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Programme Collège 3eCours MathématiquesSemaine 2 - Calcul littéral et équationsFiche de révision : Semaine 2 - Calcul littéral et équations
Semaine 2 - Calcul littéral et équations
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Calcul littéral et équation
Calcul littéral et équation
Développement et factorisation
Développement et factorisation
📐 Distributivité simple
Définition
Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$ : $ k(a + b) = ka + kb $ $ k(a - b) = ka - kb $
Exemple
$ 3(x - 2) = 3x - 6 $ $ -2(x + 5) = -2x - 10 $
🔁 Opposé d’une expression
Définition
$ -(a + b) = -a - b $ $ -(a - b) = -a + b $
Exemple
$ -(3x - 2) = -3x + 2 $ $ -(-x + 7 - y) = x - 7 + y $
🔂 Double distributivité
Définition
$ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd $
Exemple
$ (x + 6)(x - 3) = x^2 - 3x + 6x - 18 = x^2 + 3x - 18 $
🧠 Identité remarquable
Définition
$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $ Appelée différence de carrés.
Exemple
$ (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 $ $ (9y - 12)(9y + 12) = 81y^2 - 144 $
Astuce
Reconnaître un carré parfait permet de factoriser rapidement une différence : $ x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7) $
Résolution d’équations
Résolution d’équations
📌 Rappels de propriétés
Définition
Une équation est une égalité contenant une inconnue. Une solution est une valeur qui rend cette égalité vraie.
Transformations autorisées :
- ajouter / soustraire un même nombre aux deux membres ;
- multiplier / diviser par un même nombre non nul.
Exemple
$ 3(2 - 4{,}5x) = -(1{,}5x + 14) $
Développement : $ 6 - 13{,}5x = -1{,}5x - 14 $
Mise en forme : $ -12x = -20 \Rightarrow x = \dfrac{5}{3} $
🔩 Équations produit nul
Définition
Si $ A \cdot B = 0 $, alors $ A = 0 $ ou $ B = 0 $
Exemple
$ (2x - 7)(3x + 4) = 0 $
$ \Rightarrow 2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{7}{2} $
$ \Rightarrow 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{4}{3} $
Astuce
Pense à factoriser pour ramener une équation complexe à une équation produit nul.
🧮 Cas particulier : $ x^2 = a $
Définition
Si $ a < 0 $, aucune solution réelle.
Si $ a = 0 $, $ x = 0 $
Si $ a > 0 $, $ x = \pm \sqrt{a} $
Exemple
$ x^2 = 64 \Rightarrow x = -8 \text{ ou } x = 8 $
Modéliser une situation avec une équation
Modéliser une situation avec une équation
- Choisir une inconnue $ x $
- Traduire la situation en équation
- Résoudre cette équation
- Vérifier que la solution est cohérente
- Conclure dans le contexte du problème
Exemple
Problème : Un récupérateur d’eau coûte $199$ €, coûte $13$ €/an d’entretien et permet d’économiser $55$ €/an. Au bout de combien d’années sera-t-il rentable par rapport à une facture d’eau annuelle de $545$ € ?
Équation : $ 545x = 199 + 13x $ $\Rightarrow x = \dfrac{199}{545 - 13} = \dfrac{199}{42} \approx 4{,}74 $
Conclusion : Le système est rentable à partir de la 5ᵉ année.
À retenir pour le brevet
À retenir pour le brevet
- Maîtriser le calcul littéral : développement, réduction, factorisation.
- Savoir reconnaître et utiliser une identité remarquable.
- Savoir résoudre une équation simple ou une équation produit.
- Savoir modéliser une situation réelle par une équation.
- Justifier les étapes avec des propriétés connues.