On utilise un arbre de probabilités pour dénombrer et déterminer les événements élémentaires de l’expérience aléatoire.
À l’aide d’une exemple nous allons montrer comment utiliser un arbre pour calculer des probabilités.
Une urne contient huit boules indiscernables au toucher, cinq blanches et trois noires.
On tire au hasard une boule puis on lance une pièce équilibrée et on note si on obtient pile ou face.
On note les événements :
$B$ : « obtenir une boule blanche »
$N$ : « obtenir une boule noire »
$P$ : « obtenir pile »
$F$ : « obtenir face »
Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités
$P(B) = \dfrac{5}{8}$
$P(N) = \dfrac{3}{8}$
$P(P) = \dfrac{1}{2}$
$P(F) = \dfrac{1}{2}$
Représenter un arbre pondéré
- Les événements sont au bout des branches.
- Les probabilités sont sur les branches.
Dans cet arbre :
- On peut voir qu’il y a 4 issues possibles : $BP,\ BF,\ NP$ et $NF$.
- Les probabilités qui partent du même nœud ont une somme égale à 1. Ici $\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}=1$.
- Les événements incompatibles partent du même nœud. On ne peut pas tirer une boule blanche et noire à la fois.
Exploiter l’arbre pour calculer la probabilité d’un événement
Les intersections d’événement se retrouvent en ligne. Les probabilités correspondantes se calculent donc en multipliant les probabilités sur le chemin.
$p(B \cap F)=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{16}$On ne peut pas lire directement les probabilités des unions. Pour les trouver, il faut utiliser la formule : $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.
$p(B\cup F)=p(B)+p(F)-p(B\cap F) = \dfrac{5}{8} +\dfrac{1}{2} +\dfrac{5}{16}= \dfrac{13}{16}$