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Introduction :
Les calculs de proportionnalité s’utilisent dans la vie de tous les jours, par exemple dans une recette de cuisine, dans un magasin pour l’achat de plusieurs articles identiques, ou encore pour une distance parcourue à vitesse constante.
Attention toutefois, la proportionnalité n’est pas toujours applicable. L’objectif de ce cours est de discerner les situations de proportionnalité et les situations de non-proportionnalité. Nous allons aussi apprendre à résoudre des problèmes de proportionnalité en appliquant des règles précises.
Dans un premier temps, nous allons apprendre à reconnaître des situations de proportionnalité puis à compléter des tableaux de proportionnalité. Pour terminer, nous nous intéresserons au tableau de proportionnalité.
Reconnaître les situations de proportionnalité
Situation de proportionnalité
Situation de proportionnalité :
C’est une situation où les deux grandeurs sont proportionnelles.
Un commerçant vend des pommes à la pesée à € le kilogramme.
Dans un tableau appelé tableau de proportionnalité, nous consignons les prix payés en fonction des quantités achetées.
est le coefficient de proportionnalité (par lequel nous multiplions les quantités pour obtenir les prix).
Le prix payé est proportionnel à la quantité de pommes achetées.
Coefficient de proportionnalité :
Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant (ou en divisant) les valeurs de l’autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.
Situation de non-proportionnalité
Situation de non-proportionnalité :
C’est une situation où les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles, c’est-à-dire si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant ou en divisant les valeurs de l’autre par différents opérateurs.
Le tableau indique la taille de Tom relevée sur son carnet de santé, à et à .
Nous constatons que mais que .
La taille de Tom n’est pas doublée lorsque son âge est doublé.
Par conséquent, la taille de Tom n’est pas proportionnelle à son âge.
Compléter un tableau de proportionnalité à partir de différentes méthodes
Une hirondelle se déplace de mètres en secondes à une allure régulière.
Comme
est le coefficient de proportionnalité.
Alors
Comme son allure est régulière, l’hirondelle parcourt en trois fois plus de temps une distance trois fois plus grande.
Comme alors
Comme alors
Représentation graphique
Propriété
Si une situation est une situation de proportionnalité, alors les points représentés graphiquement dans un repère sont alignés entre eux et avec l’origine de ce repère.
Exemple graphique de situation de proportionnalité
Si la longueur d’un côté d’un carré est , alors le périmètre de ce carré se calcule .
Le périmètre d’un carré est proportionnel à la longueur d’un de ses côtés. Donc les points de la représentation graphique du périmètre du carré en fonction de la longueur d’un de ses côtés sont alignés entre eux et avec l’origine du repère.
Réciproque de la propriété
Si les points d’une représentation graphique sont alignés entre eux et avec l’origine d’un repère, alors ces points représentent une situation de proportionnalité.
Exemple graphique de situation de non-proportionnalité
Un théâtre pour enfants propose le tarif suivant :
En achetant la carte à €, Hugo a droit à un tarif de € par spectacle.
Le tableau donne le prix payé par Hugo pour assister aux spectacles.
Si Hugo choisit de ne voir qu’un spectacle dans l’année il paiera € car
S’il choisit de voir spectacles dans l’année, il paiera € car
S’il choisit de voir spectacles dans l’année, Hugo paie € car
Les points de la représentation graphique sont pas alignés avec l’origine du repère, donc la dépense d’Hugo n’est pas proportionnelle au nombre de spectacles.
Conclusion :
Nous avons appris à gérer une situation de proportionnalité à l’aide :