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Second degré

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Fonction polynôme de degré 2

Définition :

Une fonction polynôme de degré 22 est une fonction définie sur RR dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a0a\neq0.

Les réels a,ba,b et cc sont appelés coefficients de la fonction polynôme.

Forme développée

L’expression ax2+bx+cax^2+bx+c avec a0a\neq0 est la forme développée d’une fonction polynôme du second degré appelée aussi trinôme du second degré.

Forme canonique

Propriété :

Toute fonction polynôme de degré 22 de forme développée ax2+bx+cax^2+bx+c admet une écriture de la forme a(xα)2+βa(x-\alpha)^2+\beta

α=b2a\alpha=-\dfrac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha).

Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.

Forme factorisée

Pour trouver la forme factorisée il faut obligatoirement calculer ce discriminant appelé aussi delta. Soit le trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac

  • Si Δ>0\Delta > 0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet deux solutions distinctes : x1=bΔ2ax1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=b+Δ2ax2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  • Si Δ=0\Delta=0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet une unique solution : x0=b2ax_0=\dfrac{-b}{2a}
  • Si Δ<0\Delta<0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 n’a pas de solution.

Propriété : factorisation du trinôme

Soit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq0, un trinôme du second degré.

  • Si Δ>0\Delta > 0 (discriminant du trinôme strictement positif), f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a(x-x1 )(x-x2)x1x1 et x2x2 sont les racines du trinôme.
  • Si Δ=0\Delta = 0 (discriminant nul), f(x)=a(xx0)2f(x)=a(x-x0)^2x0x0 est la racine du trinôme.
  • Si Δ<0\Delta < 0 (discriminant strictement négatif), alors f(x)f(x) ne se factorise pas.

Résolution d’une inéquation du second degré

On considère le trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c

  • Dans le cas où Δ>0\Delta > 0 :

Alt texte

Le trinôme est du signe de a sur ] ;x1[]-\infty\ ;x1 [ et sur ]x2;+[]x2;+\infty[ et du signe contraire de a sur ]x1 ;x2[]x1\ ;x2 [.

Dans le cas où Δ=0\Delta=0 :

Le trinôme est du signe de aa pour tout réel xx0x\neq x0 et le trinôme s’annule pour x=x0x=x0.

  • Dans le cas où Δ<0\Delta<0 :

Pour tout réel xx, le trinôme est du signe de aa.