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Marianne

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Savoir utiliser l’intervalle de confiance pour estimer une proportion à partir d’un échantillon n
Savoir-faire

Pré-requis

Soit pp la proportion théorique d’un caractère dans la population étudiée et ff la fréquence observée du caractère dans un échantillon de taille nn.

Si n25n\geq 25 et 0,2p0,80,2\leq p \leq0,8

Ic=[f1n ;f+1n]Ic=[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;f+\dfrac{1}{\sqrt{_n}}]

IcI_c est l’intervalle de confiance à 95 % de pp.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment utiliser l’intervalle de confiance pour estimer une proportion à partir d’un échantillon n.

Une nouvelle série est diffusée à 21H00 sur une chaîne de télévision. Le taux d’audience a été mesuré à partir de 1000 appareils installés au hasard chez des particuliers. On a relevé une audience de 32 %.

Une autre chaîne de télévision prétend avoir une meilleure audience à la même heure en affirmant qu’un institut de mesure a relevé 39 % d’audience sur 140 appareils installés au hasard chez des particuliers. Que peut-on penser de cette affirmation ?

Etapes

Calculer l’intervalle de confiance à 95 % de l’audience de la première chaine

n=100025  n=1000\geq25\; et   f=0,32  \;f=0,32\;

Ic=[f1n ;f+1n]=[ 0,3211000 ; 0,32+11000]=[ 0,319 ; 0,321 ]\begin{aligned} Ic&=[f -\frac{1}{\sqrt{n}}\ ; f+\frac{1}{\sqrt{_n}} ]\ &=[\ 0,32-\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\ ;\ 0,32+\dfrac{1}{\sqrt{1000}} ]\ &=[\ 0,319\ ;\ 0,321\ ] \end{aligned}

Calculer l’intervalle de confiance à 95 % de l’audience de la deuxième chaine

n=14025  n=140\geq25\; et f=0,39  f=0,39\;

Ic=[ f1n ; f+1n]=[ 0,391140 ; 0,39+1140]=[ 0,393 ; 0,401 ]\begin{aligned}\ Ic&=[\ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ f+\dfrac{1}{\sqrt{_n}} ] \ &=[\ 0,39-\dfrac{1}{\sqrt{140}}\ ;\ 0,39+\dfrac{1}{\sqrt{140}} ] \ &=[\ 0,393\ ;\ 0,401\ ] \end{aligned}

Analyser les résultats

L’intervalle de confiance de la deuxième chaine est au-dessus de l’intervalle de confiance de la première chaine.

  • Donc la deuxième chaine de télévision a effectivement fait une meilleur audience que la première chaine.