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Soutien scolaire 6e - CollègeCours MathématiquesCours : Voir dans l’espace et calculer des volumesVoir dans l’espace et calculer des volumes
Introduction
L’objectif de ce cours est de revoir les solides de l’espace, avec plusieurs façons de les représenter, et de montrer comment calculer le volume d’assemblages de solides. Dans ce cours, nous reverrons dans un premier temps les solides usuels de l’espace selon plusieurs modes de représentation. Dans un deuxième temps, nous présenterons le calcul de volumes d’assemblages de solides à partir d’une unité de volume définie ou bien de l’unité $\mathrm{cm}^3$.
Les solides usuels
Les solides usuels
Reconnaître les solides usuels
Reconnaître les solides usuels
Rappel
| Nom du solide | Représentation spatiale du solide | Caractéristiques |
| le cube |
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| le pavé droit |
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| le prisme droit |
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| le cylindre |
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| le cône |
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| la pyramide |
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| la boule |
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Représentations des solides usuels
Représentations des solides usuels
Représentation en perspective cavalière
Propriété
C’est une façon de dessiner un solide pour donner une impression de profondeur :
- Les faces avant et arrière gardent leurs vraies formes.
- Seuls les angles droits des faces avant et arrière sont représentés par des angles droits.
- Les arêtes cachées sont en pointillés.
- Certaines longueurs sont un peu réduites pour donner l’effet de perspective.
Exemple
Le pavé droit $ABCDEFGH$ est le solide représenté ci-dessous en perspective cavalière, où toutes les faces sont rectangulaires.
Le cube représenté ci-dessous en perspective cavalière est un pavé droit qui a 6 faces carrées.
Patron d’un solide
Définition
Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après pliages, d’obtenir ce solide sans superposition des faces.
Exemple
Patron d’un pavé droit
Patron d’un cube
Vue selon la position de l’observateur
Exemple
Exemple
Volumes de solides
Volumes de solides
Définition du volume : cas général
Définition du volume : cas général
Définition
Après avoir choisi un solide dont le volume est considéré comme l’unité de volume, nous pouvons calculer le volume d’un assemblage de ce solide, en dénombrant le nombre de fois où il est présent dans l’assemblage.
Exemple
Le pavé droit ci-contre est composé de deux épaisseurs, où chacune est composée de $2\times 2 = 4$ unités de volume. Son volume est donc de $2\times 4 = 8$ unités.
Volumes en $\mathrm{cm}^3$
Volumes en $\mathrm{cm}^3$
Définition
$1~{\mathrm{cm}}^3$ est le volume d’un cube d’arête $1~\mathrm{cm}$.
Pour calculer le volume d’un assemblage de ce cube de $1~{\mathrm{cm}}^3$, nous pouvons dénombrer le nombre de fois où il est présent dans l’assemblage et exprimer le résultat en $\mathrm{cm}^3$.
Exemple
Ce solide est un assemblage de cubes de $1~{\mathrm{cm}}^3$. Dénombrons les :
- $1^{re}$ couche : $3\times 3 = 9$ cubes.
- $2^{ème}$couche : $3 + 2 + 1 = 6$ cubes.
- $3^{ème}$couche : 4 cubes.
C’est donc un assemblage de 19 cubes, de volume total $19 ~{\mathrm{cm}}^3$.
Exemple
Ce pavé droit est un assemblage de cubes de $1~{\mathrm{cm}}^3$. Ce pavé droit est composé de $3\times 4\times 3 = 36$ cubes de volume $1~{\mathrm{cm}}^3$. Le volume de ce pavé droit est donc de $36~{\mathrm{cm}}^3$. $36 > 19$ donc son volume est plus grand que celui de la figure du dessus.
Conclusion
Dans ce cours, nous avons revu les solides usuels de l’espace représentés de plusieurs façons : en perspective cavalière, par un patron et par une vue selon la position de l’observateur.
Enfin, nous avons vu comment calculer le volume d’un assemblage de solides, en fonction d’un volume unité qui est donné ou de l’unité $\mathrm{cm}^3$, en effectuant un dénombrement dans cet assemblage de solides. Il s’agit d’une présentation du calcul de volumes de solides : il sera approfondi en $5^{e}$, puis jusqu’à la fin du collège.