Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Savoir utiliser l’intervalle de confiance pour estimer une proportion à partir d’un échantillon n
Découvrez, sur SchoolMouv, des milliers de contenus pédagogiques, du CP à la Terminale, rédigés par des enseignants de l’Éducation nationale.
Les élèves de troisième, de première ou de terminale bénéficient, en plus, de contenus spécifiques pour réviser efficacement leur brevet des collèges, leur bac de français ou leur baccalauréat édition 2023.
Savoir-faire

Pré-requis

Soit pp la proportion théorique d’un caractère dans la population étudiée et ff la fréquence observée du caractère dans un échantillon de taille nn.

Si n25n\geq 25 et 0,2p0,80,2\leq p \leq0,8

Ic=[f1n ;f+1n]Ic=[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;f+\dfrac{1}{\sqrt{_n}}]

IcI_c est l’intervalle de confiance à 95 % de pp.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment utiliser l’intervalle de confiance pour estimer une proportion à partir d’un échantillon n.

Une nouvelle série est diffusée à 21H00 sur une chaîne de télévision. Le taux d’audience a été mesuré à partir de 1000 appareils installés au hasard chez des particuliers. On a relevé une audience de 32 %.

Une autre chaîne de télévision prétend avoir une meilleure audience à la même heure en affirmant qu’un institut de mesure a relevé 39 % d’audience sur 140 appareils installés au hasard chez des particuliers. Que peut-on penser de cette affirmation ?

Etapes

Calculer l’intervalle de confiance à 95 % de l’audience de la première chaine

n=100025  n=1000\geq25\; et   f=0,32  \;f=0,32\;

Ic=[f1n ;f+1n]=[ 0,3211000 ; 0,32+11000]=[ 0,319 ; 0,321 ]\begin{aligned} Ic&=[f -\frac{1}{\sqrt{n}}\ ; f+\frac{1}{\sqrt{_n}} ]\ &=[\ 0,32-\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\ ;\ 0,32+\dfrac{1}{\sqrt{1000}} ]\ &=[\ 0,319\ ;\ 0,321\ ] \end{aligned}

Calculer l’intervalle de confiance à 95 % de l’audience de la deuxième chaine

n=14025  n=140\geq25\; et f=0,39  f=0,39\;

Ic=[ f1n ; f+1n]=[ 0,391140 ; 0,39+1140]=[ 0,393 ; 0,401 ]\begin{aligned}\ Ic&=[\ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ f+\dfrac{1}{\sqrt{_n}} ] \ &=[\ 0,39-\dfrac{1}{\sqrt{140}}\ ;\ 0,39+\dfrac{1}{\sqrt{140}} ] \ &=[\ 0,393\ ;\ 0,401\ ] \end{aligned}

Analyser les résultats

L’intervalle de confiance de la deuxième chaine est au-dessus de l’intervalle de confiance de la première chaine.

  • Donc la deuxième chaine de télévision a effectivement fait une meilleur audience que la première chaine.