Probabilités
Introduction
L’objectif de ce cours et de comprendre la notion de probabilité et de savoir calculer la probabilité d’un événement dans une expérience aléatoire dont les issues sont équiprobables, avec un ou deux tirages.
Dans un premier temps, nous rappellerons ce qu’est le hasard et une expérience aléatoire. Puis, nous définirons la notion d’équiprobabilité.
Ensuite, nous verrons comment calculer une probabilité, par le calcul dans une expérience à un tirage et à l’aide d’un tableau ou d’un arbre de probabilité dans une expérience à deux tirages.
Rappel
Dans la vie de tous les jours, il arrive souvent que nous ne connaissions pas à l’avance le résultat d’une action ou d’un événement : va-t-on gagner au jeu de l’oie, tomber sur une pièce pile ou face, ou encore tirer une bille verte d’un sac de billes ?
Ce type de situation où le résultat est incertain s’appelle le hasard. Le hasard désigne ce qu’on ne peut pas prévoir avec certitude, même si on connaît toutes les possibilités.
On retrouve le hasard dans les jeux, dans la météo, dans la prise de certaines décisions, ou encore lors de tirages au sort. Comprendre le hasard, c’est apprendre à reconnaître les situations où l’on ne peut pas tout contrôler, mais où il est possible de calculer les chances de chaque résultat.
En mathématiques, on étudie le hasard avec les probabilités.
Expériences aléatoires et probabilité
Expériences aléatoires et probabilité
Rappel
Définition
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prévu à l’avance, même si on connaît toutes les possibilités de résultats (appelées issues).
Exemple
Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire. Les issues possibles sont les valeurs des face : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
Pour étudier l’expérience aléatoire, on peut décrire des événements en rassemblant les issues entre elles.
Exemple
L’événement « J’obtiens un nombre pair quand je lance un dé à six faces » regroupe les issues { 2 ; 4 ; 6 }.
Quand une situation est due au hasard, cela signifie qu'on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, et que ce résultat ne dépend pas de ce qui s’est passé avant.
Attention
Une situation n’est pas forcément aléatoire juste parce qu’on n’en connaît pas le résultat : si on peut le contrôler ou le choisir, ce n’est pas une expérience aléatoire.
Exemple
Pendant un entrainement de foot :
- Prendre un ballon dans un sac fermé et regarder sa couleur est une expérience aléatoire : on ne peut pas deviner la couleur au toucher !
- Prendre un ballon parmi 6 ballons posés par terre et regarder sa couleur n’est pas dû au hasard : comme on voit les ballons, on peut choisir sa couleur préférée.
- Tirer 1 pénalty regarder si on marque un but n’est pas une expérience aléatoire : cela dépend beaucoup de l’entrainement du joueur et de celui du gardien !
Probabilité des évènements
Probabilité des évènements
Rappel
Les probabilités peuvent s’exprimer en termes de chances. On l’exprime « a chances sur b », où a est le nombre d’issues correspondant à l’évènement et b le nombre total d’issues possibles.
Exemple
- L’événement « J’obtiens un nombre pair quand je lance un dé à six faces ». *J’ai 3 chances sur 6 soit 1 chance sur 2.
Les probabilités peuvent s’exprimer par le nombre égal au quotient : $\dfrac{a}{b}$, où $ {a}$ est le nombre d’issues correspondant à l’évènement et ${b}$ le nombre total d’issues possibles.
À retenir
La probabilité d’un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1 :
- 0 : événement impossible
- 1 : événement certain Plus la probabilité est proche de 1, plus l’événement est probable.
- La probabilité d’un événement peut s’écrire :
$\text{Probabilité d’un événement} = \dfrac{\text{nombre d’issues de l’événement}}{\text{nombre d’issues totales}}$
Elle s’exprime sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
Exemple
- L’événement « J’obtiens un nombre pair quand je lance un dé à six faces » regroupe les issues {2 ; 4 ; 6} , donc 3 issues. En tout, il y a 6 issues possibles : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
- L’événement « J’obtiens un nombre pair » a 3 chances sur 6 d’arriver, sa probabilité est donc de $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}= 0,5 $
REMARQUE
Donner les probabilités sous la forme d’un nombre permet de les comparer plus facilement. Si je dois choisir entre un jeu ou j’ai 1 chance sur 4 de gagner et un jeu ou j’ai 336 chances sur 1680, pas facile de choisir !
En calculant les probabilités, celle de gagner au premier jeu est de de $\dfrac{1}{4} = 0,25$ , celle de gagner pour le second jeu est de $\dfrac{336}{1680} = \dfrac{1}{5} = 0,2$.
Je peux comparer facilement les nombres ($0,2<0,25$) et voir que j’ai plus de chance de gagner avec le premier jeu !
Équiprobabilité : égalité des chances
Équiprobabilité : égalité des chances
Dans certains cas, toutes les issues ont la même chance de se produire : si on tire à pile ou face, il y a la même probabilité de tomber sur pile que sur face.
Dans d’autres cas, les chances ne sont pas équilibrées : si je tire une boule au hasard dans une urne avec 9 boules rouges et une boule noire, je n’ai pas la même probabilité d’avoir rouge ou noir.
Définition
Quand tous les événements ont la même probabilité, on dit qu’ils sont équiprobables. Il suffit alors de diviser 1 par le nombre d’événements possibles pour connaitre cette probabilité.
Exemple
Les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » quand je lance un dé à 6 faces sont équiprobable. Leur probabilité est donc $ 1 \div 2 = \dfrac{1}{2} = 0,5$. Par contre, si je lance la roue ci-dessous dont les secteurs ne sont pas de taille égale, les événements obtenir du rouge et obtenir du bleu ne sont pas équiprobable : j’ai plus de chance d’obtenir du rouge que du bleu.
Légende
Fréquences et probabilité
Fréquences et probabilité
Parfois, on ne peut pas connaitre la probabilité, parce qu’on ne peut pas compter le nombre d’issues possibles.
Si l’on répète un très grand nombre de fois la même expérience, les résultats obtenus se rapprochent de la probabilité.
Exemple
Pour un tirage au sort, 10 billes de couleurs ont été enfermées dans un sac. On note à chaque fois dans un tableau la couleur de la bille avant de la remettre dans le sac. Au bout de 500 tirages, on obtient :
Comme $154 \div 346 \approx 0,3$, la probabilité d’obtenir une boule orange est de 0,3. On peut penser qu’il y a 3 billes orange et 7 billes blanches dans le sac. Plus le nombre de tirage sera grand, plus le résultat se rapproche de la probabilité.
Probabilité après deux expériences aléatoires
Probabilité après deux expériences aléatoires
Quand on fait 2 tirages au sort à la suite, sans lien l’un avec l’autre, le résultat est encore dû au hasard. On parle alors d’expérience aléatoire à deux épreuves.
À retenir
Pour étudier une expérience à deux épreuves et pour dénombrer les issues, on utilise un tableau à double entrée et/ou un arbre de probabilité.
Exemple
Dans un jeu, on lance en même temps 2 dés, l’un avec 3 faces vertes et 3 faces bleues, l’autre avec des faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair bleu ?
Nous trouvons ainsi les 12 issues possibles de l’expérience aléatoire. Il y a donc 12 nombres possibles.
Regardons, parmi ces 12 nombres, lesquels correspondent à l’évènement « obtenir un nombre pair bleu ».
Il y a donc 3 issues qui réalisent l’événement. La probabilité de l’événement « obtenir un nombre pair bleu » est donc de $\dfrac{3}{12}$ soit $\dfrac{1}{4}$.
On aurait aussi pu représenter toutes ces issues dans un arbre de probabilité : On représente d’abord lancer du dé numéroté de 1 à 6 :
Puis on complète avec les issues possibles du lancer du dé avec les faces bleues et vertes pour chaque issue du lancer du dé numéroté de 1 à 6 :
On a maintenant toutes les issues possibles du lancer des 2 dés ensemble (il y en a 12), on cherche les issues qui réalisent l’événement « obtenir un nombre pair bleu » La probabilité de l’événement « obtenir un nombre pair bleu » est donc de $\dfrac{3}{12}$ soit $\dfrac{1}{4}$.
Conclusion
Dans ce cours nous avons vu que :
- En mathématiques, le hasard se mesure avec les probabilités.
- Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
- Pour calculer une probabilité, on divise le nombre d’issues qui réalisent l’événement par le nombre d’issues totales de l’expérience aléatoire.
- Pour dénombrer les issues, on peut utiliser un tableau à double entrée ou un arbre de probabilités.