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Programme Collège 3eCours MathématiquesSemaine 3 - Statistiques et probabilitésFiche de révision : Semaine 3 - Statistiques et probabilités
Semaine 3 - Statistiques et probabilités
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Statistiques
Statistiques
Caractéristiques d’une série statistique
Caractéristiques d’une série statistique
📌 Vocabulaire de base
Définition
Caractère : ce que l’on étudie (ex. : taille, nombre de livres lus…).
Valeur : une réponse possible.
Effectif : nombre d’occurrences d’une valeur.
Fréquence : proportion d’une valeur dans l’ensemble :
$ \text{Fréquence} = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}} $
Moyenne
Moyenne
Définition
La moyenne représente une valeur centrale, souvent utilisée pour résumer l’ensemble d’une série.
$ \bar{x} = \dfrac{\sum (\text{valeurs} \cdot \text{effectifs})}{\text{effectif total}} $
Définition
Moyenne pondérée : C’est une moyenne qui prend en compte la fréquence d’apparition de chaque valeur.
$ \bar{x} = \dfrac{x_1 \cdot n_1 + x_2 \cdot n_2 + \dots + x_k \cdot n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $ où $x_i$ est une valeur et $n_i$ son effectif.
Médiane
Médiane
Définition
La médiane est la valeur qui partage une série triée en deux groupes de même effectif.
Effectif impair : médiane = valeur du milieu.
Effectif pair : médiane = moyenne des deux valeurs centrales.
Exemple
Série triée : $ 3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 9 $ → Médiane = $ 6 $
Série triée : $ 3,\ 4,\ 6,\ 7 $ → Médiane = $ \dfrac{4 + 6}{2} = 5 $
Étendue
Étendue
Définition
L’étendue mesure la dispersion des valeurs.
$ \text{Étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale} $
Exemple
Série : $ 3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 9 $ → Étendue = $ 9 - 3 = 6 $
Données regroupées par classes
Données regroupées par classes
Définition
Quand les valeurs sont nombreuses, on peut les regrouper par intervalles réguliers (ou classes). On utilise alors un tableau avec :
- bornes de classes,
- effectifs,
- centres de classes,
- fréquences.
Estimation de la moyenne : $ \bar{x} \approx \dfrac{\sum (\text{centre} \cdot \text{effectif})}{\text{effectif total}} $
Histogramme : Représentation graphique des effectifs (ou fréquences) des classes.
Astuce
Besoin de plus de détails ? Consulte le cours :
Probabilités
Probabilités
📘 Vocabulaire fondamental
📘 Vocabulaire fondamental
Définition
- Expérience aléatoire : on connaît toutes les issues possibles, mais pas le résultat à l’avance.
- Issue : un résultat possible.
- Événement : un ensemble d’issues.
- Événement élémentaire : événement composé d’une seule issue. Ex. : « Obtenir 4 au lancer d’un dé » .
- Événement certain : réalisé quelle que soit l’issue. Ex. : « Obtenir un nombre inférieur à 7 » avec un dé.
- Événement impossible : ne peut jamais se réaliser. Ex. : « Obtenir 9 au lancer d’un dé » .
- Événement contraire : l’événement qui ne réalise pas l’événement initial (noté $ \bar{A} $).
Calcul de probabilité (issues équiprobables)
Calcul de probabilité (issues équiprobables)
Formule : $ P(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}} $
Encadrement : $ 0 \leq P(A) \leq 1 $
Cas particuliers :
$ P(\text{événement certain}) = 1 $
$ P(\text{événement impossible}) = 0 $
$ P(\text{événement contraire}) = 1 - P(A) $
Fréquence et loi des grands nombres
Fréquence et loi des grands nombres
Définition
La fréquence d’apparition d’une issue tend à se stabiliser autour de sa probabilité lorsque l’on répète un très grand nombre de fois l’expérience.
Exemple
Probabilité théorique d’obtenir un $6$ au dé : $ P(6) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667 $ Après $10,000$ lancers, la fréquence obtenue est proche de $0{,}1667$.
Expériences à deux épreuves
Expériences à deux épreuves
Définition
Une expérience aléatoire peut comporter plusieurs étapes. On utilise alors un tableau à double entrée ou un arbre pour représenter toutes les issues possibles.
Exemple
On tire deux jetons numérotés de $1$ à $4$ avec remise. Toutes les combinaisons possibles forment des nombres à deux chiffres (ex. $23$). Il y a $16$ issues (4 × 4). Si on gagne si le nombre est multiple de $8$, alors on compte les cas favorables et on applique : $ P(\text{gagner}) = \dfrac{\text{issues favorables}}{16} $
Astuce
Besoin de plus de détails ? Consulte le cours : Les probabilités
À retenir pour le brevet
À retenir pour le brevet
- Savoir calculer : moyenne, moyenne pondérée, médiane, étendue, fréquences.
- Connaître les bases des probabilités simples.
- Distinguer les événements élémentaires, certains, impossibles, contraires.
- Représenter toutes les issues avec un tableau ou un arbre.
- Estimer une probabilité à partir d’une fréquence.