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Savoir résoudre une inéquation du premier degré à l'aide du tableau de signes
Savoir-faire

Pré-requis

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f:xax+bf:x→ax+b est une droite (d)(d).
La droite (d)(d) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b)(0\ ;\ b).
On dit que cette droite a pour équation y=ax+by=ax+b et que :

  • aa est le coefficient directeur de la droite (d)(d) ;
  • bb est l’ordonnée à l’origine de la droite (d)(d).

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe du cœfficient directeur aa.

  • Si a>0a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ».
  • Si a=0a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
  • Si a<0a<0 la fonction est décroissante, la droite « descend ».

Lorsque a>0a>0 la fonction est croissante sur R\mathbb{R} ; cela signifie qu’elle est d’abord négative (en dessous de l’axe des abscisses puis positive (au-dessus de l’axe des abscisses).
Le changement de signe se produit pour x=bax=-\dfrac{b}{a} lorsque la droite représentative de ff coupe l’axe des abscisses.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment résoudre une inéquation du premier degré à l'aide du tableau de signes.

Donner le tableau de signes de f(x)f(x) et d’en déduire la résolution de l’inéquation 2x+10-2x+1\geq0.

Etapes

Établir le tableau de signe de f(x)f(x) en étudiant le signe du coefficient directeur aa

Pour cette fonction affine, a=2<0a=-2 < 0 donc ff est décroissante sur R\mathbb{R}. Elle sera donc d’abord positive jusqu’à x=bax=-\dfrac{b}{a} puis négative.

Ici ba=12=12-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}.

  • On a alors le tableau de signes suivant :

Trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation

Repère le signe ++ sur la deuxième ligne du tableau et lire les valeurs correspondantes de xx sur la première ligne.

On lit sur le tableau que 2x+10-2x+1\geq0 équivaut à x12x\leq\dfrac{1}{2}

  • On repère le signe + sur la deuxième ligne du tableau et on lit les valeurs correspondantes de xx sur la première ligne.

L’ensemble des solutions de l’inéquation 2x+10-2x+1\geq0 est donc l’intervalle ]  ;12]]-\infty\;;\dfrac{1}{2}].