Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Savoir utiliser un arbre pour calculer des probabilités
Découvrez, sur SchoolMouv, des milliers de contenus pédagogiques, du CP à la Terminale, rédigés par des enseignants de l’Éducation nationale.
Les élèves de troisième, de première ou de terminale bénéficient, en plus, de contenus spécifiques pour réviser efficacement leur brevet des collèges, leur bac de français ou leur baccalauréat édition 2023.
Savoir-faire

Pré-requis

On utilise un arbre de probabilités pour dénombrer et déterminer les événements élémentaires de l’expérience aléatoire.

À l’aide d’une exemple nous allons montrer comment utiliser un arbre pour calculer des probabilités.

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher, cinq blanches et trois noires.
On tire au hasard une boule puis on lance une pièce équilibrée et on note si on obtient pile ou face.
On note les événements :
BB : « obtenir une boule blanche »
NN : « obtenir une boule noire »
PP : « obtenir pile »
FF : « obtenir face »

Etapes

Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités

P(B)=58P(B) = \dfrac{5}{8}

P(N)=38P(N) = \dfrac{3}{8}

P(P)=12P(P) = \dfrac{1}{2}

P(F)=12P(F) = \dfrac{1}{2} Représenter un arbre pondéré

  • Les événements sont au bout des branches.
  • Les probabilités sont sur les branches.

Dans cet arbre :

  • On peut voir qu’il y a 4 issues possibles : BP, BF, NPBP,\ BF,\ NP et NFNF.
  • Les probabilités qui partent du même nœud ont une somme égale à 1. Ici 58+38=1\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}=1.
  • Les événements incompatibles partent du même nœud. On ne peut pas tirer une boule blanche et noire à la fois.

Exploiter l’arbre pour calculer la probabilité d’un événement

  • Les intersections d’événement se retrouvent en ligne. Les probabilités correspondantes se calculent donc en multipliant les probabilités sur le chemin.
    p(BF)=58×12=516p(B \cap F)=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{16}

  • On ne peut pas lire directement les probabilités des unions. Pour les trouver, il faut utiliser la formule : p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).
    p(BF)=p(B)+p(F)p(BF)=58+12+516=1316p(B\cup F)=p(B)+p(F)-p(B\cap F) = \dfrac{5}{8} +\dfrac{1}{2} +\dfrac{5}{16}= \dfrac{13}{16}