont présentés à l'examen. Le pourcentage de réussite a été de $89\ \%$. Combien de candidats ont été reçus ?

Il s'agit bien ici de calculer une portion du nombre de candidats parmi la totalité des candidats.

Le pourcentage de réussite étant de $89\ \%$, le nombre de candidats reçus est égal à $89\ \%$ de $809\ 300$, soit :

$809\ 300 \times \dfrac{89}{100} = 809\ 300 \times 0,89 = 720\ 277$

• Lors de la session 2017 du brevet, $720\ 277$ candidats ont été reçus.

Lors de la session 2016, ce sont $711\ 800$ candidats qui ont été reçus. Le taux de réussite a été de $87\ \%$. Combien de candidats se sont présentés cette année-là ?

Il s'agit ici de calculer le nombre total de candidats en connaissant une portion d'entre eux.

Le taux de réussite étant de $87\ \%$, le nombre total de candidats $N$ est le nombre qui, multiplié par $87\ \%$, est égal à $711\ 800$, soit à résoudre $N \times \dfrac{87}{100} = 711\ 800$ d'où :

$N \times 0,87 = 711\ 800$ donc $N = 711\ 800 \div 0,87 \approx 818\ 161$

• Lors de la session 2016, environ $818\ 161$ candidats se sont présentés au brevet.

Reprenons l'exemple précédent. Sur les $711\ 800$ candidats reçus, $405\ 726$ candidats ont eu une mention. Quel a été le pourcentage d'obtention d'une mention cette année-là ?

Il ne s'agit ici ni de calculer une portion ni un nombre total mais de calculer le pourcentage que représente une portion par rapport au nombre total.

Dans l'esprit, il est plus juste ici de « voir » le pourcentage comme l'expression du taux ramené à $100$, c'est-à-dire exprimé par une fraction de dénominateur égal à $100$. Ainsi, en exprimant le taux $\frac{405\ 726}{711\ 800}$ sous la forme $\frac{x}{100}$, $x$ sera le pourcentage recherché.

Pour cela, il existe plusieurs méthodes.

• On calcule le taux puis on le transforme en fraction décimale de dénominateur $100$ :

$\dfrac{405\ 726}{711\ 800} = 0,57 = \dfrac{57}{100}$ d'où $x = 57$

• On simplifie la fraction pour obtenir une fraction égale de dénominateur $100$ :

$\dfrac{405\ 726}{711\ 800} = \dfrac{7118 \times 57}{7118 \times 100} = \dfrac{57}{100}$ d'où $x = 57$

• On résout l'équation $\frac{405\ 726}{711\ 800} = \frac{x}{100}$ avec, par exemple, l'égalité des produits en croix :

$711\ 800 \times x = 405\ 726 \times 100$ soit $x = 40\ 572\ 600 \div 711\ 800 = 57$

• On peut également utiliser un tableau de proportionnalité sous la forme :

Comme précédemment, l'égalité des produits en croix nous permet d'écrire :
$711\ 800 \times x = 405\ 726 \times 100$ soit $x = 40\ 572\ 600 \div 711\ 800 = 57$

• Quelle que soit la méthode utilisée, on obtient le résultat suivant :
  en 2016, le pourcentage d'obtention d'une mention a été de $57\ \%$