Pour tout nombre réel $x$ on a :
$\begin{aligned} &-1\leq \cos x\leq1\\ &-1\leq \sin x\leq1\\ \end {aligned}$
Pour tout nombre réel $x$ on a : $(\cos x)^2+(\sin x)^2=1$
À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer le sinus d’un réel connaissant son cosinus et inversement.
On donne $\sin x=0,8$ et $0< x <\dfrac{\pi}{2}$ Le but est de trouver la valeur de $\cos x$.
Utiliser la relation fondamentale : $(\cos x)^2+(\sin x)^2=1$
$\begin{aligned}&\cos^2x+\sin^2x=1 \\&\Leftrightarrow\cos^2x+(0,8)^2=1\\ &\Leftrightarrow\cos^2x+0,64=1\\ &\Leftrightarrow\cos^2x=1-0,64\\ &\Leftrightarrow\cos^2x=0,36\\ &\Leftrightarrow\cos x=\sqrt{0,36}\text{ ou }\cos x=-\sqrt{0,36}\\ &\Leftrightarrow\cos x=0,6\text{ ou }\cos x=-0,6\\ \end{aligned}$
Déduire les $(\cos x)$
L’énoncé dit que $x$ est compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ donc il se situe sur le quart de cercle en haut à droite et son cosinus est donc positif.
- On en déduit que $\cos x=0,6$.