Savoir utiliser l’intervalle de confiance pour estimer une proportion à partir d’un échantillon n

Soit $p$ la proportion théorique d’un caractère dans la population étudiée et $f$ la fréquence observée du caractère dans un échantillon de taille $n$.

Si $n\geq 25$ et $0,2\leq p \leq0,8$

$I_c=[f-\dfrac{1}{\sqrt{_n}}\ ;f+\dfrac{1}{\sqrt{_n}}]$

$I_c$ est l’intervalle de confiance à 95 % de $p$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment utiliser l’intervalle de confiance pour estimer une proportion à partir d’un échantillon n.

Une nouvelle série est diffusée à 21H00 sur une chaîne de télévision. Le taux d’audience a été mesuré à partir de 1000 appareils installés au hasard chez des particuliers. On a relevé une audience de 32 %.

Une autre chaîne de télévision prétend avoir une meilleure audience à la même heure en affirmant qu’un institut de mesure a relevé 39 % d’audience sur 140 appareils installés au hasard chez des particuliers. Que peut-on penser de cette affirmation ?

Calculer l’intervalle de confiance à 95 % de l’audience de la première chaine

$n=1000\geq25\;$ et $\;f=0,32\;$

$\begin{aligned} I_c&=[f -\frac{1}{\sqrt{_n}}\ ; f+\frac{1}{\sqrt{_n}} ]\\ &=[\ 0,32-\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\ ;\ 0,32+\dfrac{1}{\sqrt{1000}} ]\\ &=[\ 0,319\ ;\ 0,321\ ] \end{aligned}$

Calculer l’intervalle de confiance à 95 % de l’audience de la deuxième chaine

$n=140\geq25\;$ et $f=0,39\;$

$\begin{aligned}\\ I_c&=[\ f-\dfrac{1}{\sqrt{_n}}\ ;\ f+\dfrac{1}{\sqrt{_n}} ] \\ &=[\ 0,39-\dfrac{1}{\sqrt{140}}\ ;\ 0,39+\dfrac{1}{\sqrt{140}} ] \\ &=[\ 0,393\ ;\ 0,401\ ] \end{aligned}$

Analyser les résultats

L’intervalle de confiance de la deuxième chaine est au-dessus de l’intervalle de confiance de la première chaine.

• Donc la deuxième chaine de télévision a effectivement fait une meilleur audience que la première chaine.