Algèbre : égalités à trou et programmes de calcul

Sommaire

Introduction
1 . Trouver le nombre manquant dans une égalité à trou
2 . Résoudre des problèmes algébriques
3 . Suivre un programme de calcul

Introduction

L'algèbre est une partie des mathématiques qui permet entre autres de compléter des égalités à trou, de résoudre des problèmes avec des valeurs inconnues, etc. Dans cette leçon, nous allons étudier quelques-uns de ces cas.

Prérequis : N’hésite pas à aller consulter le cours de CM1 - Algèbre, trouver un nombre manquant.

Trouver le nombre manquant dans une égalité à trou

Depuis la classe de CP, tu as appris à résoudre des égalités à trou. Dans certains cas simples, le nombre manquant se trouve très facilement :

$$7 + … = 10$$

Normalement, rien qu'en lisant l'opération, tu as trouvé 3, car tu connais par cœur ce genre de calcul. Mais parfois, l'égalité à trou est plus complexe. Regardons comment mobiliser tes connaissances mathématiques pour résoudre ces égalités.

À retenir

Une égalité à trou reste une égalité. Ce qu'il y a à gauche du signe « = » doit être exactement égal à ce qu'il y a à droite.

Exemple

Prenons l'égalité à trou suivante :

$$36 \times 4 = (30 \times 4) + (… \times 4)$$

$36 \times 4$ signifie que le nombre 36 a été additionné 4 fois :
$36 \times 4 = 36 + 36 + 36 + 36$
On sait que 36 c'est $30 + 6$. On peut donc écrire que :
$36 \times 4 = 30 + 6 + 30 + 6 + 30 + 6 + 30 + 6$
On voit sur cette addition que :
30 a été additionné 4 fois (on peut donc l'écrire $30 \times 4$) ;
6 a été additionné 4 fois (on peut donc l'écrire $6 \times 4$).
Cela donne $36 \times 4 = (30 \times 4) + (6 \times 4)$.

On a donc trouvé que le nombre à insérer dans le trou est 6 !

Exemple

Prenons l'égalité à trou suivante :

$$7 + (2 \times …) = 10$$

Tu as appris que lorsqu'il y a des parenthèses, le calcul de leur contenu est la priorité numéro 1. Mais ici, il y a un trou dans la parenthèse. Il est donc impossible de calculer la valeur de la parenthèse.

Nous allons donc commencer notre réflexion autour des deux parties à gauche du signe « = » :

$7$
($2 \times …$)

Nous savons que cette addition fait 10 et nous connaissons l'un des deux termes de gauche sans avoir à le calculer : 7. On sait également que : $$7 + 3 = 10$$

La partie 2 est donc égale à 3, ce qui signifie que $(2 \times …)$ doit être égal à 3.

Or on sait que :

$2 \times \textcolor{#b21}1 = 2$
$2 \times \textcolor{#b21}2 = 4$
Il faut donc chercher entre ces deux multiplications : $2 \times \textcolor{green}{1,5} = 3$.

L'opération est résolue : $7 + (2 \times 1{,}5) = 10$.

Résoudre des problèmes algébriques

Dans ce genre de problème, nous allons rechercher une valeur utilisée plusieurs fois dans un calcul.

Exemple

Sofia est 3 fois plus jeune que son papa. À eux deux ils ont 44 ans. Quel âge a le papa de Sofia ?

Valeur cherchée : l'âge de son papa.
Autre valeur inconnue : l'âge de Sofia.

Nous savons que :

âge de Sofia $+$ âge de papa $= 44$

Nous savons aussi que :

âge de papa $= 3 \times$ âge de Sofia

Maintenant, on peut écrire l'égalité (1) en remplaçant l'âge de son papa par son expression dans l'égalité (2), ce qui nous donne :

$$\text{âge de Sofia} + 3 \times \text{âge de Sofia} = 44$$

Pour simplifier et aérer l'écriture, on peut représenter l'âge de Sofia par un symbole tel que la lettre « S » :

$$\begin{aligned} \text{âge de Sofia} + 3 \times \text{âge de Sofia} &= S + 3 \times S \\ &= S + S + S + S \\ &= 4 \times S \\ &= 44 \end{aligned}$$

Comme $4 \times S = 44$ et que $4 \times 11 = 44$, on trouve que $S = 11$.

Sofia a donc 11 ans. Son papa, qui a trois fois plus, a donc 33 ans.

Exemple

Voyons un exemple avec plus de deux valeurs inconnues.

Tom achète :

Une trottinette ;
Un casque ;
Un ensemble de protection pour les genoux.
Il sait que la trottinette coûte trois fois plus cher que le casque.
L'ensemble de protection coûte 5 € de plus que le casque.
Il a payé 110 € le tout.

Quel est le prix du casque ?

$Algèbre : égalités à trou et programmes de calcul$

Pour trouver la bonne valeur du prix du casque nous allons faire plusieurs calculs.

1^er essai :

Essayons avec un prix du casque à 10 € (10 € a été choisi car les calculs sont plus simples avec ce nombre) :

$$\begin{aligned} (3 \times 10\,€) + 10\,€ + (10\,€ + 5\,€) &= 30\,€ + 10\,€ + 15\,€ \\ &= 55\,€ \end{aligned}$$

Ce n'est pas assez.

2^e essai :

Essayons avec un prix du casque à 20 € : $$\begin{aligned} (3 \times 20\,€) + 20\,€ + (20\,€ + 5\,€) &= 60\,€ + 20\,€ + 25\,€ \\ &= 105\,€ \end{aligned}$$

Ce n'est toujours pas assez mais on se rapproche du bon prix : 105 et 110 sont assez proches.

3^e essai :

Essayons avec un prix du casque à 22 € : $$\begin{aligned} (3 \times 22\,€) + 22\,€ + (22\,€ + 5\,€) &= 66\,€ + 22\,€ + 27\,€ \\ &= 115\,€ \end{aligned}$$

Ce coup-ci, c'est trop !

4^e essai :

Essayons donc avec un prix du casque à 21 € :

$$\begin{aligned} (3 \times 21\,€) + 21\,€ + (21\,€ + 5\,€) &= 63\,€ + 21\,€ + 26\,€ \\ &= 110\,€ \end{aligned}$$

Finalement, on a trouvé que le prix du casque était de 21 €. De plus, grâce aux égalités (1) et (2) du tableau, on peut déduire que :

le prix de la trottinette est de $3 \times 21\,€ = 63\,€$
le prix de l'ensemble de protection est de $21\,€ + 5\,€ = 26\,€$

Attention

Pour vérifier ses calculs, on peut s'assurer que la somme vaut bien le prix total payé.

$$63\,€ + 21\,€ + 26\,€ = 110\,€\text{, donc tout est juste !}$$

Suivre un programme de calcul

Définition

Un programme de calcul est une suite d'instructions à suivre. En partant d'un nombre choisi, le programme de calcul enchaînera plusieurs calculs afin de donner un résultat final.

Il est important de minutieusement suivre le programme pour trouver la bonne réponse.

Exemple

Prenons le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre entier entre 3 et 12.
Ajouter 5 au nombre choisi.
Multiplier le résultat par 2.
Retirer 9 au nombre obtenu.
Écrire le résultat final.

Pour appliquer ce programme de calcul, il suffit de respecter l'ordre des étapes :

Choisir un nombre entier entre 3 et 12	Là, on me laisse le choix. Allez, prenons le nombre 6 !
Ajouter 5 au nombre choisi	J'ajoute 5 : $6 + 5 = 11$.
Multiplier le résultat par 2	On a trouvé 11 à l'étape précédente. Je multiplie par 2 : $11 \times 2 = 22$.
Retirer 9 au nombre obtenu	On a trouvé 22 à l'étape précédente. J'enlève 9 : $22 - 9 = 13$.
Écrire le résultat final	J'ai trouvé 13. Je recopie 13.

Sommaire

Introduction
1 . Trouver le nombre manquant dans une égalité à trou
2 . Résoudre des problèmes algébriques
3 . Suivre un programme de calcul

Introduction

Prérequis : N’hésite pas à aller consulter le cours de CM1 - Algèbre, trouver un nombre manquant.

Trouver le nombre manquant dans une égalité à trou

Depuis la classe de CP, tu as appris à résoudre des égalités à trou. Dans certains cas simples, le nombre manquant se trouve très facilement :

$$7 + … = 10$$

À retenir

Une égalité à trou reste une égalité. Ce qu'il y a à gauche du signe « = » doit être exactement égal à ce qu'il y a à droite.

Exemple

Prenons l'égalité à trou suivante :

$$36 \times 4 = (30 \times 4) + (… \times 4)$$

$36 \times 4$ signifie que le nombre 36 a été additionné 4 fois :
$36 \times 4 = 36 + 36 + 36 + 36$
On sait que 36 c'est $30 + 6$. On peut donc écrire que :
$36 \times 4 = 30 + 6 + 30 + 6 + 30 + 6 + 30 + 6$
On voit sur cette addition que :
30 a été additionné 4 fois (on peut donc l'écrire $30 \times 4$) ;
6 a été additionné 4 fois (on peut donc l'écrire $6 \times 4$).
Cela donne $36 \times 4 = (30 \times 4) + (6 \times 4)$.

On a donc trouvé que le nombre à insérer dans le trou est 6 !

Exemple

Prenons l'égalité à trou suivante :

$$7 + (2 \times …) = 10$$

Nous allons donc commencer notre réflexion autour des deux parties à gauche du signe « = » :

$7$
($2 \times …$)

Nous savons que cette addition fait 10 et nous connaissons l'un des deux termes de gauche sans avoir à le calculer : 7. On sait également que : $$7 + 3 = 10$$

La partie 2 est donc égale à 3, ce qui signifie que $(2 \times …)$ doit être égal à 3.

Or on sait que :

$2 \times \textcolor{#b21}1 = 2$
$2 \times \textcolor{#b21}2 = 4$
Il faut donc chercher entre ces deux multiplications : $2 \times \textcolor{green}{1,5} = 3$.

L'opération est résolue : $7 + (2 \times 1{,}5) = 10$.

Résoudre des problèmes algébriques

Dans ce genre de problème, nous allons rechercher une valeur utilisée plusieurs fois dans un calcul.

Exemple

Sofia est 3 fois plus jeune que son papa. À eux deux ils ont 44 ans. Quel âge a le papa de Sofia ?

Valeur cherchée : l'âge de son papa.
Autre valeur inconnue : l'âge de Sofia.

Nous savons que :

âge de Sofia $+$ âge de papa $= 44$

Nous savons aussi que :

âge de papa $= 3 \times$ âge de Sofia

Maintenant, on peut écrire l'égalité (1) en remplaçant l'âge de son papa par son expression dans l'égalité (2), ce qui nous donne :

$$\text{âge de Sofia} + 3 \times \text{âge de Sofia} = 44$$

Pour simplifier et aérer l'écriture, on peut représenter l'âge de Sofia par un symbole tel que la lettre « S » :

$$\begin{aligned} \text{âge de Sofia} + 3 \times \text{âge de Sofia} &= S + 3 \times S \\ &= S + S + S + S \\ &= 4 \times S \\ &= 44 \end{aligned}$$

Comme $4 \times S = 44$ et que $4 \times 11 = 44$, on trouve que $S = 11$.

Sofia a donc 11 ans. Son papa, qui a trois fois plus, a donc 33 ans.

Exemple

Voyons un exemple avec plus de deux valeurs inconnues.

Tom achète :

Une trottinette ;
Un casque ;
Un ensemble de protection pour les genoux.
Il sait que la trottinette coûte trois fois plus cher que le casque.
L'ensemble de protection coûte 5 € de plus que le casque.
Il a payé 110 € le tout.

Quel est le prix du casque ?

$Algèbre : égalités à trou et programmes de calcul$

Pour trouver la bonne valeur du prix du casque nous allons faire plusieurs calculs.

1^er essai :

Essayons avec un prix du casque à 10 € (10 € a été choisi car les calculs sont plus simples avec ce nombre) :

$$\begin{aligned} (3 \times 10\,€) + 10\,€ + (10\,€ + 5\,€) &= 30\,€ + 10\,€ + 15\,€ \\ &= 55\,€ \end{aligned}$$

Ce n'est pas assez.

2^e essai :

Essayons avec un prix du casque à 20 € : $$\begin{aligned} (3 \times 20\,€) + 20\,€ + (20\,€ + 5\,€) &= 60\,€ + 20\,€ + 25\,€ \\ &= 105\,€ \end{aligned}$$

Ce n'est toujours pas assez mais on se rapproche du bon prix : 105 et 110 sont assez proches.

3^e essai :

Essayons avec un prix du casque à 22 € : $$\begin{aligned} (3 \times 22\,€) + 22\,€ + (22\,€ + 5\,€) &= 66\,€ + 22\,€ + 27\,€ \\ &= 115\,€ \end{aligned}$$

Ce coup-ci, c'est trop !

4^e essai :

Essayons donc avec un prix du casque à 21 € :

$$\begin{aligned} (3 \times 21\,€) + 21\,€ + (21\,€ + 5\,€) &= 63\,€ + 21\,€ + 26\,€ \\ &= 110\,€ \end{aligned}$$

Finalement, on a trouvé que le prix du casque était de 21 €. De plus, grâce aux égalités (1) et (2) du tableau, on peut déduire que :

le prix de la trottinette est de $3 \times 21\,€ = 63\,€$
le prix de l'ensemble de protection est de $21\,€ + 5\,€ = 26\,€$

Attention

Pour vérifier ses calculs, on peut s'assurer que la somme vaut bien le prix total payé.

$$63\,€ + 21\,€ + 26\,€ = 110\,€\text{, donc tout est juste !}$$

Suivre un programme de calcul

Définition

Un programme de calcul est une suite d'instructions à suivre. En partant d'un nombre choisi, le programme de calcul enchaînera plusieurs calculs afin de donner un résultat final.

Il est important de minutieusement suivre le programme pour trouver la bonne réponse.

Exemple

Prenons le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre entier entre 3 et 12.
Ajouter 5 au nombre choisi.
Multiplier le résultat par 2.
Retirer 9 au nombre obtenu.
Écrire le résultat final.

Pour appliquer ce programme de calcul, il suffit de respecter l'ordre des étapes :

Choisir un nombre entier entre 3 et 12	Là, on me laisse le choix. Allez, prenons le nombre 6 !
Ajouter 5 au nombre choisi	J'ajoute 5 : $6 + 5 = 11$.
Multiplier le résultat par 2	On a trouvé 11 à l'étape précédente. Je multiplie par 2 : $11 \times 2 = 22$.
Retirer 9 au nombre obtenu	On a trouvé 22 à l'étape précédente. J'enlève 9 : $22 - 9 = 13$.
Écrire le résultat final	J'ai trouvé 13. Je recopie 13.