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Marianne

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Puissance d'un nombre

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Introduction :

Le cerveau contient environ 100 000 000100\ 000\ 000 neurones.
La taille d’une cellule est d’environ un cent millième de mètre.
La superficie de la France est approximativement de 675 000 000 meˋtres675\ 000\ 000\text{ mètres}.
L’écriture des ces nombres s’avère peu maniable, demande du temps et expose à un risque d’erreur.
Les mathématiciens ont donc inventé les puissances et l’écriture scientifique pour faciliter leurs calculs et leur communication.

Puissances d’exposant entier relatif d’un nombre

Exposant entier positif

aa étant un nombre relatif et nn étant un nombre entier supérieur à 11, le produit de nn facteurs égaux à aa se note ana^n.
an=a×a××an facteurs\underbrace{ a^ n = a \times a \times … \times a}_{ {n\ \text{facteurs}}}

  • ana^n est la puissance d’exposant nn du nombre aa.
  • nn est l’exposant.

ana^ n se lit : « aa exposant nn » ou « aa puissance nn ».

bannière attention

Attention

Cas particuliers

  • a0=1a^ 0=1 (avec a0 a\neq 0)
  • a1=aa^1= a
  • a2=a×a a^2= a\times a (se lit aa au carré)
  • a3=a×a×aa^3= a\times a\times a ( se lit aa au cube)
bannière exemple

Exemple

70=17^0 = 1

151=1515^1 = 15

« 33 au carré » : 32=3×3=93^2 = 3 \times 3 = 9

« (4)(-4) au cube » : (4)3=(4)×(4)×(4)=64(-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4) = -64

Exposant entier négatif

aa étant un nombre relatif non nul et nn un nombre entier positif, le nombre ana^{-n} est l’inverse du nombre ana^n.

an=1an=1a×a×...×an facteursa^{- n}=\dfrac{1}{a^ n}=\underbrace{\dfrac{1}{ a\times a\times…\times a}}_{ {n\ \text{facteurs}}}

et

a1=1a a^{-1}=\frac1a

ana^{-n} est la puissance d’exposant n-n du nombre aa.

bannière exemple

Exemple

32=132=13×3=193^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3\times3}=\dfrac19

(2)3=1(2)3=1(2)×(2)×(2)=18=18(-2)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^3}=\dfrac{1}{(-2)\times(-2)\times(-2)}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac18

51=155^{-1} = \dfrac15 (c’est l’inverse du nombre 51=55^1 = 5)

Signe d’une puissance

bannière à retenir

À retenir

Une puissance d’un nombre positif est un nombre positif.

aa est un nombre non nul et nn un nombre entier positif non nul.

Si aa est un nombre strictement positif, alors ana^n et ana^{-n} sont positifs.

bannière exemple

Exemple

33 est un nombre positif, donc 343^4 et 343^{-4} sont positifs.

bannière à retenir

À retenir

Une puissance d’exposant pair d’un nombre négatif est un nombre positif.

bannière exemple

Exemple

4-4 est un nombre strictement négatif et 66 est un nombre pair, donc (4)6(-4)^6 et (4)6(-4)^{-6} sont positifs.

bannière à retenir

À retenir

Une puissance d’exposant impair d’un nombre négatif est un nombre négatif.

Si aa est un nombre strictement négatif et nn un nombre impair, alors ana^n et ana^{-n} sont négatifs.

bannière exemple

Exemple

6-6 est un nombre négatif et 33 est un nombre impair, donc (6)3(-6)^3 et (6)3(-6)^{-3} sont négatifs.

Opérations sur les puissances

Calculer avec des puissances d’un même nombre

aa étant un nombre non nul et nn et pp étant deux nombres entiers relatifs :

  • an×ap=an+p a^{ n} \times a^{ p} = a^{ n+ p}
bannière exemple

Exemple

52×54=52+4=565^2 \times 5^4 = 5^{2+4} = 5^6

73×75=73+5=727^{-3} \times 7^5 = 7^{-3+5} = 7^2

  • ana p=anp\dfrac{ a^{ n}}{ a^{\ p}} = a^{ n- p}
bannière exemple

Exemple

2823=283=25\dfrac{2^8}{2^3}= 2^{8-3} = 2^5

3435=34(5)=34+5=39\dfrac{3^4}{3^{-5}}= 3^{4-(-5)} = 3^{4+5} = 3^9

  • (an)p=an×p\left( a^{n}\right)^{ p}= a^{ n \times p}
bannière exemple

Exemple

(52)3=52×(3)=56\left(5^2\right)^{-3}=5^{2\times(-3)}=5^{-6}

(45)2=45×(2)=410\left(4^{-5}\right)^{-2}=4^{-5\times(-2)}=4^{10}

Calculer avec des puissances de même exposant

aa et bb étant deux nombres relatifs non nuls et nn étant un nombre entier relatif.

  • an×bn=(a×b)na^{ n} \times b^{ n} = ( a \times b)^{ n}
bannière exemple

Exemple

52×32=(5×3)2=1525^2 \times 3^2 = (5 \times 3)^2 = 15^2

73×43=(7×4)3=2837^{-3} \times 4^{-3} = (7 \times 4)^{-3} = 28^{-3}

  • anbn=(ab)n\dfrac{a^{ n}}{ b^{ n}}=\left(\dfrac{ a}{ b}\right)^{ n}
bannière exemple

Exemple

5434=(53)4\dfrac{5^{4}}{3^{4}}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{4}

12363=(126)3=23\dfrac{12^{-3}}{6^{-3}}=\left(\dfrac{12}{6}\right)^{-3}=2^{-3}

Puissances de 10

Écriture décimale de 10n10^{ n} et de 10n10^{- n}

Pour tout entier positif nn non nul :

  • l’écriture décimale de 10n10^{n} comporte nn zéros après le 11 ;

10n=100…0n zeˊros apreˋs le 1\begin{aligned}10^{n} &= 1\underbrace{00…0} \ & n \text{ zéros après le } 1 \end{aligned}

  • l’écriture décimale de 10n10^{-n} comporte nn zéros avant le 11.

10n=0,0…01n zeˊros avant le 1\begin{aligned}10^{-n} &= 0,\underbrace{0…01} \ & n \text{ zéros avant le }1 \end{aligned}

bannière exemple

Exemple

102=10×10=1002facteurs2zeˊros}cent\begin{aligned} 10^{\red{2}}=&10\times10&=1\red{00} \ \red{2}\: & \red{\text {facteurs}}&\red{2} \:\red{\text{zéros}} \end{aligned} \bigg\rbrace \text {cent}

103=10×10×10=10003facteurs3zeˊros}mille\begin{aligned} 10^{\red{3}}=&10\times10\times 10&=1\red{000} \ \red{3}\: & \red{\text {facteurs}}&\red{3} \:\red{\text{zéros}} \end{aligned} \bigg\rbrace \text {mille}

101=0,11zeˊro}  un dixieˋme\begin{aligned} 10^{\red{-1}}=&\red{0},1\ \red{1} \:&\red{\text{zéro}} \end{aligned} \bigg\rbrace \;\text {un dixième}

106=0,0000016zeˊro}  un millionieˋme\begin{aligned} 10^{\red{-6}}=\red{0},\red{0}&\red{0000}1\ \red{6} \:&\red{\text{zéro}} \end{aligned} \bigg\rbrace \;\text {un millionième}

Opérations sur les puissances de 10

nn et pp étant deux nombres entiers relatifs :

  • 10n×10p=10n+p10^{n} \times 10^{p} = 10^{n+p}
  • 10n10p=10np\dfrac {10^{ n}}{10^{p}} =10^{n- p}
  • (10n)p=10n×p\left(10^{n}\right)^{p} = 10^{n\times p}
bannière exemple

Exemple

104×10(6)=104+(6)=10(2)=0,0110^4\times10^{(-6)}=10^{4+(-6)}=10^{(-2)}=0,01

102105=1025=103=0,001\frac {10^2}{10^5} =10^{2-5}=10^{-3}=0,001

(102)3=102×(3)=106=1000000\left(10^{-2}\right)^{-3}=10^{-2×(-3)}=10^6=1\: 000\: 000

Écriture scientifique d’un nombre décimal

bannière definition

Définition

Écriture scientifique :

L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique forme a×10na\times 10^n dans laquelle le nombre possède un seul chiffre non nul avant la virgule.

bannière exemple

Exemple

L’écriture scientifique de 26002600 est est 2,6×1032,6 \times 10^3.

L’écriture scientifique de 0,01370,0137 est 1,37×1021,37 \times 10^{-2}.

Conclusion :

Les enseignements de ce cours trouvent des applications dans des domaines divers de l’infiniment petit ou l’infiniment grand (par exemple la chimie, l’astrophysique, l’environnement, la géographie, la SVT, etc.).