Savoir-faire : Savoir résoudre des inéquations à l’aide de la fonction carré

La fonction $f$ telle que $f(x)=x^2$ est appelée fonction carré ; elle est définie sur $\mathbb{R}$.
Autrement dit, la fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel $x$ associe son carré $x^2$.

$f:x→x^2$

Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on calcule quelques valeurs :
$x$ sera présent sur l’axe des abscisses et $x^2$ (c’est-à-dire y) sur l’axe des ordonnées.

$\begin{array}{l} f(x)=x^2\\ f({\color{red}0})=(0)^2={\color{green}0} &&({\color{red}0} ; {\color{green}0})\\ f({\color{red}1})=(1)^2={\color{green}1} &&({\color{red}1} ; {\color{green}1}) &&f({\color{orange}-1})=(-1)^2={\color{blue}1} &&({\color{orange}-1} ; {\color{blue}1})\\ f({\color{red}2})=(2)^2={\color{green}4} &&({\color{red}2} ; {\color{green}4}) &&f({\color{orange}-2})=(-2)^2={\color{blue}4} &&({\color{orange}-2} ; {\color{blue}4})\\ f({\color{red}3})=(3)^2={\color{green}9} &&({\color{red}3} ; {\color{green}9}) &&f({\color{orange}-3})=(-3)^2={\color{blue}9} &&({\color{orange}-3} ; {\color{blue}9}) \end{array}$

Les solutions de l’équation $x^2=k$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe $P$ et de la droite $y=k$ parallèle à l’axe des abscisses.

Pour résoudre une équation du type $x^2=k$ : Soit un réel $k$ :

• si $k<0$ l’équation $x^2=k$ n’a pas de solution : $S=\emptyset$
• si $k=0$ l’équation $x^2=k$ a une unique solution : $S=\lbrace{0}\rbrace$
• si $k>0$ l’équation $x^2=k$ a deux solutions opposées : $S=\lbrace{ -\sqrt{k}\ ; \sqrt{k}:}\rbrace$

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment résoudre des inéquations à l’aide de la fonction carré.

• Résoudre l’inéquation $x^2\leq2$
• Étudier le signe de $K$

$k =2$, l’équation $x^2=2$ admet deux solutions opposées $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$.

• Tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite de l’équation

La droite d’équation $y=2$.
On voit bien sur le graphique qu’il y a deux points d’intersection entre les deux.

• Déterminer l’intervalle de l’ensemble des solutions

On repère les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée inférieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont en dessous de la droite $y=2$). $$S=[-\sqrt{2}\ ;\ \sqrt{2}]$$

• Résoudre l’inéquation $x^2\geq2$

On s’intéresse aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée supérieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont au-dessus de la droite $y=2$). $$S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{2}\ ]\cup[\sqrt{2}\ ;\ +\infty[$$

Pour noter un ensemble de solution, lorsqu’il s’agit d’une inégalité large ($\leq$ ou $\geq$) le crochet est tourné vers l’intérieur de l’ensemble solution et lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (< ou >) le crochet est tourné vers l’extérieur.