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Marianne

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Flèches de raisonnements logiques
Bien rédiger

Introduction

Lors de la rédaction des démonstrations et calculs, les liens entre les différents éléments (implications, équivalences, etc.) sont représentés par des symboles qui permettent de simplifier la lecture.

Decription

Soient AA et BB des affirmations mathématiques vraies ou fausses.

Symbole

Notation

Définition

Exemple

\Rightarrow \Leftarrow ABA\Rightarrow B BAB \Leftarrow A Cette flèche signifique « implique ».

Ici, AA est vrai implique BB est vrai.

La réciproque n’est pas forcément vraie :

  • si AA n’est pas vrai, on ne peut rien dire sur BB ;
  • si on ne connaît que BB, on ne peut rien dire sur AA.
Pour tout xRx \in \mathbb R :

x>4Ax>0B\underbrace{x > 4}A \Rightarrow \underbrace{x > 0}B

Réciproque fausse :

  • pour x=2x=2 : AA est faux mais BB est vrai ;
  • pour x=2x=-2 : AA est faux et BB est faux.
\Leftrightarrow ABA\Leftrightarrow B BAB\Leftrightarrow A Cette double flèche signifie « équivaut à ».

Ici, AA est vrai si et seulement si / équivaut à / signifie que BB est vrai.

Une équivalence est une implication dans les deux sens : la réciproque est toujours vraie.

Pour tout xRx\in \mathbb R :

x2=1{x=1oux=1x^2=1\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{ccc} &x=1 \ &\text{ou} \ &x=-1\end{array}\right.

\mapsto xyx \mapsto y Cette flèche signifique « associe à ».

Ici, à xx on associe yy.

Cette notation est principalement utilisée pour définir des fonctions :

[ff la fonction qui à xx associe f(x)f(x)]\Leftrightarrow [f:xf(x)f : x \mapsto f(x)]

Soit f:x4x+1f : x \mapsto 4x + 1 définie sur R\mathbb R.