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Savoir résoudre une inéquation quotient
Savoir-faire

Pré-requis

Pour résoudre une inéquation-quotient, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur puis on applique la règle des signes. Il faut donc construire un tableau de signes.

À l’aide d’un exemple nus allons montrer comment résoudre une inéquation quotient.

Résoudre l’inéquation $\dfrac{x-4}{-x+6}\geq0$

Etapes

Calculer les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur

$\begin{array}{c c c} x-4=0\Leftrightarrow x=4\\ et\\ -x+6=0\Leftrightarrow-x=-6\Leftrightarrow x=6 \end {array}$

Construire le tableau

On place les zéros sous les valeurs de $x$ correspondantes. En effet, on met le zéro sous le 6 sur la ligne de $-x+6$, mais sur la ligne du quotient, le dénominateur $-x+6$ ne doit pas être égal à zéro.

  • 6 est donc une valeur interdite et il faut mettre une double-barre.

Remplir le tableau de signes

Pour le signe de $x-4$ : $a=1>0$ donc $x-4$ est d’abord négatif puis positif.

Pour le signe de $-x+6$ : $a=-1<0$ donc $-x+6$ est d’abord positif puis négatif.

  • La dernière étape est d’utiliser la règle des signes d’un produit afin de compléter le tableau.

Résoudre l’inéquation

$\begin{aligned}\\ \dfrac{x-4}{-x+6}\geq0→&S=[\ 4\ ;\ 6\ [\\ \dfrac{x-4}{-x+6}>0→&S=\ ]\ 4\ ;\ 6\ [\\ \dfrac{x-4}{-x+6}\geq0→&S=]-\infty\ ;4\ ]\ \cup\ ]\ 6\ ;+\infty\ [\\ \dfrac{x-4}{-x+6}<0→&S=]-\infty\ ;4\ [\ \cup\ ]\ 6\ ;+\infty\ [ \end{aligned}$

Lorsqu’il y a une valeur interdite (représentée dans le tableau par une double-barre), cette valeur ne peut pas être comprise dans l’ensemble solution et le crochet doit donc toujours être ouvert en cette valeur.