Pour la fête d’un village, on organise une course cycliste. Une prime totale de 320 € sera répartie entre les trois premiers coureurs.

• Le premier touchera la prime d’or, le deuxième la prime d’argent et le troisième la prime de bronze.
• La prime d’or s’élève à 70 € de plus que la prime d’argent
• La prime de bronze à 80 € de moins que la prime d’argent.

Quelle est la prime de chacun des trois premiers coureurs ?

Méthode : utiliser un schéma en barres

En lisant l’énoncé, on voit que les montants sont donnés par rapport à la prime d’argent :

• la prime d’or s’élève à 70 € de plus que la prime d’argent ;
• la prime de bronze s’élève à 80 € de moins que la prime d’argent.

Cependant, représenter « 80 € de moins que » dans un schéma est moins pratique, car il faudrait commencer par une grande barre et en enlever une partie. Ainsi il est plus pratique de choisir la prime la plus petite comme référence : la prime de bronze.

• La prime d’argent s’élève à 80 € de plus que la prime de bronze.
• La prime d’or s’élève à 70 € de plus que la prime d’argent, donc à $70 € + 80 € = 150 €$ de plus que la prime de bronze.

Nous obtenons le schéma en barres suivant :

• Le montant total des 3 primes est de 320 €.

• 3 primes de bronze sont donc égales à : $320 € - 80 € - 150 € = 90 €$.

• 1 prime de bronze est donc égale à $90 € \div 3 = 30 €$.

• Nous en déduisons la prime d’argent qui est de : $30 € + 80 € = 110 €$.

• Puis la prime d’or qui est de : $150 € + 30 € = 180 €$.

En additionnant les 3 primes, nous pouvons vérifier que leur somme est bien égale à 320 €  : $30 € + 110 € + 180 € = 320 €$.

On vend deux lots :

• Lot 1 : 4 ananas + 1 pastèque = 31 €
• Lot 2 : 2 ananas + 2 pastèques = 29 €

Nous souhaitons déterminer le prix d’un ananas et celui d’une pastèque.

Méthode 1 :

D’après les informations du lot 2, en divisant par 2, un ananas et une pastèque coûtent ensemble : $29 ÷ 2 = 14,50 €$.

D’après les informations du lot 1, en « soustrayant » le nouveau lot au lot 1, 3 ananas coûtent : $31 € - 14,50 € = 16,50 €$.

Un ananas coûte donc : $16,50 € \div 3 = 5,50 €$.

Etant donné qu’un ananas et une pastèque coutent ensemble 14,50 € et qu’un ananas coûte 5,50 €, une pastèque coûte donc $14,50 € - 5,50 € = 9 €$.

Nous pouvons vérifier que ces valeurs conviennent bien :

• Lot 1 : $4\times5,50 + 9 = 22 + 9 = 31 €$
• Lot 2 : $2\times 5,50 + 2\times 9 = 11 + 18 = 29 €$

Dans ce problème, un ananas coûte donc 5,50 € et une pastèque 9 €.

Méthode 2 :

En « additionnant » les deux lots, 6 ananas et 3 pastèques coûtent ensemble $31 € + 29 € = 60 €$.

Puis en divisant par 3, 2 ananas et une pastèque coûtent ensemble $60 € \div 3 = 20 €$.

D’après les informations du lot 2, en « soustrayant » ce nouveau lot au lot 2, une pastèque coûte : $29 € - 20 € = 9 €$.

Puis, d’après les informations de ce nouveau lot, 2 ananas coûte $20 € - 9 € = 11 €$ et un ananas coûte $11 € \div 2 = 5,50 €$.

Identifier et utiliser la structure d’un motif évolutif

Nous pouvons être amené à étudier la structure d’un motif évolutif, pour repérer une régularité et identifier sa structure, et ainsi pouvoir connaître son évolution après plusieurs étapes.

[EX]

A partir d’un carré, nous avons fabriqué des croix en utilisant plusieurs fois ce même carré, comme sur le dessin ci-dessous :

La question est : combien faut-il de carrés pour réaliser la croix :

• à l’étape 2 ?
• à l’étape 4 ?
• à l’étape 10 ?

À l’étape 1, la croix est formée d’un seul carré.

À l’étape 2, il faut 4 carrés supplémentaires, soit : $1 + 1\times 4 = 5$ carrés au total.

À l’étape 3, on ajoute 4 carrés de plus qu’à l’étape précédente, ainsi : $1+2\times 4 = 9$ carrés au total.

À l’étape 4, on ajoute encore 4 carrés, il faut donc : $1+3\times4=13$ carrés pour réaliser la croix.

On remarque qu’à chaque étape, on ajoute 4 carrés de plus que l’étape précédente. Ainsi, pour construire la croix de l’étape 10, nous pouvons nous aider du tableau suivant pour observer une régularité dans l’évolution du motif.

A l’étape 10, il faut donc 37 carrés pour réaliser la croix.

REMARQUE

Pour un entier naturel $n>2$, pour réaliser une croix à l’étape $n$, il faut $1+(n–1)\times4$ carrés.

Nous avons fabriqué des petites maisons avec des allumettes, comme sur le dessin ci-dessous :

La question est : combien faut-il d’allumettes pour réaliser :

• 1 maison ?
• 4 maisons ?
• 25 maisons ?

À l’étape 1, il faut 6 allumettes pour construire 1 maison.

À l’étape 2, il faut 5 allumettes supplémentaires pour construire une maison supplémentaire : $6+1\times5=11$ allumettes pour construire 2 maisons.

À l’étape 3, pour construire 3 maisons, il faut : $6+2\times 5=16$ allumettes.

À l’étape 4, pour construire 4 maisons, il faut : $6+3\times5 =21$ allumettes.

On remarque qu’à chaque étape, on ajoute 5 allumettes de plus que l’étape précédente. Ainsi, pour connaître le nombre d’allumettes nécessaires pour construire 25 maisons, nous pouvons nous aider du tableau suivant pour observer une régularité dans l’évolution du motif.

REMARQUE

Pour un entier naturel $n > 2$, pour construire $n$ maisons, il faut $6 + (n – 1)\times 5$ allumettes.