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Modéliser une situation
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Introduction :
Mettre un problème en équation, c'est-à-dire traduire son énoncé par une égalité mathématique avec une inconnue, peut permettre de résoudre ce problème plus facilement. C'est ce que l'on appelle « modéliser une situation ». Il s'agira ensuite de résoudre l'équation obtenue pour répondre au problème posé.
Nous commencerons ce cours par une présentation de la notion de modélisation. Suivra un rappel des règles de calculs nécessaires à la résolution d'équations, puis nous détaillerons les étapes du processus complet de la résolution de problèmes en nous appuyant sur deux exemples concrets.
Modéliser une situation
Notion de modélisation
Modéliser une situation, c'est traduire l'énoncé d'un problème en écriture mathématique sous la forme d'une équation à une inconnue.
Soit le nombre recherché.
Le double de augmenté de est
Pour trouver le nombre recherché, il suffit de résoudre :
Soit le nombre recherché.
Son quintuple diminué de est
Son double augmenté de est
Pour trouver le nombre recherché, il suffit de résoudre :
Comme on le voit dans le deuxième exemple, les deux membres de l'égalité peuvent faire intervenir l'inconnue.
Pour résoudre ces équations, il est indispensable de maîtriser les règles de calculs liées aux égalités.
C'est ce que nous allons revoir maintenant.
Règles de calculs pour la résolution d'équations
Une égalité ne change pas lorsqu'on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.
Soient , et trois nombres relatifs :
Une égalité ne change pas lorsqu'on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul chacun de ses membres.
Soient , et trois nombres relatifs, avec non nul :
Résolvons maintenant les équations qui modélisent les problèmes vus plus haut.
En soustrayant aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le terme en :
soit :
En divisant par les deux membres de l'égalité, on pourra simplifier le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le nombre :
soit :
Dans le cas de figure où les deux membres de l'équation font intervenir l'inconnue, il est judicieux de commencer par supprimer les termes en d'un des deux membres.
Ici, en soustrayant aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le deuxième membre de manière à ce qu'il ne contienne plus de terme en :
soit :
En ajoutant aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le terme en :
soit :
En divisant par les deux membres de l'égalité, on pourra simplifier le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le nombre :
soit :
Résoudre un problème
La méthode de résolution d'un problème est basée sur un enchaînement d'étapes bien précis qu'il s'agira d'appliquer avec rigueur.
Avant de se lancer, on s'assurera d'avoir bien compris l'énoncé, ce que l'on cherche. On pourra s'aider d'un schéma si nécessaire.
Problème numérique
Les parents d'une équipe de joueuses de basket décident de se cotiser pour offrir un cadeau de fin de saison à l'entraineur. Certaines familles donnent €, d'autres donnent €. Le montant de la cagnotte s'élève à €. Combien de familles ont donné € ? |
Soit le nombre de familles qui ont donné €.
Si familles ont donné €, alors familles ont donné €.
Les familles ont donné € soit €.
Les de familles ont donné €.
La cagnotte finale s'élève à € donc la somme des 2 montants calculés ci-dessus est égale à €, soit :
C'est l'équation qui modélise notre problème.
On a donc à résoudre :
On développe :
On réduit :
On soustrait des deux membres :
On réduit :
On divise par les deux membres :
On simplifie :
Vérifions que répond bien au problème posé.
Si est le nombre de familles qui ont donné €, alors est le nombre de familles qui ont donné €, soit familles.
Les premières familles ont donné €.
Les autres familles ont donné €.
L'ensemble des familles a donc donné €.
On retrouve bien le bon montant de la cagnotte.
répond donc bien au problème posé dans l'énoncé.
En réponse au problème posé, nous pouvons affirmer que familles ont donné € et familles ont donné €.
Problème géométrique
Voici un rectangle. Trouvons la valeur de pour que le périmètre du rectangle mesure .
|
Ici, l’inconnue est la largeur du rectangle.
La longueur du rectangle est .
Le périmètre du rectangle se calcule :
C’est-à-dire :
On simplifie cette écriture littérale :
On utilise la distributivité pour développer :
Le périmètre est égal à , donc :
Vérifions que répond bien au problème posé.
La largeur du rectangle est égale à et la longueur à .
On calcule le périmètre du rectangle :
On retrouve bien la valeur du périmètre donnée dans l’énoncé.
répond donc bien au problème posé dans l’énoncé.
En réponse au problème posé, nous pouvons affirmer que .
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à modéliser une situation et à résoudre un problème en suivant une méthodologie rigoureuse basée sur sa mise en équation et sa résolution.
Cette méthode de résolution est très répandue car elle permet bien souvent de résoudre un problème plus facilement. Pour cela, il faut bien évidemment maitriser les techniques de résolution d'équations.