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Pourcentages : calculs et quantité totale

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons aborder les pourcentages. Nous verrons comment appliquer et déterminer un taux de pourcentage.

Nous ferons tout d’abord un rappel sur ce qu’est un pourcentage. Nous verrons ensuite comment calculer le pourcentage d'un nombre. Nous aborderons ensuite la méthode permettant de calculer une quantité totale. Enfin, nous verrons comment déterminer un pourcentage.

Rappels

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Définition

Pourcentage :

Un pourcentage est un coefficient de proportionnalité. Il s'exprime sous la forme d'une fraction de dénominateur 100100. On le note avec le symbole %\%.

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À retenir

Un pourcentage exprime la proportion d'une quantité ramenée à 100100.

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Exemple

63 %63\ \% se lit 6363 pour 100100. Cela signifie que si la quantité totale était égale à 100100, on en prendrait une portion égale à 6363.

Calculer le pourcentage d'un nombre (« une portion de »)

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Propriété

Soit xx un nombre positif. Calculer x %x\ \% d'un nombre c'est multiplier ce nombre par x100\dfrac{x}{100} .

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Exemple

Lors de la session 2017 du brevet, 809 300809\ 300 candidats se sont présentés à l'examen. Le pourcentage de réussite a été de 89 %89\ \%. Combien de candidats ont été reçus ?

Il s'agit bien ici de calculer une portion du nombre de candidats parmi la totalité des candidats.

Le pourcentage de réussite étant de 89 %89\ \%, le nombre de candidats reçus est égal à 89 %89\ \% de 809300809300, soit :

809 300×89100=809 300×0,89=720 277809\ 300 \times \dfrac{89}{100} = 809\ 300 \times 0,89 = 720\ 277

  • Lors de la session 2017 du brevet, 720 277720\ 277 candidats ont été reçus.

Calculer une quantité totale

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Exemple

Lors de la session 2016, ce sont 711 800711\ 800 candidats qui ont été reçus. Le taux de réussite a été de 87 %87\ \%. Combien de candidats se sont présentés cette année-là ?

Il s'agit ici de calculer le nombre total de candidats en connaissant une portion d'entre eux.

Le taux de réussite étant de 87 %87\ \%, le nombre total de candidats NN est le nombre qui, multiplié par 87 %87\ \%, est égal à 711 800711\ 800, soit à résoudre N×87100=711 800N \times \dfrac{87}{100} = 711\ 800 d'où :

N×0,87=711 800N \times 0,87 = 711\ 800 donc N=711 800÷0,87818 161N = 711\ 800 \div 0,87 \approx 818\ 161

  • Lors de la session 2016, environ 818 161818\ 161 candidats se sont présentés au brevet.
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Astuce

Pour ce type de problème, l'utilisation d'un tableau de proportionnalité peut rendre le calcul plus simple en déterminant la quatrième proportionnelle par la méthode de votre choix :

Portion

711800711800 8787

Quantité totale

NN 100100

Par exemple, l'égalité des produits en croix nous permet d'écrire :

N×87=711800×100N \times 87 = 711800 \times 100
N=71180000÷87N = 71180000 \div 87
N818161N \approx 818161

Déterminer un pourcentage

Troisième cas de figure : l'énoncé nous donne la quantité totale et la portion, et la question est de déterminer le pourcentage.

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Exemple

Reprenons l'exemple précédent. Sur les 711 800711\ 800 candidats reçus, 405 726405\ 726 candidats ont eu une mention. Quel a été le pourcentage d'obtention d'une mention cette année-là ?

Il ne s'agit ici ni de calculer une portion ni un nombre total mais de calculer le pourcentage que représente une portion par rapport au nombre total.

Dans l'esprit, il est plus juste ici de « voir » le pourcentage comme l'expression du taux ramené à 100100, c'est-à-dire exprimé par une fraction de dénominateur égal à 100100. Ainsi, en exprimant le taux 405 726711 800\frac{405\ 726}{711\ 800} sous la forme x100\frac{x}{100}, xx sera le pourcentage recherché.

Pour cela, il existe plusieurs méthodes.

  • On calcule le taux puis on le transforme en fraction décimale de dénominateur 100100 :

405 726711 800=0,57=57100\dfrac{405\ 726}{711\ 800} = 0,57 = \dfrac{57}{100} d'où x=57x = 57

  • On simplifie la fraction pour obtenir une fraction égale de dénominateur 100100 :

405 726711 800=7118×577118×100=57100\dfrac{405\ 726}{711\ 800} = \dfrac{7118 \times 57}{7118 \times 100} = \dfrac{57}{100} d'où x=57x = 57

  • On résout l'équation 405 726711 800=x100\frac{405\ 726}{711\ 800} = \frac{x}{100} avec, par exemple, l'égalité des produits en croix :

711800×x=405726×100711800 \times x = 405726 \times 100 soit x=40572600÷711800=57x = 40572600 \div 711800 = 57

  • On peut également utiliser un tableau de proportionnalité sous la forme :

Portion

405726405726 xx

Quantité totale

711800711800 100100

Comme précédemment, l'égalité des produits en croix nous permet d'écrire :
711800×x=405726×100711800 \times x = 405726 \times 100 soit x=40572600÷711800=57 x = 40572600 \div 711800 = 57

  • Quelle que soit la méthode utilisée, on obtient le résultat suivant :
    en 2016, le pourcentage d'obtention d'une mention a été de 57 %57\ \%
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Astuce

La méthode utilisée dépendra des données dont on dispose : certains nombres sont plus faciles à manipuler que d'autres.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu comment appliquer et déterminer un pourcentage et comment calculer une quantité totale. Il est bien sûr important de savoir résoudre chacune de ces situations avant d’aborder des problèmes de pourcentages plus complexes.