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Reconnaître et utiliser la symétrie axiale
Introduction :
Certaines figures géométriques, comme le losange ou le carré, ont des parties qui sont identiques. Si on plie le carré en deux, les deux parties identiques se superposent. On dit que la figure est symétrique.
Cette leçon va tout d’abord permettre de comprendre le lien entre la symétrie axiale et la perpendicularité. Puis nous apprendrons à construire le symétrique d’un point, d’un segment ou d’une figure géométrique.
Symétrie et perpendicularité
Symétrie et perpendicularité
Rappel
Un axe de symétrie est une droite qui partage une figure géométrique en deux parties identiques et superposables.
À retenir
Deux points sont symétriques par rapport à une droite donnée lorsque le segment qui les joint coupe cette droite perpendiculairement en son milieu.
Illustrons cette phrase complexe avec un exemple.
Exemple
Symétrique d’un point, d’un segment, d’une figure géométrique par rapport à un axe donné
Symétrique d’un point, d’un segment, d’une figure géométrique par rapport à un axe donné
Symétrique d’un point
Symétrique d’un point
Méthode
Nous allons construire le point B symétrique du point A par rapport à la droite (d) en rouge qui est l’axe de symétrie.
- On place une équerre perpendiculairement à l’axe de symétrie passant par le point A. Puis on trace un premier segment du point A jusqu’à l’axe de symétrie.
- On mesure ce premier segment avec une règle graduée.
- On prolonge ce segment de l’autre côté de l’axe de symétrie de la même longueur mesurée à l’étape 2, à l’aide la règle graduée.
Puis, on vérifie que le milieu du segment que l’on vient de tracer est au niveau de l’axe de symétrie.
- On trace enfin le point B à l’extrémité du segment prolongé.
Attention
Si un point est sur l’axe de symétrie, son symétrique est lui-même.
Symétrique d’un segment
Symétrique d’un segment
Pour tracer le symétrique d’un segment, il faut tracer le symétrique de deux points (les deux extrémités du segment) en suivant les 4 étapes ci-dessus.
Exemple
- On veut tracer le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d) qui est l’axe de symétrie.
- On trace d’abord les symétriques des points A et B à l’aide d’une équerre et d’une règle graduée.
- Puis, on relie les deux points, que l’on nomme C et D, du nouveau segment. Le segment [CD] est le segment symétrique à [AB] par rapport à l’axe de symétrie.
Symétrique d’une figure géométrique
Symétrique d’une figure géométrique
Pour tracer le symétrique d’une figure géométrique par rapport à un axe, il faut tracer le symétrique de tous les sommets de la figure puis de relier.
À retenir
Une figure géométrique a toujours le même nombre de sommets que son symétrique par rapport à un axe.
Elle aura toujours le même nombre de côtés, les mêmes mesures, etc.
Exemple
- Voici une figure quelconque. On veut tracer son symétrique par rapport à la droite (d) qui est l’axe de symétrie.
- On trace le symétrique de chaque sommet. Attention, un somment est sur l’axe de symétrie donc son symétrique est lui-même.
- Enfin, on relie chaque point. La figure tracée en bleue est symétrique à celle de départ par rapport à l’axe de symétrie.