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Marianne

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Savoir résoudre des inéquations à l’aide de la fonction carré
Savoir-faire

Pré-requis

La fonction ff telle que f(x)=x2f(x)=x^2 est appelée fonction carré ; elle est définie sur R\mathbb{R}.
Autrement dit, la fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel xx associe son carré x2x^2.

f:xx2f:x→x^2

Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on calcule quelques valeurs :
xx sera présent sur l’axe des abscisses et x2x^2 (c’est-à-dire y) sur l’axe des ordonnées.

f(x)=x2f(0)=(0)2=0(0;0)f(1)=(1)2=1(1;1)f(1)=(1)2=1(1;1)f(2)=(2)2=4(2;4)f(2)=(2)2=4(2;4)f(3)=(3)2=9(3;9)f(3)=(3)2=9(3;9)\begin{array}{l} f(x)=x^2\ f({\color{red}0})=(0)^2={\color{green}0} &&({\color{red}0} ; {\color{green}0})\ f({\color{red}1})=(1)^2={\color{green}1} &&({\color{red}1} ; {\color{green}1}) &&f({\color{orange}-1})=(-1)^2={\color{blue}1} &&({\color{orange}-1} ; {\color{blue}1})\ f({\color{red}2})=(2)^2={\color{green}4} &&({\color{red}2} ; {\color{green}4}) &&f({\color{orange}-2})=(-2)^2={\color{blue}4} &&({\color{orange}-2} ; {\color{blue}4})\ f({\color{red}3})=(3)^2={\color{green}9} &&({\color{red}3} ; {\color{green}9}) &&f({\color{orange}-3})=(-3)^2={\color{blue}9} &&({\color{orange}-3} ; {\color{blue}9}) \end{array}

Les solutions de l’équation x2=kx^2=k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe PP et de la droite y=ky=k parallèle à l’axe des abscisses.

Pour résoudre une équation du type x2=kx^2=k : Soit un réel kk :

  • si k<0k<0 l’équation x2=kx^2=k n’a pas de solution : S=S=\emptyset
  • si k=0k=0 l’équation x2=kx^2=k a une unique solution : S={0}S=\lbrace{0}\rbrace
  • si k>0k>0 l’équation x2=kx^2=k a deux solutions opposées : S={k ;k}S=\lbrace{ -\sqrt{k}\ ; \sqrt{k}\:}\rbrace

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment résoudre des inéquations à l’aide de la fonction carré.

Etapes

  • Résoudre l’inéquation x22x^2\leq2
  • Étudier le signe de KK

k=2k =2, l’équation x2=2x^2=2 admet deux solutions opposées 2-\sqrt{2} et 2\sqrt{2}.

  • Tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite de l’équation

La droite d’équation y=2y=2.
On voit bien sur le graphique qu’il y a deux points d’intersection entre les deux.

  • Déterminer l’intervalle de l’ensemble des solutions

On repère les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée inférieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont en dessous de la droite y=2y=2). S=[2 ; 2]S=[-\sqrt{2}\ ;\ \sqrt{2}]

  • Résoudre l’inéquation x22x^2\geq2

On s’intéresse aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée supérieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont au-dessus de la droite y=2y=2). S=] ; 2 ][2 ; +[S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{2}\ ]\cup[\sqrt{2}\ ;\ +\infty[

Pour noter un ensemble de solution, lorsqu’il s’agit d’une inégalité large (\leq ou \geq) le crochet est tourné vers l’intérieur de l’ensemble solution et lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (< ou >) le crochet est tourné vers l’extérieur.