Algèbre

Dans cette leçon, nous allons étudier l’algèbre.
L’algèbre permet notamment de faire des calculs avec des lettres et des chiffres. En effet, parfois, on ne connaît pas la valeur d’un nombre. Dans ce cas, on peut le remplacer par une lettre. C’est comme un chiffre mystère, une énigme mathématique qu’il faut résoudre !

Trouver le nombre manquant

Dans des cas simples, quand un nombre est manquant, on peut le retrouver de tête, en utilisant le calcul mental. Mais d’autres fois, il faut utiliser ses connaissances en calculs posés.

• Le but est que le nombre trouvé rende l’égalité vraie.

Exemple

Exemple 1
$4\,000-…=3\,999$
Ici, on représente le nombre manquant par des points à remplir, pour signaler que l’égalité est à compléter.
Si on réfléchit, combien faut-il enlever à 4 000 pour obtenir le résultat 3 999 ?
Tu peux le calculer de tête : il suffit d’enlever 1 à 4 000 pour obtenir 3 999.
Ainsi, le nombre mystère est 1.
En effet, $4\,000-1=3\,999$.

Exemple 2
$748+…=1\,200$
Si on réfléchit, combien faut-il ajouter à 748 pour obtenir le résultat 1 200 ?
Autrement dit, quel est l’écart entre 748 et 1 200 ?
Tu as deux possibilités pour trouver ce nombre mystère : procéder par bonds successifs ou par la soustraction.

Utiliser un symbole ou une lettre pour représenter la valeur d’un nombre

Un nombre peut aussi être représenté par un symbole ou par une lettre.
C’est encore un nombre mystère qu’il faut trouver.

Exemple

Exemple 1

Ici le nombre mystère est représenté par un symbole 💙.
Deux cœurs pèsent 100 g. Quelle est alors la masse d’un cœur ?
Un seul cœur pèse la moitié de 100 g.
Or, la moitié de 100 est 50.
Le nombre mystère est 50.
Donc 💙 = 50.

Exemple 2
$25\times\text{Y}=100$
Ici, le nombre mystère est représenté par la lettre Y.
On cherche combien de 25 sont nécessaires pour obtenir le résultat 100.
On sait que $25\times 2=50$.
On doit alors multiplier encore par 2 pour obtenir 100.
Ce qui donne donc : $25\mathbf{\times 2\times 2}=100$, c’est-à-dire $25\mathbf{\times 4}=100$.
Ainsi, Y = 4.

Les problèmes algébriques

Maintenant que tu sais qu’un nombre peut être représenté par un symbole ou une lettre, tu es capable de résoudre des problèmes simples.

On peut résoudre les problèmes algébriques de différentes manières.

Trouver la valeur d’un nombre par le calcul mental

Rose distribue des cartes et des pions aux 3 joueurs. Elle donne chaque fois 2 cartes à chaque joueur. Au total, elle distribue 27 éléments (cartes et pions confondus). On veut savoir combien de pions Rose distribue à chaque joueur.
Le nombre de pions distribué à chaque joueur est donc notre nombre mystère : on l’appelle N et on effectue le calcul suivant : $3\times (2+\text{N})=27$.

Quelle est la valeur de N ?

• Dans les tables de multiplication, on connait $3\times\mathbf{9}=27$.
• Ce qui signifie que :

• Ici, tu peux ainsi faire le calcul de tête :
  Donc $3\times (2+7)=27$
  N = 7

Rose distribue 7 pions à chacun des trois joueurs.

S’appuyer sur un schéma

La maîtresse demande à Mia de choisir un nombre mystère. Le reste de la classe doit deviner ce nombre. Pour cela, elle donne les indications suivantes pour résoudre l’énigme : en ajoutant 7 au triple du nombre choisi par Mia, on trouve 100.

Quel est le nombre choisi par Mia ?

• Tu peux d’abord t’aider d’un schéma :

• Pour commencer, tu peux enlever 7 à 100 : $100-7=93$
• Nous appelons A le nombre mystère. Maintenant, tu sais que $3\times\mathbf{A}=93$.
• Tu as plusieurs possibilités pour le trouver : par la division ou par le calcul mental.

• Le chiffre mystère est donc A = 31.

Le programme de calculs

Un programme de calculs est une suite d’étapes (des opérations à effectuer) dans un ordre précis.
On choisit un nombre de départ, puis on suit les étapes une par une pour trouver le nombre mystère à la fin.

Astuce

Il faut bien suivre chaque étape, une par une, sans se précipiter.

Exemple

CONSIGNE :
Le professeur demande à deux de ses élèves de résoudre des programmes de calculs.
Voici les consignes qu’il leur donne :

• Choisir un nombre entier
• Ajouter 2 au nombre choisi
• Multiplier par 4 le résultat trouvé à l’étape précédente
• Écrire le nombre obtenu

Élève 1 :

• Je choisis le 5.
• Je lui ajoute 2.
  $\mathbf{5+2=7}$
• Je multiplie 7 par 4.
  $\mathbf{7\times 4=28}$
• Le nombre mystère est 28.

Élève 2 :

• Je choisis le 8.
• Je lui ajoute 2.
  $\mathbf{8+2=10}$
• Je multiplie 10 par 4.
  $\mathbf{10\times 4=40}$
• Le nombre mystère est 40.

La suite de nombres

Une suite de nombres est une liste de nombres qui se suivent selon une règle précise.
Il faut trouver quelle est la règle qui explique comment la suite est construite, afin de pouvoir la poursuivre.

Exemple

Paul fait un jeu mathématique sur son ordinateur. Il doit résoudre des suites de nombres pour obtenir son badge de « Super mathématicien ». Il doit donc chercher la règle de chacune des suites suivantes :

La suite de motifs

Une suite de motifs est une répétition de symboles ou de formes selon une règle précise.
Il faut trouver quelle est la règle qui explique comment la suite est construite, afin de pouvoir la poursuivre.

Exemple

Paul a eu son badge d’argent de « Super Mathématicien ». Maintenant, il vise l’or ! Saura-t-il retrouver la règle qui explique comment la suite de symboles est construite ?

Suite 1 :

À chaque étape, on ajoute une colonne de 3 étoiles.
Donc, l’étape 4 aura 4 colonnes de 3 étoiles :

Suite 2 :

À chaque étape, le nombre de carrés est égal au nombre précédent $+2$.
Donc à l’étape 5, on aura 2 carrés de plus qu’à l’étape 4 :