Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Sujet brevet - Mathématiques 2019
Fiche annale

Brevet des collèges Métropole La Réunion 1er juillet 2019 􏰁

(2 heures - 100 points)

Indications portant sur l’ensemble du sujet

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (10 points)

Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 6969 diamants, 11501150 perles et 41404140 pièces d'or.

1. Décomposer 6969 ; 11501150 et 41404140 en produits de facteurs premiers.

2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.
Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?

Exercice 2 (19 points)

Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.

Pour construire le décor d'une pièce de théâtre (figure 1), Joanna dispose d'une plaque rectangulaire ABCDABCD de 4 m4\ \text{m} sur 2 m2\ \text{m} dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (figure 2).

Alt texte

Figure 1

Alt texte

Figure 2

Le triangle ADMADM respecte les conditions suivantes :

  • le triangle ADMADM est rectangle en AA ;
  • AD=2 mAD = 2\ \text{m} ;
  • ADM^=60°\widehat{ADM} = 60\degree.

1. Montrer que [AM][AM] mesure environ 3,46 m3,46\ \text{m}.

2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure 2.
Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.

3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles AMDAMD, PNMPNM et PDNPDN soient semblables. Démontrer que c’est bien le cas.

4. Joanna aimerait que le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDNPDN au triangle AMDAMD soit plus petit que 1,51,5. Est-ce le cas ? Justifier.

Exercice 3 (17 points)

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Un sablier est composé de :

  • deux cylindres C1C1 et C2C2 de hauteur 4,2 cm4,2\ \text{cm} et de diamètre 1,5 cm1,5\ \text{cm} ;
  • un cylindre C3C_3 ;
  • deux demi-sphères S1S1 et S2S2 de diamètre 1,5 cm1,5\ \text{cm}.

On rappelle le volume VV d'un cylindre d'aire de base BB et de hauteur hh : V=B×hV = B \times h

Alt texte

1. a. Au départ, le sable remplit le cylindre C2C_2 aux deux tiers. Montrer que le volume du sable est environ 4,95 cm34,95\ \text{cm}^3.

b. On retourne le sablier. En supposant que le débit d'écoulement du sable est constant et égal à 1,98 cm3/min1,98\ \text{cm}^3/\text{min}, calculer le temps en minutes et secondes que va mettre le sable à s'écouler dans le cylindre inférieur.

2. En réalité, le débit d'écoulement d'un même sablier n'est pas constant.
Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d'écoulement de ce sablier.

Voici les différents temps récapitulés dans le tableau suivant :

Temps mesuré 2 min 22 s2\ \text{min}\ 22\ \text{s} 2 min 24 s2\ \text{min}\ 24\ \text{s} 2 min 26 s2\ \text{min}\ 26\ \text{s} 2 min 27 s2\ \text{min}\ 27\ \text{s} 2 min 28 s2\ \text{min}\ 28\ \text{s}
Nombre de tests 11 11 22 66 33

Temps mesuré 2 min 29 s2\ \text{min}\ 29\ \text{s} 2 min 30 s2\ \text{min}\ 30\ \text{s} 2 min 31 s2\ \text{min}\ 31\ \text{s} 2 min 32 s2\ \text{min}\ 32\ \text{s} 2 min 33 s2\ \text{min}\ 33\ \text{s}
Nombre de tests 77 66 33 11 22

Temps mesuré 2 min 34 s2\ \text{min}\ 34\ \text{s} 2 min 35 s2\ \text{min}\ 35\ \text{s} 2 min 38 s2\ \text{min}\ 38\ \text{s}
Nombre de tests 33 22 33

a. Combien de tests ont été réalisés au total ?

b. Un sablier est mis en vente s'il vérifie les trois conditions ci-dessous, sinon il est éliminé :

  • l'étendue des temps est inférieure à 20 s20\ \text{s} ;
  • la médiane des temps est comprise entre 2 min 29 s2\ \text{min}\ 29\ \text{s} et 2 min 31 s2\ \text{min}\ 31\ \text{s} ;
  • la moyenne des temps est comprise entre 2 min 28 s2\ \text{min}\ 28\ \text{s} et 2 min 32 s2\ \text{min}\ 32\ \text{s}.

Le sablier testé sera-t-il éliminé ?

Exercice 4 (19 points)

On veut réaliser un dessin constitué de deux types d'éléments (tirets et carrés) mis bout à bout.
Chaque script ci-contre trace un élément, et déplace le stylo.
On rappelle que « s'orienter à 90°90\degree » signifie qu'on oriente le stylo vers la droite.

Alt texte

1. En prenant 1 cm1\ \text{cm} pour 2 pixels2\ \text{pixels}, représenter la figure obtenue si on exécute le script Carré.
Préciser les positions de départ et d'arrivée du stylo sur votre figure.

Pour tracer le dessin complet, on a réalisé 2 scripts qui se servent des blocs « Carré » et « Tiret » ci-dessus :

Script 1

Alt texte

Script 2

Alt texte

On exécute les deux scripts et on obtient les deux dessins ci-dessous.

Dessin A

Alt texte

Dessin B

Alt texte

2. Attribuer à chaque script la figure dessinée. Justifier votre choix.

3. On exécute le script 2.
a. Quelle est la probabilité que le premier élément tracé soit un carré ?
b. Quelle est la probabilité que les deux premiers éléments soient des carrés ?

4. Dans le script 2, on aimerait que la couleur des différents éléments, tirets ou carrés, soit aléatoire, avec à chaque fois 50 %50\ \% de chance d'avoir un élément noir et 50 %50\ \% de chance d'avoir un élément rouge.
Écrire la suite d'instructions qu'il faut alors créer et préciser à l'insérer dans le script 2.

Indication : on pourra utiliser les instructions « mettre la couleur du stylo à rouge » et « mettre la couleur du stylo à noir » pour choisir la couleur du stylo.

Alt texte

Alt texte

Exercice 5 (18 points)

Olivia s'est acheté un tableau pour décorer le mur de son salon.
Ce tableau. représenté ci-contre, est constitué de quatre rectangles identiques nommés (1)(1), (2)(2), (3)(3) et (4)(4) dessinés à l'intérieur d'un grand rectangle ABCDABCD d'aire égale à 1,215 m21,215\ \text{m}^2.
Le ratio longueur :: largeur est égal à 3:23 : 2 pour chacun des cinq rectangles.

Alt texte

1. Recopier, en les complétant, les phrases suivantes. Aucune justification n'est demandée.
a. Le rectangle \ldots est l'image du rectangle \ldots par la translation qui transforme CC en EE.
b. Le rectangle (3)(3) est l'image du rectangle \ldots par la rotation de centre FF et d'angle 90°90\degree dans le sens des aiguilles d'une montre.
c. Le rectangle ABCDABCD est l'image du rectangle \ldots par l'homothétie de centre \ldots et de rapport 33.
(Il y a plusieurs réponses possibles, une seule est demandée.)

2. Quelle est l'aire d'un petit rectangle ?
3. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle ABCDABCD ?

Exercice 6 (17 points)

Voici deux programmes de calcul :

Programme 1

Choisir un nombre

Le multiplier par 3

Ajouter 1

Programme 2

Alt texte

1. Vérifier que si on choisit 5 comme nombre de départ :

  • le résultat du programme 1 vaut 1616 ;
  • le résultat du programme 2 vaut 2828.

On appelle A(x)A(x) le résultat du programme 1 en fonction du nombre xx choisi au départ.
La fonction B:x(x1)(x+2)B : x \longmapsto (x - 1)(x + 2) donne le résultat du programme 2 en fonction du nombre xx choisi au départ.

2. a. Exprimer A(x)A(x) en fonction de xx.
b. Déterminer le nombre que l'on doit choisir au départ pour obtenir 00 comme résultat du programme 1.

3. Développer et réduire l'expression : B(x)=(x1)(x+2)B(x) = (x - 1)(x + 2)

4. a. Montrer que B(x)A(x)=(x+1)(x3)B(x) - A(x) = (x + 1)(x - 3).
b. Quels nombres doit-on choisir au départ pour que le programme 1 et le programme 2 donnent le même résultat ? Expliquer la démarche.