Savoir-faire : Savoir reconnaître et résoudre des formes usuelles d’équations

Toutes les équations à résoudre en classe de seconde seront sous (ou pourront se ramener à) une des 4 formes suivantes :

• Premier degré (fonction affine) : $ax+b=0$
• Second degré (fonction carré) : $x^2=a$
• Produit nul (fonction polynôme du second degré) : $(ax+b)(cx+d)=0$
• Quotient (fonction homographique) : $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$

Identifier la forme de l’équation :

• $4x-3=2x+1$

On repère que l’équation $E1$ est une équation du premier degré. On la transforme pour la ramener à la forme  : $ax+b=0$.

$\begin{aligned} &4x-3=2x+1\\ &\Leftrightarrow 4x-2x-3-1=0\\ &\Leftrightarrow 2x-4=0 \end{aligned}$

Identifier la forme de l’équation :

• $5x^2+25=0$

On reconnaît une équation du second degré. On la transforme pour la ramener à la forme:$x^2=a$.
$\begin{aligned}\begin {aligned}\\ &5x^2+25=0\\ &\Leftrightarrow5x^2=-25\\ &\Leftrightarrow x^2=-\dfrac{25}{5}\\ &\Leftrightarrow x^2=-5 \end{aligned}\end{aligned}$

Identifier la forme de l’équation :

• $3(x-1)^2=x(x-1)$

Repérer un facteur commun : $(x-1)$ on reconnait bien une équation produit nul de la forme $(ax+b)(cx+d)=0$

$\begin{aligned}\begin {aligned} &3(x-1)^2=x(x-1) \\ &\Leftrightarrow3(x-1)^2-x(x-1)=0 ::::::::::::::\text{on passe tout du même côté de l'égalité}\\ &\Leftrightarrow3(x-1)(x-1)-x(x-1)=0\\ &\Leftrightarrow(x-1)[3(x-1)-x]=0 :::::::::::::\text{on factorise par x-1}\\ &\Leftrightarrow(x-1)(3x-3-x)=0\\ &\Leftrightarrow(x-1)(2x-3)=0 ::::::::::::::::::::::::\text{on simplifie}\end{aligned}\end{aligned}$

Identifier la forme de l’équation :

• $\dfrac{2x+4}{x-6}+8=0$

On repère un quotient mais l’équation n’est pas encore sous la forme $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$.

$\begin{aligned}&\dfrac{2x+4}{x-6}+8=0 \\ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4}{x-6}+\dfrac{8(x-6)}{x-6}=0:::::::::::\text{on met au même dénominateur}\\ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4}{x-6}+\dfrac{8x-48}{x-6}=0\\ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4+8x-48}{x-6}=0::::::::::::::\text{on ajoute les deux quotients}\\ &\Leftrightarrow\dfrac{10x-44}{x-6}=0::::::::::::::::::::::::::::::\text{on simplifie} \end{aligned}$

• On arrive à une équation quotient de la forme $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$.