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Marianne

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Nombre dérivé et fonction dérivée

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Introduction :

Dans ce cours, il sera tout d’abord question de nombre dérivé et de tangente à une courbe puis nous introduirons la notion de fonction dérivée pour terminer par les dérivées des fonctions usuelles et les dérivées de fonctions plus complexes.

Nombre dérivé et tangente à une courbe

Nombre dérivé

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Définition

Taux d’accroissement :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.

Soit hh un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II.

On appelle taux d’accroissement de ff en aa le nombre : f(a+h)f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

  • Interprétation géométrique du taux d’accroissement :

On considère les points AA et MM d’abscisses respectives aa et a+ha+h de la courbe représentative de ff.

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Astuce

Le coefficient directeur de la droite (AM)(AM) est : yMyAxMxA\dfrac{yM-yA}{xM-xA}

En l’appliquant au cas schématisé, on obtient  : f(a+h)f(a)(a+h)a=f(a+h)f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

On retrouve la formule du taux d’accroissement. Autrement dit, le taux d’accroissement de ff en aa représente le coefficient directeur de la droite (AM)(AM).

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Définition

Nombre dérivé :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.

Soit hh un nombre réel tel que a+ha+h appartienne à II.

On dit que ff est dérivable en aa si le taux d’accroissement de ff en aa admet pour limite un nombre réel lorsque hh tend vers zéro. Ce nombre, noté f(a)f'(a) est appelé nombre dérivé de ff en aa.

Lorsque ff est dérivable en aa on a ainsi : f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

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Exemple

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x22x+1f(x)=3x^2-2x+1. On cherche, par exemple, le nombre dérivé de ff en a=1a=1

  • Calcul du taux d’accroissement :

f(1+h)=3×(1+h)22(1+h)+1=3×(1+2h+h2)22h+1=3+6h+3h222h+1f(1+h)=3h2+4h+2\begin{aligned} f(1+h)&=3\times(1+h)^2-2(1+h)+1 \ &=3\times(1+2h+h^2)-2-2h+1 \ &=3+6h+3h^2-2-2h+1 \ f(1+h)&=3h^2+4h+2 \end{aligned}

f(1)=3×122×1+1=32+1f(1)=2\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1 \ &=3-2+1 \ f(1)&=2 \end{aligned}

f(1+h)f(1)h=3h2+4h+22h=3h2+4hh=3h2h+4hh=3h+4\begin{aligned} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\dfrac{3h^2+4h+2-2}{h} \ &=\dfrac{3h^2+4h}{h} \ &=\dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{4h}{h} =3h+4 \end{aligned}

  • Calcul de la limite de ce taux d’accroissement quand hh tend vers 00

limh0(3h+4)=4\lim\limits_{h\rightarrow0}(3h+4)=4

En effet, si hh tend vers 00, alors 3h3h tend vers 00, et donc 3h+43h+4 tend vers 44.

  • On en déduit que ff est dérivable en 11 et que le nombre dérivé de ff en 11 est f(1)=4f'(1)=4.

Tangente à une courbe

Ces shémas permettent de faire le lien entre nombre dérivé et tangente à une courbe

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À retenir

Le coefficient directeur de la droite (AM)(AM) représente le taux d’accroissement de ff en aa.

La tangente à la courbe C\mathscr{C} en AA est la position limite de la droite (AM)(AM) quand le point MM (d’abscisse a+ha+h) se rapproche du point AA (d’abscisse aa) tout en restant sur la courbe, c’est-à-dire quand hh tend vers zéro.

Or, la limite du taux d’accroissement quand hh tend vers zéro est le nombre dérivé f(a)f'(a).

  • On en déduit la définition suivante :
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Définition

Tangente :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle.

Soit C\mathscr{C} la courbe représentative de ff dans un repère (O ;I ;J)(O\ ;I\ ;J) du plan.

Si ff est dérivable en aa, la tangente à C\mathscr{C} au point A(a;f(a))A\big(a ; f(a)\big) est la droite passant par AA et de coefficient directeur f(a)f'(a).

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Propriété

Au point d’abscisse aa la tangente à la courbe représentative de ff a pour équation :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

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Exemple

Pour déterminer par le calcul un nombre dérivé, on utilise la fonction f(x)=3x22x+1f(x)=3x^2-2x+1, ce qui donne f(1)=4f'(1)=4.

Pour écrire l’équation de la tangente au point d’abscisse a=1a=1, il ne reste qu’à remplacer dans la formule précédente : y=f(1)(x1)+f(1)y=f'(1)(x-1)+f(1)

On avait f(1)=4f'(1)=4 et f(1)=2f(1)=2

Donc : y=4(x1)+2=4x4+2=4x2y=4(x-1)+2=4x-4+2=4x-2

  • L’équation de la tangente en 11 est y=4x2y=4x-2.
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Attention

Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée mais en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors lire graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.

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Exemple

Le graphique représente la courbe d’une fonction ff et ses tangentes en A,BA,B et CC.

Pour chercher l’équation de la tangente en A(2 ;3)A(-2\ ;3), on commence par lire f(2)f'(-2).

f(2)f'(-2) est le coefficient directeur de la tangente à C\mathscr{C} au point de la courbe d’abscisse 2-2 c’est-à-dire en AA.

Graphiquement, à partir de AA pour atteindre un autre point de la tangente, on « monte » de 2 unités quand on « avance » de 1 unité.

  • On a donc f(2)=21=2f'(-2)=\dfrac{2}{1}=2.

Il reste à écrire l’équation de la tangente en AA avec f(2)=2f'(-2)=2 et f(2)=3f(-2)=3:

y=f(2)(x(2))+f(2)=2(x+2)+3=2x+4+3y=2x+7\begin{aligned} y&=f'(-2)\big(x-(-2)\big)+f(-2)\ &=2(x+2)+3 \ &=2x+4+3 \ y&=2x+7 \end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.

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Exemple

La tangente au point CC d’abscisse 33 est horizontale donc f(3)=0f'(3)=0.

Fonction dérivée

Définition

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Définition

Fonction dérivée :

  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II.

    On dit que ff est dérivable sur II si elle est dérivable en tout réel xx de II.

  • La fonction qui, à tout réel xx de II associe le nombre dérivé f(x)f'(x) est appelée fonction dérivée de ff.

    Cette fonction est notée ff' et est définie sur II

Dérivées des fonctions usuelles

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Attention

En règle générale les fonctions ont le même domaine de dérivabilité que leur domaine de définition, exceptée la fonction racine carrée qui est définie sur [0 ;+][0\ ;+\infty] (zéro inclus) mais qui n’est dérivable que sur ]0 ;+]]0\ ;+\infty] (zéro exclu).

Dérivées et opérations

Dérivée d’une somme et d’un produit par un réel

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Propriété

Soient uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle II.

La fonction somme u+vu+v définie sur II par f(x)=u(x)+v(x)f(x)=u(x)+v(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(u+v)(x)=u(x)+v(x)(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)

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À retenir

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :

(u+v)=u+v(u+v)'=u'+v'

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Exemple

La dérivée de la fonction f(x)=x2+3x8f(x)=x^2+3x-8 est la somme des dérivées de x2x^2, de 3x3x et de 8-8. Ainsi : f(x)=2x+3f'(x)=2x+3.

Dérivée d’un produit d’une fonction par un réel

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Propriété

Propriété :

Soit uu une fonction définie et dérivable sur II et soit kk un réel constant. La fonction kuku définie sur II par f(x)=k×u(x)f(x)=k\times u(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(ku)(x)=k×u(x)(ku)'(x)=k\times u'(x)

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À retenir

La dérivée d’un produit de fonction par un réel est :

(ku)=ku(ku)'=ku'

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Exemple

La dérivée de la fonction f(x)=2x3f(x)=2x^3 est le produit de la constante 22 par la dérivée de la fonction x3x^3
Ainsi f(x)=2×3x2=6x2f'(x)=2\times 3x^2=6x^2

Dérivée d’un produit de deux fonctions

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Propriété

Soient uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle II.

La fonction produit u×vu\times v définie sur II par f(x)=u(x)×v(x)f(x)=u(x)\times v(x) est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(u×v)(x)=u(x)×v(x)+u(x)×v(x)(u\times v)'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)

bannière à retenir

À retenir

La dérivée d’une fonction produit est :

(uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'

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Exemple

La fonction f(x)=(x1)xf(x)=(x-1)\sqrt x définie sur [0 ;+[\big[0\ ;+\infty\big[ et dérivable sur ]0 ;+[\big]0\ ;+\infty\big[ ; on note u(x)=x1u(x)=x-1 donc u(x)=1u'(x)=1. Et v(x)=xv(x)=\sqrt x donc v(x)=12xv'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}.

On a alors :

f(x)=1×x+(x1)×12xf(x)=x+x12x\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x} \ f'(x)&=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \end {aligned}

Le calcul de la dérivée est terminé mais on peut simplifier cette expression en mettant au même dénominateur :

f(x)=x×2x2xf(x)=2x2x+x12xf(x) =3x12x\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{\sqrt x\times 2\sqrt x}{2\sqrt x} \ f'(x)&=\dfrac{2x}{2\sqrt x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \ f'(x)\ &=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x} \end{aligned}

On obtient donc une expression simplifiée de notre dérivée mais nous pouvons encore l’améliorer en l’écrivant sans la racine au dénominateur :

f(x)=3x12x×xxf(x)=(3x1)x2x\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x}\times \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x} \ f'(x)&=\dfrac{(3x-1)\sqrt x}{2x} \end{aligned}

Dérivée de l’inverse d’une fonction

Soit vv une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle II.

La fonction 1x\dfrac{1}{x} définie sur II par f(x)=1v(x)f(x)=\dfrac{1}{v(x)} est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(1v)(x)=v(x)(v(x))2\big(\dfrac{1}{v}\big)'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}

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À retenir

La dérivée de l’inverse d’une fonction est :

(1v)=vv2\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}

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Exemple

La fonction f(x)=12x28f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8} et I=]2 ;2[I=\big]-2\ ;2\big[ ; on note v(x)=2x28v(x)=2x^2-8 donc v(x)=4xv'(x)=4x

On a alors f(x)=4x(2x28)2f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}.

Dérivée d’un quotient de deux fonctions

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Propriété

Soit uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle II. On suppose que vv ne s’annule pas sur II.

La fonction quotient uv\dfrac{u}{v} définie sur II par f(x)=u(x)v(x)f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} est dérivable sur II et, pour tout réel xx de II on a :

(uv)(x)=u(x)×v(x)  u(x)×v(x)(v(x))2\big(\dfrac{u}{v}\big)'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)\ -\ u(x)\times v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}

bannière à retenir

À retenir

La dérivée d’un quotient de deux fonctions est :

(uv)=uv  uvv2\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}

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Exemple

La fonction f(x)=10x3x+12f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12} et I=]12 ;+[I=\big]-12\ ;+\infty\big[

On note u(x)=10x3u(x)=10x-3 donc u(x)=10u'(x)=10. Et v(x)=x+12v(x)=x+12 donc v(x)=1v'(x)=1.

On a alors :

f(x)=10×(x+12)(10x3)×1(x+12)2f(x)=10x+12010x+3(x+12)2f(x)=123(x+12)2\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2} \ f'(x)&=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2} \ f'(x)&=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}