Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Savoir reconnaître et résoudre des formes usuelles d’équations
Savoir-faire

Pré-requis

Toutes les équations à résoudre en classe de seconde seront sous (ou pourront se ramener à) une des 4 formes suivantes :

  • Premier degré (fonction affine) : ax+b=0ax+b=0
  • Second degré (fonction carré) : x2=ax^2=a
  • Produit nul (fonction polynôme du second degré) : (ax+b)(cx+d)=0(ax+b)(cx+d)=0
  • Quotient (fonction homographique) : ax+bcx+d=0\dfrac{ax+b}{cx+d}=0

Etapes

Identifier la forme de l’équation :

  • 4x3=2x+14x-3=2x+1

On repère que l’équation E1E1 est une équation du premier degré. On la transforme pour la ramener à la forme  : ax+b=0ax+b=0.

4x3=2x+14x2x31=02x4=0\begin{aligned} &4x-3=2x+1\ &\Leftrightarrow 4x-2x-3-1=0\ &\Leftrightarrow 2x-4=0 \end{aligned} Identifier la forme de l’équation :

  • 5x2+25=05x^2+25=0

On reconnaît une équation du second degré. On la transforme pour la ramener à la forme:x2=ax^2=a.
5x2+25=05x2=25x2=255x2=5\begin{aligned}\begin {aligned}\ &5x^2+25=0\ &\Leftrightarrow5x^2=-25\ &\Leftrightarrow x^2=-\dfrac{25}{5}\ &\Leftrightarrow x^2=-5 \end{aligned}\end{aligned}

Identifier la forme de l’équation :

  • 3(x1)2=x(x1)3(x-1)^2=x(x-1)

Repérer un facteur commun : (x1)(x-1) on reconnait bien une équation produit nul de la forme (ax+b)(cx+d)=0(ax+b)(cx+d)=0

3(x1)2=x(x1)3(x1)2x(x1)=0on passe tout du meˆme coˆteˊ de l’eˊgaliteˊ3(x1)(x1)x(x1)=0(x1)[3(x1)x]=0on factorise par x-1(x1)(3x3x)=0(x1)(2x3)=0on simplifie\begin{aligned}\begin {aligned} &3(x-1)^2=x(x-1) \ &\Leftrightarrow3(x-1)^2-x(x-1)=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\text{on passe tout du même côté de l'égalité}\ &\Leftrightarrow3(x-1)(x-1)-x(x-1)=0\ &\Leftrightarrow(x-1)[3(x-1)-x]=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\text{on factorise par x-1}\ &\Leftrightarrow(x-1)(3x-3-x)=0\ &\Leftrightarrow(x-1)(2x-3)=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\text{on simplifie}\end{aligned}\end{aligned}

Identifier la forme de l’équation :

  • 2x+4x6+8=0\dfrac{2x+4}{x-6}+8=0

On repère un quotient mais l’équation n’est pas encore sous la forme ax+bcx+d=0\dfrac{ax+b}{cx+d}=0.

2x+4x6+8=02x+4x6+8(x6)x6=0on met au meˆme deˊnominateur2x+4x6+8x48x6=02x+4+8x48x6=0on ajoute les deux quotients10x44x6=0on simplifie\begin{aligned}&\dfrac{2x+4}{x-6}+8=0 \ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4}{x-6}+\dfrac{8(x-6)}{x-6}=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\text{on met au même dénominateur}\ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4}{x-6}+\dfrac{8x-48}{x-6}=0\ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4+8x-48}{x-6}=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\text{on ajoute les deux quotients}\ &\Leftrightarrow\dfrac{10x-44}{x-6}=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\text{on simplifie} \end{aligned}

  • On arrive à une équation quotient de la forme ax+bcx+d=0\dfrac{ax+b}{cx+d}=0.