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Marianne

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Applications de la dérivation

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Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction

Déduire du signe de la dérivée le sens de variation

Théorème :

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II.

  • Si f(x)<0f'(x) < 0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est strictement décroissante sur II.
  • Si f(x)>0f'(x) > 0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est strictement croissante sur II.
  • Si f(x)=0f'(x) = 0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est constante sur II.

Déduire du sens de variation le signe de la dérivée

Théorème:

  • Si ff est croissante sur II, alors pour tout xx de II, on a f(x)0f'(x)\geq 0.
  • Si ff est décroissante sur II, alors pour tout xx de II, on a f(x)0f'(x)\leq 0.
  • Si ff est constante sur II, alors pour tout xx de II, on a f(x)=0f'(x)=0.

Extremum d’une fonction

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et soit aa un réel de l’intervalle II.

  • ff admet un maximum en aa sur II lorsque, pour tout xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x)\leq f(a).

Le maximum vaut f(a)f(a) et est atteint en aa.

  • ff admet un minimum en aa sur II lorsque, pour tout xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x)\geq f(a).

Le minimum vaut f(a)f(a) et est atteint en aa.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Lien entre extremum et dérivation

Les trois cas possibles d’extremums

Les trois cas possibles d’extremums

Si la dérivée s’annule et change de signe sur l’intervalle d’étude, alors la fonction admet nécessairement un extremum : il s’agit ici d’un maximum car la dérivée est d’abord positive puis négative (c’est-à-dire que la fonction est d’abord croissante puis décroissante). Si la dérivée ne s’annule pas sur un intervalle, cela signifie que la fonction est soit strictement croissante soit strictement décroissante ; dans ce cas, l’extremum ne peut être atteint qu’en une borne de l’intervalle. Si la dérivée s’annule mais ne change pas de signe sur l’intervalle donné, cela signifie que la fonction ne change pas de sens de variation ; dans ce cas, soit il n’y a pas d’extremum, soit l’extremum sera atteint en une borne de l’intervalle.

Les étapes d’une étude de fonction

  • Chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé ;
  • calculer la dérivée ;
  • étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction ;
  • calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variation.