Un ensemble est un regroupement d'objets du même type.
Les ensembles
Les ensembles
$\mathbb R$, $\mathbb Z$ ou encore $\mathbb Q$ sont des ensembles.
$I=[1\ ;+\infty[$ est un ensemble de réel.
$S=\lbrace 1,\pi,\sqrt 2\rbrace$ est un ensemble de réels.
$S=\lbrace \overrightarrow{AB}\ ; \overrightarrow{DE}\ ;\overrightarrow{EA}\ ;\overrightarrow{FG}\rbrace$ est un ensemble de vecteurs.
Généralement, un ensemble ne contenant aucun élément est noté avec le symbole ensemble vide sans accolades : $S= \emptyset$.
Dans un intervalle, le symbole infini est toujours accolé à un crochet ouvert : $[a\ ;+\infty[$ ou $]-\infty \ ;a[$.
Appartenance à un ensemble
Appartenance à un ensemble
Le fait qu’un réel $a$ appartienne à un ensemble $S$ est noté : $a \in S$.
À l'inverse, un réel $b$ n'appartenant pas à un ensemble $S$ est noté : $b \notin S$.
Relations d’ensembles
Relations d’ensembles
Soient deux ensembles de réels $A$ et $B$, on a alors les définitions suivantes :
| Notation | Définition | Schéma | Exemple |
| $A \supset B$
$B \subset A$ |
$A$ contient $B$
$B$ est inclus dans $A$ |
|
$[3\ ;9] \supset \lbrace 5\ ; 7\rbrace$
$\mathbb N \subset \mathbb R$ |
| $A\not \supset B$
$B\not \subset A$ |
$A$ ne contient pas $B$
$B$ n’est pas inclus dans $A$ |
|
$\mathbb N \not \supset \mathbb Q$
$\lbrace0\ ;5\rbrace\not\subset ]-\infty\ ;4]$ |
| $A \cap B$ | Ensemble des éléments communs à $A$ et $B$ |
|
$[0\ ;2[ \cap [1\ ; +\infty[=[1\ ; 2[$
$\mathbb N \cap \mathbb R = \mathbb N$ |
| $A \cup B$ | Ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ |
|
$[0\ ;2[\cup [1\ ;5[=[0\ ;5[$
$\mathbb Q \cup \mathbb Q^\prime = \mathbb R$ |
Note : $\mathbb Q^\prime$ est l’ensemble des nombres irrationnels.
Propriété
$A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A \Leftrightarrow A \cup B=B$