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Puissance d'un nombre

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Introduction :

Le cerveau contient environ $100\ 000\ 000$ neurones.
La taille d’une cellule est d’environ un cent millième de mètre.
La superficie de la France est approximativement de $675\ 000\ 000\text{ mètres}$.
L’écriture des ces nombres s’avère peu maniable, demande du temps et expose à un risque d’erreur.
Les mathématiciens ont donc inventé les puissances et l’écriture scientifique pour faciliter leurs calculs et leur communication.

Puissances d’exposant entier relatif d’un nombre

Exposant entier positif

$a$ étant un nombre relatif et $n$ étant un nombre entier supérieur à $1$, le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ se note $a^n$.
$$\underbrace{ a^ n = a \times a \times … \times a}_{ {n\ \text{facteurs}}}$$

  • $a^n$ est la puissance d’exposant $n$ du nombre $a$.
  • $n$ est l’exposant.

$a^ n$ se lit : « $a$ exposant $n$ » ou « $a$ puissance $n$ ».

bannière attention

Attention

Cas particuliers

  • $a^ 0=1$ (avec $ a\neq 0$)
  • $a^1= a$
  • $ a^2= a\times a$ (se lit $a$ au carré)
  • $a^3= a\times a\times a$ ( se lit $a$ au cube)
bannière exemple

Exemple

$7^0 = 1$

$15^1 = 15$

« $3$ au carré » : $3^2 = 3 \times 3 = 9$

« $(-4)$ au cube » : $(-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4) = -64$

Exposant entier négatif

$a$ étant un nombre relatif non nul et $n$ un nombre entier positif, le nombre $a^{-n}$ est l’inverse du nombre $a^n$.

$$a^{- n}=\dfrac{1}{a^ n}=\underbrace{\dfrac{1}{ a\times a\times…\times a}}_{ {n\ \text{facteurs}}}$$

et

$$ a^{-1}=\frac1a$$

$a^{-n}$ est la puissance d’exposant $-n$ du nombre $a$.

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Exemple

$3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3\times3}=\dfrac19$

$(-2)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^3}=\dfrac{1}{(-2)\times(-2)\times(-2)}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac18$

$5^{-1} = \dfrac15$ (c’est l’inverse du nombre $5^1 = 5$)

Signe d’une puissance

bannière à retenir

À retenir

Une puissance d’un nombre positif est un nombre positif.

$a$ est un nombre non nul et $n$ un nombre entier positif non nul.

Si $a$ est un nombre strictement positif, alors $a^n$ et $a^{-n}$ sont positifs.

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Exemple

$3$ est un nombre positif, donc $3^4$ et $3^{-4}$ sont positifs.

bannière à retenir

À retenir

Une puissance d’exposant pair d’un nombre négatif est un nombre positif.

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Exemple

$-4$ est un nombre strictement négatif et $6$ est un nombre pair, donc $(-4)^6$ et $(-4)^{-6}$ sont positifs.

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À retenir

Une puissance d’exposant impair d’un nombre négatif est un nombre négatif.

Si $a$ est un nombre strictement négatif et $n$ un nombre impair, alors $a^n$ et $a^{-n}$ sont négatifs.

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Exemple

$-6$ est un nombre négatif et $3$ est un nombre impair, donc $(-6)^3$ et $(-6)^{-3}$ sont négatifs.

Opérations sur les puissances

Calculer avec des puissances d’un même nombre

$a$ étant un nombre non nul et $n$ et $p$ étant deux nombres entiers relatifs :

  • $ a^{ n} \times a^{ p} = a^{ n+ p}$
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Exemple

$5^2 \times 5^4 = 5^{2+4} = 5^6$

$7^{-3} \times 7^5 = 7^{-3+5} = 7^2$

  • $\dfrac{ a^{ n}}{ a^{\ p}} = a^{ n- p}$
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Exemple

$\dfrac{2^8}{2^3}= 2^{8-3} = 2^5$

$\dfrac{3^4}{3^{-5}}= 3^{4-(-5)} = 3^{4+5} = 3^9$

  • $\left( a^{n}\right)^{ p}= a^{ n \times p}$
bannière exemple

Exemple

$\left(5^2\right)^{-3}=5^{2\times(-3)}=5^{-6}$

$\left(4^{-5}\right)^{-2}=4^{-5\times(-2)}=4^{10}$

Calculer avec des puissances de même exposant

$a$ et $b$ étant deux nombres relatifs non nuls et $n$ étant un nombre entier relatif.

  • $a^{ n} \times b^{ n} = ( a \times b)^{ n}$
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Exemple

$5^2 \times 3^2 = (5 \times 3)^2 = 15^2$

$7^{-3} \times 4^{-3} = (7 \times 4)^{-3} = 28^{-3}$

  • $\dfrac{a^{ n}}{ b^{ n}}=\left(\dfrac{ a}{ b}\right)^{ n}$
bannière exemple

Exemple

$\dfrac{5^{4}}{3^{4}}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{4}$

$\dfrac{12^{-3}}{6^{-3}}=\left(\dfrac{12}{6}\right)^{-3}=2^{-3}$

Puissances de 10

Écriture décimale de $10^{ n}$ et de $10^{- n}$

Pour tout entier positif $n$ non nul :

  • l’écriture décimale de $10^{n}$ comporte $n$ zéros après le $1$ ;

$\begin{aligned}10^{n} &= 1\underbrace{00…0} \\ & n \text{ zéros après le } 1 \end{aligned}$

  • l’écriture décimale de $10^{-n}$ comporte $n$ zéros avant le $1$.

$\begin{aligned}10^{-n} &= 0,\underbrace{0…01} \\ & n \text{ zéros avant le }1 \end{aligned}$

bannière exemple

Exemple

$\begin{aligned} 10^{\red{2}}=&10\times10&=1\red{00} \\ \red{2}\: & \red{\text {facteurs}}&\red{2} \:\red{\text{zéros}} \end{aligned} \bigg\rbrace \text {cent}$

$\begin{aligned} 10^{\red{3}}=&10\times10\times 10&=1\red{000} \\ \red{3}\: & \red{\text {facteurs}}&\red{3} \:\red{\text{zéros}} \end{aligned} \bigg\rbrace \text {mille}$

$\begin{aligned} 10^{\red{-1}}=&\red{0},1\\ \red{1} \:&\red{\text{zéro}} \end{aligned} \bigg\rbrace \;\text {un dixième}$

$\begin{aligned} 10^{\red{-6}}=\red{0},\red{0}&\red{0000}1\\ \red{6} \:&\red{\text{zéro}} \end{aligned} \bigg\rbrace \;\text {un millionième}$

Opérations sur les puissances de 10

$n$ et $p$ étant deux nombres entiers relatifs :

  • $10^{n} \times 10^{p} = 10^{n+p}$
  • $\dfrac {10^{ n}}{10^{p}} =10^{n- p}$
  • $\left(10^{n}\right)^{p} = 10^{n\times p}$
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Exemple

$10^4\times10^{(-6)}=10^{4+(-6)}=10^{(-2)}=0,01$

$\frac {10^2}{10^5} =10^{2-5}=10^{-3}=0,001$

$\left(10^{-2}\right)^{-3}=10^{-2×(-3)}=10^6=1\: 000\: 000$

Écriture scientifique d’un nombre décimal

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Définition

Écriture scientifique :

L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique forme $a\times 10^n$ dans laquelle le nombre possède un seul chiffre non nul avant la virgule.

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Exemple

L’écriture scientifique de $2600$ est est $2,6 \times 10^3$.

L’écriture scientifique de $0,0137$ est $1,37 \times 10^{-2}$.

Conclusion :

Les enseignements de ce cours trouvent des applications dans des domaines divers de l’infiniment petit ou l’infiniment grand (par exemple la chimie, l’astrophysique, l’environnement, la géographie, la SVT, etc.).