Savoir-faire : Savoir calculer une distance dans un repère orthonormé

Coordonnées d’un point :

• Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées d’un point $M$ sont l’abscisse $x_M$ et l’ordonnée $y_M$ de $M$. On note $M(x_M;y_M)$.

Calcul de longueur :

• On se place dans un plan rapporté à un repère orthonormé.
  On considère les points $\text{A}(x_A;y_A)$ et $\text{B}(x_B;y_B)$.
  La distance de $\text{A}$ à $\text{B}$, notée $\text{AB}$, vaut : $\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
• Cette relation n’est valable que si le repère est orthonormé.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer une distance dans un repère orthonormé.

Soient $A(3,5)$ et $B(2,6)$.
Calculer la longueur $AB$.

Calculer la longueur $AB$

$\begin{array}{ll}AB&=\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2} \\ \ \\ &=\sqrt{(2-3)^2+(6-5)^2 } \\ \ \\ &=\sqrt{(-1)^2+(1)^2} \\ \ \\ &=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\end{array}$