Pour résoudre une inéquation-produit du type $(ax+b)(cx+d)\geq0$ il faut d’abord étudier le signe du produit $(ax+b)(cx+d)$. Pour cela, il faut étudier le signe de chacun des facteurs de ce produit puis appliquer la règle des signes.
Le tableau de signes comporte toujours une première ligne pour les valeurs de $x$ et une dernière ligne pour le signe du produit. Entre les deux il doit y avoir autant de lignes que de facteurs.
À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment résoudre une inéquation produit.
Résoudre l’inéquation $(-x+5)(2x+1)\geq0$
Calculer les valeurs qui annulent chacun des facteurs
$\begin{array}{c c c}\\ -x+5=0\Leftrightarrow -x=-5\Leftrightarrow x=5\\ \text {et} \\ 2x+1=0\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \end{array}$
Construire le tableau
Dans la première ligne, on note les bornes $-\infty$ et $+\infty$ et les valeurs de $x$ qui annulent chacun des facteurs par odre croissant.
On met ensuite les zéros sous les valeurs de $x$ correspondantes.
Remplir le tableau de signes
- Pour le signe de $-x+5$ : $a=-1<0$ donc $-x+5$ est d’abord positif puis négatif.
- Pour le signe de $2x+1$: $a=2>0$ donc $2x+1$ est d’abord négatif puis positif.
- La dernière étape consiste à utiliser la règle des signes d’un produit :
$$\begin{aligned}\begin {aligned} +\text{ par }+&=+\\ -\text{ par }+&=-\\ +\text{ par }-&=-\\ -\text{ par }-&=+\\ \end{aligned}\end{aligned}$$
Résoudre l’inéquation
Une fois que le tableau est complété, il ne reste plus qu’à résoudre l’inéquation :
$\begin{aligned} (-x+5)(2x+1)\geq0→&S=[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\ ]\\ (-x+5)(2x+1)>0→&S=[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\ ]\\ (-x+5)(2x+1)\leq0→&S=]-\infty\ ;-\dfrac{1}{2}\ ]\ \cup\ [\ 5\ ;+\infty\ [\\ (-x+5)(2x+1)<0→&S=]-\infty\ ;-\dfrac{1}{2}\ [\ \cup\ ]\ 5\ ;+\infty\ [\\ \end {aligned}$