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Introduction :
Ce cours va introduire un nouvel outil mathématique utilisé en arithmétique. On y trouvera des définitions, des propriétés, des méthodes et des exemples.
Diviseurs d’un nombre entier
et désignent des nombres entiers positifs avec . Faire la division euclidienne de par , c’est déterminer le quotient et le reste tels que : , avec :
Effectuons la division euclidienne de par .
On écrit : et . est le dividende, est le diviseur, est le quotient et est le reste.
et désignent des nombres entiers positifs avec .
On dit que est un diviseur de lorsque le reste de la division euclidienne de par est égal à . On écrit : .
On dit aussi que est un multiple de .
Écrivons la liste des diviseurs de .
Nombre premier :
Un nombre entier strictement plus grand que qui admet exactement deux diviseurs ( et lui-même) est appelé nombre premier.
sont des nombres premiers.
ne sont pas des nombres premiers.
PGCD de deux nombres premiers
Diviseur commun :
On dit qu’un nombre est un diviseur commun de deux nombres et s’il divise à la fois et .
Établissons la liste des diviseurs communs de et .
Les diviseurs de sont .
Les diviseurs de sont .
Les diviseurs communs de et sont donc .
et désignent des nombres entiers strictement positifs.
Le plus grand des diviseurs commun à et s’appelle le (Plus Grand Commun Diviseur) des nombres et . Il se note .
Calculs des PGDC
Les diviseurs de sont
Les diviseurs de sont
Les diviseurs communs de et sont
Donc .
et désignent des nombres entiers strictement positifs.
Deux nombres et sont premiers entre eux s’ils ont pour seul diviseur commun . En d’autres termes, deux nombres et sont premiers entre eux si .
Les nombres et sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de sont .
Les diviseurs de sont .
Le seul diviseur commun de et est .
Donc et ainsi, on montre que et sont premiers entre eux.
Algorithme d’Euclide
Méthode de détermination du pour des nombres relativement peu élevés :
et désignent des nombres entiers strictement positifs avec .
On note le reste de la division euclidienne de par .
Alors :
.
Calculons le de et .
On effectue la division euclidienne de par :
d’où
d’où
d’où
d’où
Or donc
Récapitulons dans le tableau suivant :
Dans l’algorithme d’Euclide, le est le dernier reste non nul ( dans cet exemple).
Applications du PGCD
Les fractions irréductibles
Fraction irréductible :
La fraction est dite irréductible si les nombres et sont premiers entre eux.
Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus simplifier son écriture, c’est-à-dire si son numérateur et son dénominateur n’admettent pas de diviseurs communs (à part ).
est irréductible car et n’ont en commun que comme diviseur. On peut aussi dire que et sont premiers entre eux.
Le est très utile pour simplifier des écritures fractionnaires : pour rendre une fraction irréductible, il suffit de la simplifier par le de et .
Simplifions et
Un problème de partage
Dans les problèmes de partage de quantités en parts identiques, on utilise le de ces quantités pour la recherche des solutions optimales.
Dans un collège, il y a filles et garçons. On veut utiliser tous les élèves pour créer des groupes identiques (contenant chacun autant de filles que de garçons.
Le nombre de groupes possible doit nécessairement être un diviseur commun de et .
Le nombre maximal de groupes possible sera le plus grand de ces diviseurs communs, c’est-à-dire .
On pourra donc former au maximum groupes identiques.
De plus, il y aura filles et garçons dans chaque groupe.