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Marianne

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Savoir montrer que deux vecteurs sont colinéaires
Savoir-faire

Pré-requis

  • Soit u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. Dire que les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires signifie que :
  • les vecteurs ont la même direction ou bien l’un des deux vecteurs est le vecteur nul 0\overrightarrow{0} ;
  • les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel kk tel que u=kv\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}.
  • Soit le vecteur u\overrightarrow{u} du plan ayant pour coordonnées u(x ; y)\overrightarrow{u}(x\ ;\ y) et kk un réel.
    Le vecteur kuk\overrightarrow{u} a pour coordonnées ku(kx ; ky)k\overrightarrow{u}(kx\ ;\ ky).
    Deux vecteurs u(x ; y)\overrightarrow{u}(x\ ;\ y) et v(x ; y)\overrightarrow{v}(x'\ ;\ y') du plan sont colinéaires si et seulement si : xyxy=0xy'-x'y=0

À l’aide d’un exemple nous allons voir comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires.

Soit les vecteurs u(3 ; 1)\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1), v(2 ; 1)\overrightarrow{v}(-2\ ;\ 1) et w(6 ; 2)\overrightarrow{w}(-6\ ;\ 2).
Lesquels sont colinéaires ?

Etapes

Calculer xyxyxy'-x'y

  • (3)×1(2)×1=3+2=10(-3)\times1-(-2)\times1=-3+2=-1\neq0
    Donc u(3 ; 1)\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1) et v(2 ; 1)\overrightarrow{v}(-2\ ;\ 1) ne sont pas colinéaires

  • (3)×2(6)×1=6+6=0(-3)\times2-(-6)\times1=-6+6=0
    Donc u(3 ; 1)\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1) et w(6 ; 2)\overrightarrow{w}(-6\ ;\ 2) sont colinéaires