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Programme Primaire CM2Cours MathématiquesRésoudre des problèmes de proportionnalitéundefined : Résoudre des problèmes de proportionnalitéRésoudre des problèmes de proportionnalité
Introduction
En CM1, nous avons appris à reconnaître une situation de proportionnalité et à résoudre des problèmes simples. Dans cette leçon, nous allons approfondir ces connaissances et découvrir plusieurs méthodes pour résoudre des problèmes de proportionnalité.
Prérequis : N’hésite pas à consulter le cours de CM1 - Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité
Identifier une situation de proportionnalité
À retenir
Une situation est proportionnelle lorsque les deux grandeurs varient dans la même proportion.
Pour reconnaitre une situation de proportionnalité, on vérifie qu’on peut dire « fois plus » ou « fois moins » pour passer d’une grandeur à une autre.
Exemple
Remarque : Dans une situation de proportionnalité, on peut additionner des quantités qui correspondent.
Exemple
- Le prix de 3 sacs de billes est égal au prix de 2 sacs auquel on ajoute le prix de 1 sac ;
- La quantité de farine nécessaire pour 10 personnes est égale à la quantité nécessaire pour 4 personnes, ajoutée à celle nécessaire pour 4 autres personnes et à celle nécessaire pour 2 personnes.
Résoudre un problème de proportionnalité
Pour résoudre un problème de proportionnalité, il faut chercher les relations entre les grandeurs et expliquer chaque étape du raisonnement.
Plusieurs raisonnements sont possibles.
Chercher une valeur intermédiaire
Exemple
Observons le problème suivant :
300 cartes de collection coûtent 48 euros. Combien coûtent 350 cartes de collection ?
- Qu’observons-nous et que cherchons-nous ?
Nous connaissons le prix de 300 cartes et nous cherchons le prix de 350 cartes.
On remarque que 300 et 350 sont tous les deux des multiples de 50. Nous pouvons donc commencer par chercher le prix de 50 cartes.
- Trouver le prix de 50 cartes
On sait que : $$300=6\times50$$
300 cartes correspondent donc à 6 paquets de 50 cartes.
Le prix de 300 cartes est également 6 fois plus élevé que celui de 50 cartes.
Si je connais bien mes tables de multiplication, je sais compléter cette égalité : $$48=6\times8$$
- Le prix de 50 cartes est donc 8 euros.
Nous pouvons maintenant utiliser cette valeur intermédiaire de deux façons différentes :
- Raisonner avec des paquets identiques
On sait que : $$350=7\times50$$ 350 cartes correspondent donc à 7 paquets de 50 cartes. Le prix de 350 cartes est alors 7 fois plus élevé que celui de 50 cartes : $$8\times7=56$$
350 cartes de collection coûtent donc 56 euros.
Pour récapituler
- 50 cartes coûtent 8 euros ;
- 350 cartes correspondent à 7 paquets de 50 cartes ;
- 7 paquets coûtent ($7\times8=56$) euros.
- Décomposer la quantité recherchée
On peut également remarquer que : $$350=300+50$$ 350 cartes correspondent donc à 300 cartes auxquelles on ajoute 50 cartes. Le prix de 350 cartes est alors égal au prix de 300 cartes auquel on ajoute le prix de 50 cartes : $$48+8=56$$ 350 cartes coûtent donc 56 euros.
Pour récapituler
- 300 cartes coûtent 48 euros ;
- 50 cartes coûtent 8 euros ;
- 350 cartes correspondent à ($300+50$) cartes ; elles coûtent donc ($48+8=56$) euros.
Passer par l’unité
Certains problèmes peuvent être résolus en cherchant d’abord la valeur correspondant à une unité.
Exemple
Prenons l’exemple suivant :
Une voiture parcourt 12 km en 8 minutes. En roulant à la même vitesse, quelle distance parcourt-elle en 11 minutes ?
- Qu’observons-nous et que cherchons-nous ?
Nous connaissons la distance parcourue en 8 minutes et nous cherchons celle parcourue en 11 minutes.
- Trouver la distance parcourue en 1 minute
Pour passer à l’unité nous devons trouver le nombre de kilomètres parcourus en 1 minute. Pour trouver la distance parcourue en 1 minute, on divise par 8 les grandeurs.
8 minutes divisé par 8 est égal à 1 minute. 12 km divisé par 8 est égal à 1,5 km.
La voiture parcourt donc 1,5 km en 1 minute.
- Trouver la distance parcourue en 11 minutes
La distance parcourue en 11 minutes est 11 fois plus grande que celle parcourue en 1 minute.
On calcule donc : $$1,5\times11=16,5$$
- En 11 minutes, la voiture va donc parcourir 16,5 km.
À retenir
Pour résoudre un problème de proportionnalité, on peut :
- chercher une valeur intermédiaire ;
- décomposer une quantité en une somme ;
- passer par l’unité.
Dans tous les cas, il faut expliquer les relations entre les grandeurs à l’aide d’expressions comme « fois plus », « fois moins » ou « autant que ».
