Savoir construire le tableau de variation d’une fonction et déterminer ses extrema

Fonction croissante :
Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.
Pour tout nombre $u$ et $v$ de $I$, dire que $f$ est strictement croissante sur $I$ signifie que si $u < v$, alors $f(u) < f(v)$.

• On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.

Fonction décroissante :
Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.
Pour tout nombre $u$ et $v$ de $I$, dire que $f$ est strictement décroissante sur $I$ signifie que si $u < v$ alors $f(u) > f(v)$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment construire le tableau de variation d’une fonction et déterminer ses extrema.

Écrire les bornes des intervalles sur lesquels $f$ est croissante ou décroissante dans la première ligne

Il s’agit des valeurs de $x$ (antécédents), que l’on peut lire sur l’axe des abscisses.

• La fonction est définie sur $[-4 ; 5]$
• La fonction est croissante sur $[-4 ; -1]$ et sur $[2 ; 5]$
• La fonction est décroissante sur $[-1 ; 2]$

Écrire $f(x)$ dans la deuxième ligne

Écrire les images des valeurs de $x$ notées dans la première ligne et dessiner une flèche qui monte lorsque la fonction est croissante et une flèche qui descend lorsque la fonction est décroissante.

Déterminer le maximum et le minimum de la fonction

• Le maximum de la fonction est $4$ et il est atteint pour $x=-1$
• Le minimum de la fonction est $1$ et il est atteint pour $x=2$