Savoir résoudre des inéquations à l’aide de la fonction carré

La fonction $f$ telle que $f(x)=x^2$ est appelée fonction carré ; elle est définie sur $\mathbb{R}$.
Autrement dit, la fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel $x$ associe son carré $x^2$.

$f:x→x^2$

Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on calcule quelques valeurs :
$x$ sera présent sur l’axe des abscisses et $x^2$ (c’est-à-dire y) sur l’axe des ordonnées.

$\begin{array}{l} f(x)=x^2\ f({\color{red}0})=(0)^2={\color{green}0} &&({\color{red}0} ; {\color{green}0})\ f({\color{red}1})=(1)^2={\color{green}1} &&({\color{red}1} ; {\color{green}1}) &&f({\color{orange}-1})=(-1)^2={\color{blue}1} &&({\color{orange}-1} ; {\color{blue}1})\ f({\color{red}2})=(2)^2={\color{green}4} &&({\color{red}2} ; {\color{green}4}) &&f({\color{orange}-2})=(-2)^2={\color{blue}4} &&({\color{orange}-2} ; {\color{blue}4})\ f({\color{red}3})=(3)^2={\color{green}9} &&({\color{red}3} ; {\color{green}9}) &&f({\color{orange}-3})=(-3)^2={\color{blue}9} &&({\color{orange}-3} ; {\color{blue}9}) \end{array}$

Les solutions de l’équation $x^2=k$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe $P$ et de la droite $y=k$ parallèle à l’axe des abscisses.

Pour résoudre une équation du type $x^2=k$ : Soit un réel $k$ :

• si $k<0$ l’équation $x^2=k$ n’a pas de solution : $S=\emptyset$
• si $k=0$ l’équation $x^2=k$ a une unique solution : $S=\lbrace{0}\rbrace$
• si $k>0$ l’équation $x^2=k$ a deux solutions opposées : $S=\lbrace{ -\sqrt{k}\ ; \sqrt{k}\:}\rbrace$

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment résoudre des inéquations à l’aide de la fonction carré.