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Nombre dérivé et fonction dérivée

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Introduction :

Dans ce cours, il sera tout d’abord question de nombre dérivé et de tangente à une courbe puis nous introduirons la notion de fonction dérivée pour terminer par les dérivées des fonctions usuelles et les dérivées de fonctions plus complexes.

Nombre dérivé et tangente à une courbe

Nombre dérivé

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Définition

Taux d’accroissement :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.

Soit $h$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$.

On appelle taux d’accroissement de $f$ en $a$ le nombre : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

  • Interprétation géométrique du taux d’accroissement :

On considère les points $A$ et $M$ d’abscisses respectives $a$ et $a+h$ de la courbe représentative de $f$.

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Astuce

Le coefficient directeur de la droite $(AM)$ est : $\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}$

En l’appliquant au cas schématisé, on obtient  : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

On retrouve la formule du taux d’accroissement. Autrement dit, le taux d’accroissement de $f$ en $a$ représente le coefficient directeur de la droite $(AM)$.

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Définition

Nombre dérivé :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.

Soit $h$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$.

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers zéro. Ce nombre, noté $f'(a)$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$.

Lorsque $f$ est dérivable en $a$ on a ainsi : $f'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

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Exemple

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x+1$. On cherche, par exemple, le nombre dérivé de $f$ en $a=1$

  • Calcul du taux d’accroissement :

$\begin{aligned} f(1+h)&=3\times(1+h)^2-2(1+h)+1 \\ &=3\times(1+2h+h^2)-2-2h+1 \\ &=3+6h+3h^2-2-2h+1 \\ f(1+h)&=3h^2+4h+2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1 \\ &=3-2+1 \\ f(1)&=2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\dfrac{3h^2+4h+2-2}{h} \\ &=\dfrac{3h^2+4h}{h} \\ &=\dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{4h}{h} =3h+4 \end{aligned}$

  • Calcul de la limite de ce taux d’accroissement quand $h$ tend vers $0$

$\lim\limits_{h\rightarrow0}(3h+4)=4$

En effet, si $h$ tend vers $0$, alors $3h$ tend vers $0$, et donc $3h+4$ tend vers $4$.

  • On en déduit que $f$ est dérivable en $1$ et que le nombre dérivé de $f$ en $1$ est $f'(1)=4$.

Tangente à une courbe

Ces shémas permettent de faire le lien entre nombre dérivé et tangente à une courbe

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À retenir

Le coefficient directeur de la droite $(AM)$ représente le taux d’accroissement de $f$ en $a$.

La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en $A$ est la position limite de la droite $(AM)$ quand le point $M$ (d’abscisse $a+h$) se rapproche du point $A$ (d’abscisse $a$) tout en restant sur la courbe, c’est-à-dire quand $h$ tend vers zéro.

Or, la limite du taux d’accroissement quand $h$ tend vers zéro est le nombre dérivé $f'(a)$.

  • On en déduit la définition suivante :
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Définition

Tangente :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O\ ;I\ ;J)$ du plan.

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathscr{C}$ au point $A\big(a ; f(a)\big)$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

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Propriété

Au point d’abscisse $a$ la tangente à la courbe représentative de $f$ a pour équation :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

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Exemple

Pour déterminer par le calcul un nombre dérivé, on utilise la fonction $f(x)=3x^2-2x+1$, ce qui donne $f'(1)=4$.

Pour écrire l’équation de la tangente au point d’abscisse $a=1$, il ne reste qu’à remplacer dans la formule précédente : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$

On avait $f'(1)=4$ et $f(1)=2$

Donc : $y=4(x-1)+2=4x-4+2=4x-2$

  • L’équation de la tangente en $1$ est $y=4x-2$.
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Attention

Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée mais en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors lire graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.

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Exemple

Le graphique représente la courbe d’une fonction $f$ et ses tangentes en $A,B$ et $C$.

Pour chercher l’équation de la tangente en $A(-2\ ;3)$, on commence par lire $f'(-2)$.

$f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ au point de la courbe d’abscisse $-2$ c’est-à-dire en $A$.

Graphiquement, à partir de $A$ pour atteindre un autre point de la tangente, on « monte » de 2 unités quand on « avance » de 1 unité.

  • On a donc $f'(-2)=\dfrac{2}{1}=2$.

Il reste à écrire l’équation de la tangente en $A$ avec $f'(-2)=2$ et $f(-2)=3$:

$\begin{aligned} y&=f'(-2)\big(x-(-2)\big)+f(-2)\\ &=2(x+2)+3 \\ &=2x+4+3 \\ y&=2x+7 \end{aligned}$

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À retenir

Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.

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Exemple

La tangente au point $C$ d’abscisse $3$ est horizontale donc $f'(3)=0$.

Fonction dérivée

Définition

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Définition

Fonction dérivée :

  • Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

    On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$.

  • La fonction qui, à tout réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$.

    Cette fonction est notée $f'$ et est définie sur $I$

Dérivées des fonctions usuelles

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Attention

En règle générale les fonctions ont le même domaine de dérivabilité que leur domaine de définition, exceptée la fonction racine carrée qui est définie sur $[0\ ;+\infty]$ (zéro inclus) mais qui n’est dérivable que sur $]0\ ;+\infty]$ (zéro exclu).

Dérivées et opérations

Dérivée d’une somme et d’un produit par un réel

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Propriété

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$.

La fonction somme $u+v$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)+v(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :

$(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)$

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À retenir

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :

$(u+v)'=u'+v'$

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Exemple

La dérivée de la fonction $f(x)=x^2+3x-8$ est la somme des dérivées de $x^2$, de $3x$ et de $-8$. Ainsi : $f'(x)=2x+3$.

Dérivée d’un produit d’une fonction par un réel

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Propriété

Propriété :

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $I$ et soit $k$ un réel constant. La fonction $ku$ définie sur $I$ par $f(x)=k\times u(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :

$(ku)'(x)=k\times u'(x)$

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À retenir

La dérivée d’un produit de fonction par un réel est :

$(ku)'=ku'$

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Exemple

La dérivée de la fonction $f(x)=2x^3$ est le produit de la constante $2$ par la dérivée de la fonction $x^3$
Ainsi $f'(x)=2\times 3x^2=6x^2$

Dérivée d’un produit de deux fonctions

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Propriété

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle $I$.

La fonction produit $u\times v$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)\times v(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :

$(u\times v)'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$

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À retenir

La dérivée d’une fonction produit est :

$(uv)'=u'v+uv'$

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Exemple

La fonction $f(x)=(x-1)\sqrt x$ définie sur $\big[0\ ;+\infty\big[$ et dérivable sur $\big]0\ ;+\infty\big[$ ; on note $u(x)=x-1$ donc $u'(x)=1$. Et $v(x)=\sqrt x$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.

On a alors :

$\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x} \\ f'(x)&=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \end {aligned}$

Le calcul de la dérivée est terminé mais on peut simplifier cette expression en mettant au même dénominateur :

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{\sqrt x\times 2\sqrt x}{2\sqrt x} \\ f'(x)&=\dfrac{2x}{2\sqrt x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \\ f'(x)\ &=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x} \end{aligned}$

On obtient donc une expression simplifiée de notre dérivée mais nous pouvons encore l’améliorer en l’écrivant sans la racine au dénominateur :

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x}\times \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x} \\ f'(x)&=\dfrac{(3x-1)\sqrt x}{2x} \end{aligned}$

Dérivée de l’inverse d’une fonction

Soit $v$ une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle $I$.

La fonction $\dfrac{1}{x}$ définie sur $I$ par $f(x)=\dfrac{1}{v(x)}$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :

$\big(\dfrac{1}{v}\big)'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}$

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À retenir

La dérivée de l’inverse d’une fonction est :

$\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}$

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Exemple

La fonction $f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8}$ et $I=\big]-2\ ;2\big[$ ; on note $v(x)=2x^2-8$ donc $v'(x)=4x$

On a alors $f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}$.

Dérivée d’un quotient de deux fonctions

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Propriété

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle $I$. On suppose que $v$ ne s’annule pas sur $I$.

La fonction quotient $\dfrac{u}{v}$ définie sur $I$ par $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :

$\big(\dfrac{u}{v}\big)'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)\ -\ u(x)\times v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}$

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À retenir

La dérivée d’un quotient de deux fonctions est :

$\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}$

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Exemple

La fonction $f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12}$ et $I=\big]-12\ ;+\infty\big[$

On note $u(x)=10x-3$ donc $u'(x)=10$. Et $v(x)=x+12$ donc $v'(x)=1$.

On a alors :

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2} \\ f'(x)&=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2} \\ f'(x)&=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}$