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Résoudre des problèmes de proportionnalité

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Introduction :

Les calculs de proportionnalité s’utilisent dans la vie de tous les jours, par exemple dans une recette de cuisine, dans un magasin pour l’achat de plusieurs articles identiques, ou encore pour une distance parcourue à vitesse constante.
Attention toutefois, la proportionnalité n’est pas toujours applicable. L’objectif de ce cours est de discerner les situations de proportionnalité et les situations de non-proportionnalité. Nous allons aussi apprendre à résoudre des problèmes de proportionnalité en appliquant des règles précises.
Dans un premier temps, nous allons apprendre à reconnaître des situations de proportionnalité puis à compléter des tableaux de proportionnalité. Pour terminer, nous nous intéresserons au tableau de proportionnalité.

Reconnaître les situations de proportionnalité

Situation de proportionnalité

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Définition

Situation de proportionnalité :

C’est une situation où les deux grandeurs sont proportionnelles.

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Exemple

Un commerçant vend des pommes à la pesée à 22 € le kilogramme.
Dans un tableau appelé tableau de proportionnalité, nous consignons les prix payés en fonction des quantités achetées.

Tableau de proportionnalité-Mathématiques-4e

22 est le coefficient de proportionnalité (par lequel nous multiplions les quantités pour obtenir les prix).
Le prix payé est proportionnel à la quantité de pommes achetées.

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Définition

Coefficient de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant (ou en divisant) les valeurs de l’autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

Situation de non-proportionnalité

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Définition

Situation de non-proportionnalité :

C’est une situation où les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles, c’est-à-dire si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant ou en divisant les valeurs de l’autre par différents opérateurs.

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Exemple

Le tableau indique la taille de Tom relevée sur son carnet de santé, à 5 ans5\ \text{ans} et à 10ans10\ \text{ans}.

Tableau de non proportionnalité

Nous constatons que 5×2=105 \times 2=10 mais que 105×2145105 \times 2 \neq 145.
La taille de Tom n’est pas doublée lorsque son âge est doublé.
Par conséquent, la taille de Tom n’est pas proportionnelle à son âge.

Compléter un tableau de proportionnalité à partir de différentes méthodes

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Exemple

Une hirondelle se déplace de 2121 mètres en 66 secondes à une allure régulière.

  • Quelle est la distance parcourue par l’hirondelle en 55 secondes ?
  • Méthode : calcul du coefficient de proportionnalité.

Tableau de calcul du coefficient de proportionnalité-Mathématiques-4e

Comme 21:6=3,521:6=3,5
3,53,5 est le coefficient de proportionnalité.
Alors 5×3,5=17,55 \times 3,5=17,5

  • Conclusion : l’hirondelle parcourt 17,5 m17,5\ \text{m} en 5 s5\ \text{s}
  • Quelle est la distance parcourue par l’hirondelle en 1818 secondes ?
  • Méthode : multiplication d’une quantité par un nombre.

Tableau de calcul du coefficient de proportionnalité-Mathématiques-4e

Comme son allure est régulière, l’hirondelle parcourt en trois fois plus de temps une distance trois fois plus grande.
Comme 6×3=186 \times 3 =18 alors 21×3=6321 \times 3=63

  • Conclusion : l’hirondelle parcourt 63 m63\ \text{m} en 18 s18\ \text{s}
  • Quelle est la distance parcourue par l’hirondelle en 44 secondes ?
  • Méthode : calcul d’une quatrième proportionnelle en faisant un produit en croix.

Calcul d’une proportionnelle avec un produit en croix-Mathématiques-4e

(21×4)÷6=84÷6=14(21\times4)÷6=84÷6=14

  • Conclusion : l’hirondelle parcourt 14 m14\ \text{m} en 4 s4\ \text{s}
  • Quelle est la distance parcourue par l’hirondelle en 1010 secondes ?
  • Méthode : additivité

Additivité

Comme 6+4=106+4=10 alors 21+14=3521+14=35

  • Conclusion : l’hirondelle parcourt 35 m35\ \text{m} en 10 s10\ \text{s}

Représentation graphique

Propriété

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Propriété

Si une situation est une situation de proportionnalité, alors les points représentés graphiquement dans un repère sont alignés entre eux et avec l’origine de ce repère.

Exemple graphique de situation de proportionnalité

Si la longueur d’un côté d’un carré est CC, alors le périmètre PP de ce carré se calcule P=4×CP=4\times C.

Situation de proportionnalité-Mathématiques-4e

Graphique d'une situation de proportionnalité-Mathématiques-4e

Le périmètre d’un carré est proportionnel à la longueur d’un de ses côtés. Donc les points de la représentation graphique du périmètre du carré en fonction de la longueur d’un de ses côtés sont alignés entre eux et avec l’origine du repère.

Réciproque de la propriété

Si les points d’une représentation graphique sont alignés entre eux et avec l’origine d’un repère, alors ces points représentent une situation de proportionnalité.

Réciproque de la propriété-Mathématiques-4e

  • Les points de la représentation graphique AA ne sont pas alignés, donc ce n’est pas une situation de proportionnalité.
  • Les points de la représentation graphique BB sont alignés entre eux et avec l’origine du repère, c’est donc une situation de proportionnalité.
  • Les points de la représentation graphique CC ne sont pas alignés avec l’origine du repère donc ce n’est pas une situation de proportionnalité.

Exemple graphique de situation de non-proportionnalité

Un théâtre pour enfants propose le tarif suivant :

En achetant la carte à 2020 €, Hugo a droit à un tarif de 44 € par spectacle.

Le tableau donne le prix payé par Hugo pour assister aux spectacles.

Alt texte

Si Hugo choisit de ne voir qu’un spectacle dans l’année il paiera 2424 € car 20+4=2420 +4 =24
S’il choisit de voir 44 spectacles dans l’année, il paiera 3636 € car 20+(4×4)=20+16=3620+ (4\times 4)=20+16=36
S’il choisit de voir 99 spectacles dans l’année, Hugo paie 5656 € car 20+(9×4)=20+36=5620+(9\times 4)=20+36=56

Graphique de situation de non proportionnalité-Mathématiques-4e

Les points de la représentation graphique sont pas alignés avec l’origine du repère, donc la dépense d’Hugo n’est pas proportionnelle au nombre de spectacles.

Conclusion :

Nous avons appris à gérer une situation de proportionnalité à l’aide :

  • de formules ;
  • de tableaux ;
  • de graphiques. Il y a quatre méthodes au choix qui permettent de remplir un tableau de proportionnalité:
  • calcul du coefficient de proportionnalité ;
  • multiplication d’une quantité par un nombre ;
  • produit en croix ;
  • additivité.
    La physionomie d’une courbe nous permet de voir s’il s’agit d’une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité.