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Marianne

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Savoir résoudre une inéquation produit
Savoir-faire

Pré-requis

Pour résoudre une inéquation-produit du type (ax+b)(cx+d)0(ax+b)(cx+d)\geq0 il faut d’abord étudier le signe du produit (ax+b)(cx+d)(ax+b)(cx+d). Pour cela, il faut étudier le signe de chacun des facteurs de ce produit puis appliquer la règle des signes.

Le tableau de signes comporte toujours une première ligne pour les valeurs de xx et une dernière ligne pour le signe du produit. Entre les deux il doit y avoir autant de lignes que de facteurs.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment résoudre une inéquation produit.

Résoudre l’inéquation (x+5)(2x+1)0(-x+5)(2x+1)\geq0

Etapes

Calculer les valeurs qui annulent chacun des facteurs

x+5=0x=5x=5et2x+1=02x=1x=12\begin{array}{c c c}\ -x+5=0\Leftrightarrow -x=-5\Leftrightarrow x=5\ \text {et} \ 2x+1=0\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \end{array}

Construire le tableau

Dans la première ligne, on note les bornes -\infty et ++\infty et les valeurs de xx qui annulent chacun des facteurs par odre croissant.

On met ensuite les zéros sous les valeurs de xx correspondantes.

Remplir le tableau de signes

  • Pour le signe de x+5-x+5 : a=1<0a=-1<0 donc x+5-x+5 est d’abord positif puis négatif.
  • Pour le signe de 2x+12x+1: a=2>0a=2>0 donc 2x+12x+1 est d’abord négatif puis positif.
  • La dernière étape consiste à utiliser la règle des signes d’un produit :

+ par +=+ par +=+ par = par =+\begin{aligned}\begin {aligned} +\text{ par }+&=+\ -\text{ par }+&=-\ +\text{ par }-&=-\ -\text{ par }-&=+\ \end{aligned}\end{aligned}

Résoudre l’inéquation

Une fois que le tableau est complété, il ne reste plus qu’à résoudre l’inéquation :

(x+5)(2x+1)0S=[12 ; 5 ](x+5)(2x+1)>0S=[12 ; 5 ](x+5)(2x+1)0S=] ;12 ]  [ 5 ;+ [(x+5)(2x+1)<0S=] ;12 [  ] 5 ;+ [\begin{aligned} (-x+5)(2x+1)\geq0→&S=[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\ ]\ (-x+5)(2x+1)>0→&S=[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\ ]\ (-x+5)(2x+1)\leq0→&S=]-\infty\ ;-\dfrac{1}{2}\ ]\ \cup\ [\ 5\ ;+\infty\ [\ (-x+5)(2x+1)<0→&S=]-\infty\ ;-\dfrac{1}{2}\ [\ \cup\ ]\ 5\ ;+\infty\ [\ \end {aligned}