Savoir résoudre une inéquation du premier degré à l'aide du tableau de signes

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine $f:x→ax+b$ est une droite $(d)$.
La droite $(d)$ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\ ;\ b)$.
On dit que cette droite a pour équation $y=ax+b$ et que :

• $a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ;
• $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(d)$.

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe du cœfficient directeur $a$.

• Si $a>0$ la fonction est croissante, la droite « monte ».
• Si $a=0$ la fonction est constante, la droite est horizontale.
• Si $a<0$ la fonction est décroissante, la droite « descend ».

Lorsque $a>0$ la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$ ; cela signifie qu’elle est d’abord négative (en dessous de l’axe des abscisses puis positive (au-dessus de l’axe des abscisses).
Le changement de signe se produit pour $x=-\dfrac{b}{a}$ lorsque la droite représentative de $f$ coupe l’axe des abscisses.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment résoudre une inéquation du premier degré à l'aide du tableau de signes.

Donner le tableau de signes de $f(x)$ et d’en déduire la résolution de l’inéquation $-2x+1\geq0$.

Établir le tableau de signe de $f(x)$ en étudiant le signe du coefficient directeur $a$

Pour cette fonction affine, $a=-2 < 0$ donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. Elle sera donc d’abord positive jusqu’à $x=-\dfrac{b}{a}$ puis négative.

Ici $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$.

• On a alors le tableau de signes suivant :

Trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation

Repère le signe $+$ sur la deuxième ligne du tableau et lire les valeurs correspondantes de $x$ sur la première ligne.

On lit sur le tableau que $-2x+1\geq0$ équivaut à $x\leq\dfrac{1}{2}$

• On repère le signe + sur la deuxième ligne du tableau et on lit les valeurs correspondantes de $x $ sur la première ligne.

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-2x+1\geq0$ est donc l’intervalle $]-\infty\;;\dfrac{1}{2}]$.