Savoir-faire : Savoir montrer que deux vecteurs sont colinéaires

• Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Dire que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires signifie que :
• les vecteurs ont la même direction ou bien l’un des deux vecteurs est le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ;
• les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.
• Soit le vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan ayant pour coordonnées $\overrightarrow{u}(x\ ;\ y)$ et $k$ un réel.
  Le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $k\overrightarrow{u}(kx\ ;\ ky)$.
  Deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x\ ;\ y)$ et $\overrightarrow{v}(x'\ ;\ y')$ du plan sont colinéaires si et seulement si : $$xy'-x'y=0$$

À l’aide d’un exemple nous allons voir comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires.

Soit les vecteurs $\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$, $\overrightarrow{v}(-2\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{w}(-6\ ;\ 2)$.
Lesquels sont colinéaires ?

Calculer $xy'-x'y$

• $(-3)\times1-(-2)\times1=-3+2=-1\neq0$
  Donc $\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{v}(-2\ ;\ 1)$ ne sont pas colinéaires

• $(-3)\times2-(-6)\times1=-6+6=0$
  Donc $\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{w}(-6\ ;\ 2)$ sont colinéaires