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Probabilité : Variable aléatoire et loi de probabilité, espérance et arbre pondéré

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​Introduction :

Cette leçon débute avec la définition d’une variable aléatoire puis nous parlerons de loi de probabilité d’une telle variable. Nous passerons ensuite aux définitions et propriétés de l’espérance, de la variance et de l’écart-type d’une loi de probabilité. Enfin, la troisième partie sera consacrée à la répétition d’expériences identiques et indépendantes

Variable aléatoire et loi de probabilité

Rappels de vocabulaire

  • Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir lequel sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.
  • Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.
  • L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
  • Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.
  • Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.
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Exemple

L’expérience qui consiste à lancer un dé équilibré à six faces et à noter le numéro inscrit sur la face supérieure est une expérience aléatoire.

L’univers de l’expérience est l’ensemble Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}\Omega=\big\lbrace1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\big\rbrace.

L’événement A  : obtenir un reˊsultat pairA\ \text{ : obtenir un résultat pair} est l’ensemble A={2 ; 4 ; 6}A=\big\lbrace2\ ;\ 4\ ;\ 6\big\rbrace.

L’événement élémentaire B  : obtenir un 6B \ \text{ : obtenir un 6} est l’ensemble B={6}B=\big\lbrace 6\big\rbrace.

Variable aléatoire

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Définition

Variable aléatoire :

On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini noté Ω\Omega.

Une variable aléatoire XX est une fonction définie sur Ω\Omega à valeurs dans R.

Définir une variable aléatoire consiste donc à associer un réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.

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Exemple

Un joueur lance un dé équilibré à six faces :

  • S’il obtient 1, 2 ou 3, il perd 5 €.
  • S’il obtient 4 ou 5, il gagne 1 €.
  • S’il obtient 6, il gagne 10 €.

On peut définir la variable aléatoire XX « gain algébrique du joueur ».

Ω\Omega est l’ensemble des issues et X(Ω)X(\Omega) l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire XX.

Illustration de l’expérience aléatoire

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

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Définition

Loi de probabilité d’une variable aléatoire :

Soit XX une variable aléatoire discrète sur ΩΩ qui prend les valeurs x1, x2,  , xkx1,\ x2,\ …\ ,\ x_k.

Définir la loi de probabilité de XX, c’est donner les valeurs de probabilités p(X=xi)p(X=x_i) pour tout entier ii, avec 1ik1≤i≤k.

On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau.

Valeur xi prise par X x1 x2 xk
Probabilité p(X=xi) p1 = p(X = x1) p2 = p(X = x2) pk = p(X = xk)
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Propriété

Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 11. p1+p2++pk=i=1kp(X=xi)=1p1+p2+…+pk=\displaystyle\sum{i=1}^{k} p(X=x_i)=1

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Exemple

« On lance un dé équilibré à six faces. On gagne 2 € si le résultat est 5 ou 6, on gagne 1€ si le résultat est 4 et on perd 1 € sinon.

On appelle GG la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en fin de partie. »

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Astuce

Pour établir la loi de probabilité de GG, tu dois d’abord trouver les valeurs prises par la variable aléatoire GG.

Ici, le joueur peut obtenir :

  • 5 ou 6, dans ce cas le gain algébrique est de 2 € ;
  • 4, dans ce cas le gain algébrique est de 1 € ;
  • 1, 2 ou 3, dans ce cas le gain algébrique est de -1 €.

Donc G(ω)={1 ; 1 ; 2}G(\omega)=\big\lbrace-1\ ;\ 1\ ;\ 2\big\rbrace.

Une fois trouvées les valeurs prises par XX, on doit calculer les probabilités correspondantes :

p(G=2)=26=13p(G=1)=16p(G=1)=36=12\begin{aligned}p(G=2)=\dfrac26=\dfrac13 \ p(G=1)=\dfrac16 \ p(G=-1)=\dfrac36=\dfrac12\end{aligned}

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Astuce

On peut toujours vérifier en faisant la somme des probabilités. On sait que le résultat doit être égal à 1.

p(G=2)+p(G=1)+p(G=1)=13+16+12=26+16+36=66=1\begin{aligned}p(G=2)+p(G=1)+p(G=-1)&=\dfrac13+\dfrac16+\dfrac12\&=\dfrac26+\dfrac16+\dfrac36\&=\dfrac66\&=1\end{aligned}

La loi de probabilité de GG est donc :

gigi -1 1 2
p(G=gi)p(G=gi) 12\dfrac12 16\dfrac16 13\dfrac13

Indicateurs d’une variable aléatoire

Espérance, variance, écart-type

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Définition

Espérance mathématiques :

L’espérance mathématique de la variable aléatoire XX est le réel noté E(X)E(X) défini par : E(X)=x1×p1+x2×p2++xk×pk=i=1kxipi\small E(X)=x1×p1+x2×p2+…+xk×pk=\displaystyle\sum{i=1}^{k}xip_i

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Définition

Espérance d’une variable aléatoire :

L’espérance d’une variable aléatoire XX s’interprète comme la valeur moyenne prise par XX lorsqu’on répète un très grand nombre de fois l’expérience.

gigi -1 1 2
p(G=gi)p(G=gi) 12\dfrac12 16\dfrac16 13\dfrac13
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Exemple

Reprenons l’exemple précédent et calculons l’espérance mathématique de la variable aléatoire G:G:

E(G)=g1p1+g2p2+g3p3=2×13+1×16+(1)×12=23+1612=13E(G)0,33\begin{aligned} E(G)&=g1p1+g2p2+g3p3\ &=2×\dfrac13+1×\dfrac16+(-1)×\dfrac12\ &=\dfrac23+\dfrac16-\dfrac12\ &=\dfrac13 \ E(G)&≈0,33 \end{aligned}

On peut interpréter le résultat de la manière suivante : Si un joueur participait 100 fois à ce jeu, son « gain » total serait d’environ 100×0,3333100×0,33≈33. Ainsi, sur 100 parties, le joueur aurait gagné environ 33 €.

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Définition

Variance de la variable aléatoire :

La variance de la variable aléatoire XX est le réel positif noté V(X)V(X) défini par :

V(X)=p1×(x1E(X))2+p2×(x2E(X))2++pk×(xkE(X))2V(X)=i=1kpi(xiE(X))2\small \begin{aligned} V(X)&=p1×\big(x1-E(X)\big)^2+p2×\big(x2-E(X)\big)^2+…+pk×\big(xk-E(X)\big)^2\ V(X)&=\displaystyle\sum^{k}{i=1}pi\big(x_i-E(X)\big)^2 \end{aligned}

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Exemple

Reprenons encore une fois l’exemple précédent ; on avait trouvé E(G)=13:E(G)=\dfrac13 :

gigi -1 1 2
p(G=gi)p(G=gi) 12\dfrac12 16\dfrac16 13\dfrac13

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Exemple

Calculons la variance de la variable aléatoire GG :

V(G)=13×(213)2+16×(113)2+12×(113)2=13×259+16×49+12×169=179V(G)1,89\small \begin{aligned} V(G)&=\dfrac13×\Big(2-\dfrac13\Big)^2+\dfrac16×\Big(1-\dfrac13\Big)^2+\dfrac12×\Big(-1-\dfrac13\Big)^2\ &=\dfrac13×\dfrac{25}9+16×\dfrac49+12×\dfrac{16}9\&=\dfrac{17}9\V(G)&≈1,89 \end{aligned}

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Définition

Écart-type :

L’écart-type σ(X)\sigma(X) est défini comme la racine carrée de la variance : σ(X)=V(X)\sigma(X)= \sqrt V(X)

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Astuce

La lettre grecque σ\sigma se lit sigma.

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À retenir

La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par XX autour de E(X)E(X). Plus la variance et l’écart-type sont grands, plus les valeurs sont dispersées.

Propriétés de l’espérance et de la variance

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Propriété

Soit XX une variable aléatoire de loi de probabilité (xi ; pi)(xi\ ;\ pi) avec 1ik1≤i≤k.

Soit a et ba\text{ et }b deux réels, on a alors :

  • E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b
  • V(aX)=a2V(X)V(aX)=a^2V(X)
  • V(X+b)=V(X)V(X+b)=V(X)
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Exemple

Soit la loi de probabilité suivante :

xixi -1 2 3 5
p(X=xi)p(X=xi) 0,40,4 0,10,1 0,20,2 0,30,3

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Exemple

On a calculé :

  • son espérance E(X)=1,9E(X)=1,9
  • sa variance V(X)=6,49V(X)=6,49
  • son écart-type σ(X)2,548\sigma(X)≈2,548

On considère la variable aléatoire ZZ définie par Z=2XZ=2X.

L’objectif est de calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de ZZ.

Pour cela, on utilise les propriétés vues précédemment :

  • E(Z)=E(2X)=2E(X)=2×1,9=3,8E(Z)=E(2X)=2E(X)=2×1,9=3,8
  • V(Z)=V(2X)=22V(X)=4V(X)=4×6,49=25,96V(Z)=V(2X)=2^2V(X)=4V(X)=4×6,49=25,96
  • σ(Z)=V(Z)=25,965,095\sigma(Z)=\sqrt{V(Z)}=\sqrt{25,96}≈5,095

Répétition d’expériences identiques et indépendantes

Expériences identiques et indépendantes, arbre pondéré

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Définition

Expériences aléatoires identiques et indépendantes :

Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et les mêmes probabilités, et si la réalisation de l’une ne modifie pas les probabilités des issues de l’autre.

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Exemple

Je lance un premier dé équilibré et j’observe la face supérieure, puis je lance un second dé équilibré. Ces deux expériences aléatoires sont identiques et indépendantes.

Pour modéliser une situation d’expériences répétées indépendantes, on utilise un arbre pondéré.

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Propriété

Sur un arbre pondéré :

  • la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est 1;1 ;
  • la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin ;
  • la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins menant à cet événement.

Méthode de résolution

Voyons comment un arbre pondéré permet d’étudier une variable aléatoire.

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Exemple

« Dans un jeu de 32 cartes, on tire successivement et avec remise deux cartes.

On appelle YY la variable aléatoire égale à 30 si on tire deux figures, à 25 si on tire une figure et une autre carte qui n’est pas une figure et 5 sinon. »

L’objectif est de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire YY.

Pour cela, tu peux commencer par construire un arbre pondéré :

On note FF l’événement « on tire une figure ». L’événement Fˉ\bar F est l’événement contraire de FF, c’est-à-dire « on ne tire pas de figure ».

Comme on effectue deux tirages, il faut construire un arbre pondéré à deux niveaux.

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 12 figures, donc : p(F)=1232=38 et p(Fˉ)=11232=2032=58p(F)=\dfrac{12}{32}=\dfrac38\text{ et }p(\bar F)=1-\dfrac{12}{32}=\dfrac{20}{32}=\dfrac58

Arbre pondéré Arbre pondéré

Pour chaque chemin, on note la correspondance avec la loi de probabilité :

Arbre pondéré Arbre pondéré

Lecture de l’arbre

  • L’événement « obtenir deux figures » est réalisé par le premier chemin (FF)(FF) au bout duquel on note donc Y=30Y=30, d’après l’énoncé.
  • L’événement « obtenir une figure et une carte qui n’est pas une figure » est réalisé par deux chemins (FFˉ)(F\bar F) et (FˉF)(\bar FF) au bout desquels on note donc Y=25Y=25.
  • L’événement « ne pas obtenir de figure » est réalisé par le dernier chemin (FˉFˉ)(\bar F\bar F) au bout duquel on note Y=5Y=5.

D’après les propriétés de calcul avec un arbre pondéré, on obtient :

p(Y=30)=p(FF)=38×38=964p(Y=30)=p(FF)=\dfrac38×\dfrac38=\dfrac9{64}

p(Y=25)=p(FFˉ)+p(FˉF)=38×58+58×38=1564+1564=3064=1532\begin{aligned}p(Y=25)&=p(F\bar F)+p(\bar FF)\&=\dfrac38×\dfrac58+\dfrac58×\dfrac38\&=\dfrac{15}{64}+\dfrac{15}{64}\&=\dfrac{30}{64}\&=\dfrac{15}{32}\end{aligned}

p(Y=5)=p(FˉFˉ)=58×58=2564p(Y=5)=p(\bar F\bar F)=\dfrac58×\dfrac58=\dfrac{25}{64}

  • On obtient la loi de probabilité suivante pour YY :

yiyi 55 2525 3030
p(Y=yi)p(Y=yi) {25}{64}\frac{25}{64} {15}{32}\frac{15}{32} {9}{64}\frac{9}{64}