Modéliser une situation
Introduction :
Mettre un problème en équation, c'est-à-dire traduire son énoncé par une égalité mathématique avec une inconnue, peut permettre de résoudre ce problème plus facilement. C'est ce que l'on appelle « modéliser une situation ». Il s'agira ensuite de résoudre l'équation obtenue pour répondre au problème posé.
Nous commencerons ce cours par une présentation de la notion de modélisation. Suivra un rappel des règles de calculs nécessaires à la résolution d'équations, puis nous détaillerons les étapes du processus complet de la résolution de problèmes en nous appuyant sur deux exemples concrets.
Modéliser une situation
Modéliser une situation
Notion de modélisation
Notion de modélisation
Modéliser une situation, c'est traduire l'énoncé d'un problème en écriture mathématique sous la forme d'une équation à une inconnue.
- Dans un premier temps, on choisit une inconnue (si elle n'est pas donnée dans l'énoncé, c'est en général ce que l'on doit calculer) et on la nomme clairement par une lettre.
- On écrit ensuite une égalité entre deux termes faisant intervenir cette inconnue.
Exemple
- Quel est le nombre dont le double augmenté de $9$ est égal à $15$ ?
Soit $n$ le nombre recherché.
Le double de $n$ augmenté de $9$ est $2n + 9$
Pour trouver le nombre recherché, il suffit de résoudre : $2n + 9 = 15$
- Cette équation modélise donc le problème.
- Mon quintuple diminué de 7 est égal à mon double augmenté de 3. Qui suis-je ?
Soit $x$ le nombre recherché.
Son quintuple diminué de $7$ est $5x - 7$
Son double augmenté de $3$ est $2x + 3$
Pour trouver le nombre recherché, il suffit de résoudre : $5x - 7 = 2x + 3$
- Cette équation modélise donc le problème.
À retenir
Comme on le voit dans le deuxième exemple, les deux membres de l'égalité peuvent faire intervenir l'inconnue.
Pour résoudre ces équations, il est indispensable de maîtriser les règles de calculs liées aux égalités.
C'est ce que nous allons revoir maintenant.
Règles de calculs pour la résolution d'équations
Règles de calculs pour la résolution d'équations
Rappel
Une égalité ne change pas lorsqu'on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs :
- Si $a = b$ alors $a + c = b + c$
- Si $a = b$ alors $a - c = b - c$
Une égalité ne change pas lorsqu'on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul chacun de ses membres.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs, avec $c$ non nul :
- Si $a = b$ alors $a \times c = b \times c$
- Si $a = b$ alors $\frac ac = \frac bc$
Exemple
Résolvons maintenant les équations qui modélisent les problèmes vus plus haut.
- Résoudre l'équation $2n + 9 = 15$
En soustrayant $\red 9$ aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le terme en $n$ : $$2n + 9 \red{- 9} = 15 \red{- 9}$$
soit :
$$2n = 6$$ En divisant par $\red 2$ les deux membres de l'égalité, on pourra simplifier le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le nombre $n$ : $$\red{\dfrac{\color{#000000}2n}{2}} = \red{\dfrac{\color{#000000}6}{2}}$$
soit :
$$n = 3$$
- La solution de l'équation $2n + 9 = 15$ est $3$.
- Résoudre l'équation $5x - 7 = 2x + 3$
Astuce
Dans le cas de figure où les deux membres de l'équation font intervenir l'inconnue, il est judicieux de commencer par supprimer les termes en $x$ d'un des deux membres.
Ici, en soustrayant $\red{2x}$ aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le deuxième membre de manière à ce qu'il ne contienne plus de terme en $x$ : $$5x - 7 \red{- 2x} = 2x + 3 \red{- 2x}$$
soit :
$$3x - 7 = 3$$
En ajoutant $\red 7$ aux deux membres de l'égalité, on pourra réduire le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le terme en $x$ : $$3x - 7 \red{+ 7} = 3 \red{+ 7}$$
soit :
$$3x = 10 $$
En divisant par $\red 3$ les deux membres de l'égalité, on pourra simplifier le premier membre de manière à ce qu'il ne reste que le nombre $x$ : $$ \red{\dfrac{\color{#000000}3x}{3}} = \red{\dfrac{\color{#000000}10}{3}}$$
soit :
$$x = \dfrac{10}{3}$$
- La solution de l'équation $5x - 7 = 2x + 3$ est $\dfrac{10}{3}$.
Résoudre un problème
Résoudre un problème
La méthode de résolution d'un problème est basée sur un enchaînement d'étapes bien précis qu'il s'agira d'appliquer avec rigueur.
Astuce
Avant de se lancer, on s'assurera d'avoir bien compris l'énoncé, ce que l'on cherche. On pourra s'aider d'un schéma si nécessaire.
MÉTHODOLOGIE
- Choisir l'inconnue (en général le nombre correspondant à ce qui est demandé) et la nommer.
- Mettre le problème en équation (traduire le texte par des écritures mathématiques).
- Résoudre l'équation obtenue.
- Vérifier la solution trouvée.
- Conclure en répondant à la question posée.
Exemple
Problème numérique
| Les parents d'une équipe de $15$ joueuses de basket décident de se cotiser pour offrir un cadeau de fin de saison à l'entraineur. Certaines familles donnent $10$ €, d'autres donnent $5$ €. Le montant de la cagnotte s'élève à $105$ €. Combien de familles ont donné $10$ € ? |
- Choix de l'inconnue
Soit $x$ le nombre de familles qui ont donné $10$ €.
- Mise en équation du problème
Si $x$ familles ont donné $10$ €, alors $15 - x$ familles ont donné $5$ €.
Les $x$ familles ont donné $x\times 10$ € soit $10x$ €.
Les $15 - x$ de familles ont donné $(15-x)\times 5$ €.
La cagnotte finale s'élève à $105$ € donc la somme des 2 montants calculés ci-dessus est égale à $105$ €, soit : $10x + (15-x)\times 5 = 105$
C'est l'équation qui modélise notre problème.
- Résolution de l'équation obtenue
On a donc à résoudre : $10x + (15-x)\times 5 = 105$
On développe :
$$\begin{aligned}10x + 15\times 5-x\times 5 &= 105\\10x + 75-5x &= 105\end{aligned}$$
On réduit :
$$5x + 75 = 105$$
On soustrait $\red {75}$ des deux membres :
$$5x + 75\red{-75} = 105 \red{-75}$$
On réduit :
$$5x = 30$$
On divise par $\red 5$ les deux membres :
$$\red{\dfrac {\color{#000000}5x}{5}} = \red{\dfrac{\color{#000000}30}{5}}$$
On simplifie :
$$x = 6$$
- Vérification de la solution trouvée
Vérifions que $6$ répond bien au problème posé.
Si $6$ est le nombre de familles qui ont donné $10$ €, alors $15 - 6$ est le nombre de familles qui ont donné $5$ €, soit $9$ familles.
Les $6$ premières familles ont donné $6 \times 10 = 60$ €.
Les $9$ autres familles ont donné $9 \times 5 = 45$ €.
L'ensemble des familles a donc donné $60 + 45 = 105$ €.
On retrouve bien le bon montant de la cagnotte.
$6$ répond donc bien au problème posé dans l'énoncé.
- Conclusion
En réponse au problème posé, nous pouvons affirmer que $6$ familles ont donné $10$ € et $9$ familles ont donné $5$ €.
Exemple
Problème géométrique
| Voici un rectangle. Trouvons la valeur de $x$ pour que le périmètre du rectangle mesure $27\text{ cm}$.
|
- Choix de l’inconnue
Ici, l’inconnue $x$ est la largeur du rectangle.
La longueur du rectangle est $x+3$.
- Mise en équation du problème
Le périmètre du rectangle se calcule :
$$(\text {longueur}+\text {largeur})\times2$$
C’est-à-dire :
$$[(x+3)+x]\times2$$
On simplifie cette écriture littérale :
$$(x+3+x)\times2=(2x+3)\times2$$
On utilise la distributivité pour développer :
$$2x\times2+3\times2=4x+6$$
Le périmètre est égal à $27\text{ cm}$, donc :
$$4x+6=27$$
- Résolution de l’équation obtenue
$$\begin{aligned} 4x+6 &= 27 \\ 4x+6-6 &= 27-6 \\ 4x &= 21 \\ x &= \frac{21}{4} \\ x &= 5,25 \end{aligned}$$
- Vérification de la solution trouvée
Vérifions que $5,25$ répond bien au problème posé.
La largeur du rectangle est égale à $5,25\text{ cm}$ et la longueur à $5,25 +3=8,25\text{ cm}$.
On calcule le périmètre du rectangle :
$$(5,25+8,25)\times 2 =13,5 \times 2 =27$$
On retrouve bien la valeur du périmètre donnée dans l’énoncé.
$5,25$ répond donc bien au problème posé dans l’énoncé.
- Conclusion
En réponse au problème posé, nous pouvons affirmer que $x=5,25\text{ cm}$.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à modéliser une situation et à résoudre un problème en suivant une méthodologie rigoureuse basée sur sa mise en équation et sa résolution.
Cette méthode de résolution est très répandue car elle permet bien souvent de résoudre un problème plus facilement. Pour cela, il faut bien évidemment maitriser les techniques de résolution d'équations.