Ensembles et relations d'ensembles - Mathématiques

Les ensembles

$\mathbb R$ , $\mathbb Z$ ou encore $\mathbb Q$ sont des ensembles.
$I=[1\ ;+\infty[$ est un ensemble de réel.
$S=\lbrace 1,\pi,\sqrt 2\rbrace$ est un ensemble de réels.
$S=\lbrace \overrightarrow{AB}\ ; \overrightarrow{DE}\ ;\overrightarrow{EA}\ ;\overrightarrow{FG}\rbrace$ est un ensemble de vecteurs.

Généralement, un ensemble ne contenant aucun élément est noté avec le symbole ensemble vide sans accolades : $S= \emptyset$ .
Dans un intervalle, le symbole infini est toujours accolé à un crochet ouvert : $[a\ ;+\infty[$ ou $]-\infty \ ;a[$ .

Appartenance à un ensemble

Le fait qu’un réel $a$ appartienne à un ensemble $S$ est noté : $a \in S$ .
À l'inverse, un réel $b$ n'appartenant pas à un ensemble $S$ est noté : $b \notin S$ .

Relations d’ensembles

Soient deux ensembles de réels $A$ et $B$ , on a alors les définitions suivantes :

Notation	Définition	Schéma	Exemple
$A \supset B$ $B \subset A$	$A$ contient $B$ $B$ est inclus dans $A$	$Ensemble et relations d'ensembles bien rédiger en mathématiques seconde$	$[3\ ;9] \supset \lbrace 5\ ; 7\rbrace$ $\mathbb N \subset \mathbb R$
$A\not \supset B$ $B\not \subset A$	$A$ ne contient pas $B$ $B$ n’est pas inclus dans $A$	$Ensemble et relations d'ensembles bien rédiger en mathématiques seconde$	$\mathbb N \not \supset \mathbb Q$ $\lbrace0\ ;5\rbrace\not\subset ]-\infty\ ;4]$
$A \cap B$	Ensemble des éléments communs à $A$ et $B$	$Ensemble et relations d'ensembles bien rédiger en mathématiques seconde$	$[0\ ;2[ \cap [1\ ; +\infty[=[1\ ; 2[$ $\mathbb N \cap \mathbb R = \mathbb R$
$A \cup B$	Ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$	$Ensemble et relations d'ensembles bien rédiger en mathématiques seconde$	$[0\ ;2[\cup [1\ ;5[=[0\ ;5[$ $\mathbb Q \cup \mathbb Q^\prime = \mathbb R$

Note : $\mathbb Q^\prime$ est l’ensemble des nombres irrationnels.

Propriété

$A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A \Leftrightarrow A \cup B=B$

Introduction

Description

Les ensembles

Appartenance à un ensemble

Relations d’ensembles

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