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Flèches de raisonnements logiques
Bien rédiger

Introduction

Lors de la rédaction des démonstrations et calculs, les liens entre les différents éléments (implications, équivalences, etc.) sont représentés par des symboles qui permettent de simplifier la lecture.

Decription

Soient $A$ et $B$ des affirmations mathématiques vraies ou fausses.

Symbole

Notation

Définition

Exemple

$$\Rightarrow$$ $$\Leftarrow$$ $$A\Rightarrow B$$ $$B \Leftarrow A$$ Cette flèche signifique « implique ».

Ici, $A$ est vrai implique $B$ est vrai.

La réciproque n’est pas forcément vraie :

  • si $A$ n’est pas vrai, on ne peut rien dire sur $B$ ;
  • si on ne connaît que $B$, on ne peut rien dire sur $A$.
Pour tout $x \in \mathbb R$ :

$$\underbrace{x > 4}_A \Rightarrow \underbrace{x > 0}_B$$

Réciproque fausse :

  • pour $x=2$ : $A$ est faux mais $B$ est vrai ;
  • pour $x=-2$ : $A$ est faux et $B$ est faux.
$$\Leftrightarrow$$ $$A\Leftrightarrow B$$ $$B\Leftrightarrow A$$ Cette double flèche signifie « équivaut à ».

Ici, $A$ est vrai si et seulement si / équivaut à / signifie que $B$ est vrai.

Une équivalence est une implication dans les deux sens : la réciproque est toujours vraie.

Pour tout $x\in \mathbb R$ :

$$x^2=1\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{ccc} &x=1 \\ &\text{ou} \\ &x=-1\end{array}\right.$$

$$\mapsto$$ $$x \mapsto y$$ Cette flèche signifique « associe à ».

Ici, à $x$ on associe $y$.

Cette notation est principalement utilisée pour définir des fonctions :

[$f$ la fonction qui à $x$ associe $f(x)$]$\Leftrightarrow$ [$f : x \mapsto f(x)$]

Soit $f : x \mapsto 4x + 1$ définie sur $\mathbb R$.