Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Modéliser une situation

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Mettre un problème en équation, c'est-à-dire traduire son énoncé par une égalité mathématique avec une inconnue, peut permettre de résoudre ce problème plus facilement. C'est ce que l'on appelle « modéliser une situation ». Il s'agira ensuite de résoudre l'équation obtenue pour répondre au problème posé.

Nous commencerons ce cours par une présentation de la notion de modélisation. Suivra un rappel des règles de calculs nécessaires à la résolution d'équations, puis nous détaillerons les étapes du processus complet de la résolution de problèmes en nous appuyant sur deux exemples concrets.

Modéliser une situation

Notion de modélisation

Modéliser une situation, c'est traduire l'énoncé d'un problème en écriture mathématique sous la forme d'une équation à une inconnue.

  • Dans un premier temps, on choisit une inconnue (si elle n'est pas donnée dans l'énoncé, c'est en général ce que l'on doit calculer) et on la nomme clairement par une lettre.
  • On écrit ensuite une égalité entre deux termes faisant intervenir cette inconnue.
bannière exemple

Exemple

  • Quel est le nombre dont le double augmenté de 99 est égal à 1515 ?

Soit nn le nombre recherché.
Le double de nn augmenté de 99 est 2n+92n + 9
Pour trouver le nombre recherché, il suffit de résoudre : 2n+9=152n + 9 = 15

  • Cette équation modélise donc le problème.
  • Mon quintuple diminué de 7 est égal à mon double augmenté de 3. Qui suis-je ?

Soit xx le nombre recherché.
Son quintuple diminué de 77 est 5x75x - 7
Son double augmenté de 33 est 2x+32x + 3
Pour trouver le nombre recherché, il suffit de résoudre : 5x7=2x+35x - 7 = 2x + 3

  • Cette équation modélise donc le problème.
bannière à retenir

À retenir

Comme on le voit dans le deuxième exemple, les deux membres de l'égalité peuvent faire intervenir l'inconnue.

Pour résoudre ces équations, il est indispensable de maîtriser les règles de calculs liées aux égalités.
C'est ce que nous allons revoir maintenant.

Règles de calculs pour la résolution d'équations

bannière rappel

Rappel

Une égalité ne change pas lorsqu'on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.
Soient aa, bb et cc trois nombres relatifs :

  • Si a=ba = b alors a+c=b+ca + c = b + c
  • Si a=ba = b alors ac=bca - c = b - c

Une égalité ne change pas lorsqu'on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul chacun de ses membres.
Soient aa, bb et cc trois nombres relatifs, avec cc non nul :

  • Si a=ba = b alors a×c=b×ca \times c = b \times c
  • Si a=ba = b alors ac=bc\frac ac = \frac bc
bannière exemple

Exemple

Résolvons maintenant les équations qui modélisent les problèmes vus plus haut.

  • Résoudre l'équation 2n+9=152n + 9 = 15

En soustrayant 9\red 9 aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le terme en nn : 2n+99=1592n + 9 \red{- 9} = 15 \red{- 9}

soit :

2n=62n = 6 En divisant par 2\red 2 les deux membres de l'égalité, on pourra simplifier le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le nombre nn : 2n2=62\red{\dfrac{\color{#000000}2n}{2}} = \red{\dfrac{\color{#000000}6}{2}}

soit :

n=3n = 3

  • La solution de l'équation 2n+9=152n + 9 = 15 est 33.
  • Résoudre l'équation 5x7=2x+35x - 7 = 2x + 3
bannière astuce

Astuce

Dans le cas de figure où les deux membres de l'équation font intervenir l'inconnue, il est judicieux de commencer par supprimer les termes en xx d'un des deux membres.

Ici, en soustrayant 2x\red{2x} aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le deuxième membre de manière à ce qu'il ne contienne plus de terme en xx : 5x72x=2x+32x5x - 7 \red{- 2x} = 2x + 3 \red{- 2x}

soit :

3x7=33x - 7 = 3

En ajoutant 7\red 7 aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le terme en xx : 3x7+7=3+73x - 7 \red{+ 7} = 3 \red{+ 7}

soit :

3x=103x = 10

En divisant par 3\red 3 les deux membres de l'égalité, on pourra simplifier le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le nombre xx : 3x3=103 \red{\dfrac{\color{#000000}3x}{3}} = \red{\dfrac{\color{#000000}10}{3}}

soit :

x=103x = \dfrac{10}{3}

  • La solution de l'équation 5x7=2x+35x - 7 = 2x + 3 est 103\dfrac{10}{3}.

Résoudre un problème

La méthode de résolution d'un problème est basée sur un enchaînement d'étapes bien précis qu'il s'agira d'appliquer avec rigueur.

bannière astuce

Astuce

Avant de se lancer, on s'assurera d'avoir bien compris l'énoncé, ce que l'on cherche. On pourra s'aider d'un schéma si nécessaire.

MÉTHODOLOGIE

  • Choisir l'inconnue (en général le nombre correspondant à ce qui est demandé) et la nommer.
  • Mettre le problème en équation (traduire le texte par des écritures mathématiques).
  • Résoudre l'équation obtenue.
  • Vérifier la solution trouvée.
  • Conclure en répondant à la question posée.
bannière exemple

Exemple

Problème numérique

Les parents d'une équipe de 1515 joueuses de basket décident de se cotiser pour offrir un cadeau de fin saison à l'entraineur. Certaines familles donnent 1010 €, d'autres donnent 55 €.
Le montant de la cagnotte s'élève à 105105 €.

Combien de familles ont donné 1010 € ?
Combien ont donné 55 € ?

  • Choix de l'inconnue

Soit xx le nombre de familles qui ont donné 1010 €.

  • Mise en équation du problème

Si xx familles ont donné 1010 €, alors 15x15 - x familles ont donné 55 €.
Les xx familles ont donné x×10x\times 10 € soit 10x10x €.
Les 15x15 - x de familles ont donné (15x)×5(15-x)\times 5 €.

La cagnotte finale s'élève à 105105 € donc la somme des 2 montants calculés ci-dessus est égale à 105105 €, soit : 10x+(15x)×5=10510x + (15-x)\times 5 = 105

C'est l'équation qui modélise notre problème.

  • Résolution de l'équation obtenue

On a donc à résoudre : 10x+(15x)×5=10510x + (15-x)\times 5 = 105
On développe :
10x+15×5x×5=10510x+755x=105\begin{aligned}10x + 15\times 5-x\times 5 &= 105\10x + 75-5x &= 105\end{aligned} On réduit : 5x+75=1055x + 75 = 105 On soustrait 75\red {75} des deux membres : 5x+7575=105755x + 75\red{-75} = 105 \red{-75} On réduit : 5x=305x = 30 On divise par 5\red 5 les deux membres : 5x5=305\red{\dfrac {\color{#000000}5x}{5}} = \red{\dfrac{\color{#000000}30}{5}} On simplifie : x=6x = 6

  • Vérification de la solution trouvée

Vérifions que 66 répond bien au problème posé.

Si 66 est le nombre de familles qui ont donné 1010 €, alors 15615 - 6 est le nombre de familles qui ont donné 55 €, soit 99 familles.

Les 66 premières familles ont donné 6×10=606 \times 10 = 60 €.
Les 99 autres familles ont donné 9×5=459 \times 5 = 45 €.
L'ensemble des familles a donc donné 60+45=10560 + 45 = 105 €.

On retrouve bien le bon montant de la cagnotte.
66 répond donc bien au problème posé dans l'énoncé.

  • Conclusion

En réponse au problème posé, nous pouvons affirmer que 66 familles ont donné 1010 € et 99 familles ont donné 55 €.

bannière exemple

Exemple

Problème géométrique

Voici un rectangle. Trouvons la valeur de xx pour que le périmètre du rectangle mesure 27 cm27\text{ cm}.

égalité et équation mathématiques quatrième

  • Choix de l’inconnue

Ici, l’inconnue xx est la largeur du rectangle.
La longueur du rectangle est x+3x+3.

  • Mise en équation du problème

Le périmètre du rectangle se calcule :
(longueur+largeur)×2(\text {longueur}+\text {largeur})\times2 C’est-à-dire : [(x+3)+x]×2[(x+3)+x]\times2 On simplifie cette écriture littérale : [x+3+x]×2=(2x+3)×2[x+3+x]\times2=(2x+3)\times2 On utilise la distributivité pour développer : 2x×2+3×2=4x+62x\times2+3\times2=4x+6 Le périmètre est égal à 27 cm27\text{ cm}, donc : 4x+6=274x+6=27

  • Résolution de l’équation obtenue

4x+6=274x+66=2764x=21x=214x=5,25\begin{aligned} 4x+6 &= 27 \ 4x+6-6 &= 27-6 \ 4x &= 21 \ x &= \frac{21}{4} \ x &= 5,25 \end{aligned}

  • Vérification de la solution trouvée

Vérifions que 5,255,25 répond bien au problème posé.

La largeur du rectangle est égale à 5,25 cm5,25\text{ cm} et la longueur à 5,25+3=8,25 cm5,25 +3=8,25\text{ cm}.
On calcule le périmètre du rectangle : (5,25+8,25)×2=13,5×=27(5,25+8,25)\times 2 =13,5 \times =27

On retrouve bien la valeur du périmètre donnée dans l’énoncé.
5,255,25 répond donc bien au problème posé dans l’énoncé.

  • Conclusion

En réponse au problème posé, nous pouvons affirmer que x=5,25 cmx=5,25\text{ cm}.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons appris à modéliser une situation et à résoudre un problème en suivant une méthodologie rigoureuse basée sur sa mise en équation et sa résolution.
Cette méthode de résolution est très répandue car elle permet bien souvent de résoudre un problème plus facilement. Pour cela, il faut bien évidemment maitriser les techniques de résolution d'équations.