Pré-requis
La fonction telle que est appelée fonction carré ; elle est définie sur .
Autrement dit, la fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel associe son carré .
Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on calcule quelques valeurs :
sera présent sur l’axe des abscisses et (c’est-à-dire y) sur l’axe des ordonnées.
Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la droite parallèle à l’axe des abscisses.
Pour résoudre une équation du type : Soit un réel :
- si l’équation n’a pas de solution :
- si l’équation a une unique solution :
- si l’équation a deux solutions opposées :
À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment résoudre des inéquations à l’aide de la fonction carré.
Etapes
- Résoudre l’inéquation
- Étudier le signe de
, l’équation admet deux solutions opposées et .
- Tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite de l’équation
La droite d’équation .
On voit bien sur le graphique qu’il y a deux points d’intersection entre les deux.
- Déterminer l’intervalle de l’ensemble des solutions
On repère les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée inférieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont en dessous de la droite ).
- Résoudre l’inéquation
On s’intéresse aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée supérieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont au-dessus de la droite ).
Pour noter un ensemble de solution, lorsqu’il s’agit d’une inégalité large ( ou ) le crochet est tourné vers l’intérieur de l’ensemble solution et lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (< ou >) le crochet est tourné vers l’extérieur.