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Marianne

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Savoir calculer une distance dans un repère orthonormé
Savoir-faire

Pré-requis

Coordonnées d’un point :

  • Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées d’un point MM sont l’abscisse xMxM et l’ordonnée yMyM de MM. On note M(xM;yM)M(xM;yM).

Calcul de longueur :

  • On se place dans un plan rapporté à un repère orthonormé.
    On considère les points A(xA;yA)\text{A}(xA;yA) et B(xB;yB)\text{B}(xB;yB).
    La distance de A\text{A} à B\text{B}, notée AB\text{AB}, vaut : AB=(xBxA)2+(yByA)2\text{AB}=\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}
  • Cette relation n’est valable que si le repère est orthonormé.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer une distance dans un repère orthonormé.

Soient A(3,5)A(3,5) et B(2,6)B(2,6).
Calculer la longueur ABAB.

Etapes

Calculer la longueur ABAB

AB=(xBxA)2+(yByA)2 =(23)2+(65)2 =(1)2+(1)2 =1+1=2\begin{array}{ll}AB&=\sqrt{(xB-xA )^2+(yB-yA )^2} \ \ \ &=\sqrt{(2-3)^2+(6-5)^2 } \ \ \ &=\sqrt{(-1)^2+(1)^2} \ \ \ &=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\end{array}