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Savoir-faire

Savoir calculer le sinus d’un réel connaissant son cosinus et inversement

Savoir calculer le sinus d’un réel connaissant son cosinus et inversement
Savoir-faire

Pré-requis

Pour tout nombre réel xx on a :

−1≤cos⁡x≤1−1≤sin⁡x≤1\begin{aligned} &-1\leq \cos x\leq1\ &-1\leq \sin x\leq1\ \end {aligned}

Pour tout nombre réel xx on a : (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2+(\sin x)^2=1

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer le sinus d’un réel connaissant son cosinus et inversement.

On donne sin⁡x=0,8\sin x=0,8 et 0<x<π20< x <\dfrac{\pi}{2} Le but est de trouver la valeur de cos⁡x\cos x.

Etapes

Utiliser la relation fondamentale : (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2+(\sin x)^2=1

cos⁡2x+sin⁡2x=1⇔cos⁡2x+(0,8)2=1⇔cos⁡2x+0,64=1⇔cos⁡2x=1−0,64⇔cos⁡2x=0,36⇔cos⁡x=0,36 ou cos⁡x=−0,36⇔cos⁡x=0,6 ou cos⁡x=−0,6\begin{aligned}&\cos^2x+\sin^2x=1 \&\Leftrightarrow\cos^2x+(0,8)^2=1\ &\Leftrightarrow\cos^2x+0,64=1\ &\Leftrightarrow\cos^2x=1-0,64\ &\Leftrightarrow\cos^2x=0,36\ &\Leftrightarrow\cos x=\sqrt{0,36}\text{ ou }\cos x=-\sqrt{0,36}\ &\Leftrightarrow\cos x=0,6\text{ ou }\cos x=-0,6\ \end{aligned}

Déduire les (cos⁡x)(\cos x)

L’énoncé dit que xx est compris entre 00 et π2\dfrac{\pi}{2} donc il se situe sur le quart de cercle en haut à droite et son cosinus est donc positif.

  • On en déduit que cos⁡x=0,6\cos x=0,6.