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Marianne

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Applications de la dérivation

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Introduction :

Nous avons déjà parlé de dérivation dans un autre cours, avec notamment les nombres dérivés, les équations de tangentes ainsi que les formules de dérivées des fonctions usuelles.

Ici, nous allons continuer le travail en faisant tout d’abord le lien entre signe de la dérivée et variation de la fonction. Puis nous parlerons d’extremum pour terminer par deux études complètes de fonction.

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction

Déduire du signe de la dérivée le sens de variation

Commençons cette leçon par un théorème très important qui permet de déduire le sens de variation d’une fonction à partir du signe de sa dérivée :

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Théorème

Sens de variation d’une fonction à partir de sa dérivée :

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II

  • Si f(x)0f'(x)\leq0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est décroissante sur II;
  • Si f(x)0f'(x)\geq0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est croissante sur II.

Ce théorème est utilisé pour étudier les variations d’une fonction sur un intervalle donné.

On peut décomposer encore un peu plus les deux points du théorème précédent de la manière suivante :

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Propriété

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II:

  • Si f(x)<0f'(x)<0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est strictement décroissante sur II.
  • Si f(x)>0f'(x)>0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est strictement croissante sur II.
  • Si f(x)=0f'(x)=0 pour tout xx de II, alors la fonction ff est constante sur II.

Déduire du sens de variation le signe de la dérivée

On sait donc décrire les variations d’une fonction en connaissant le signe de sa dérivée. Le procédé contraire existe également, il permet de donner le signe de la dérivée quand on connaît les variations de la fonction.

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Propriété

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II:

  • Si ff est croissante sur II, alors pour tout xx de II, on a f(x)0f'(x)\geq0.
  • Si ff est décroissante sur II, alors pour tout xx de II, on a f(x)0f'(x)\leq0.
  • Si ff est constante sur II, alors pour tout xx de II on a f(x)=0f'(x)=0.

Interprétation graphique

  • Si ff est dérivable et croissante sur II :

Les tangentes à la courbe C\mathscr C ont toutes un coefficient directeur :

  • soit strictement positif ;
  • soit égal à 00 (tangente horizontale).
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Rappel

Rappelons que le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse aa est également le nombre dérivé en aa.

  • On voit graphiquement que f(x)0f'(x)\ge0 pour tout xx de II.
  • Si ff est dérivable et décroissante sur II :

Les tangentes à la courbe C\mathscr C ont toutes un coefficient directeur :

  • soit strictement négatif ;
  • soit égal à 00 (tangente horizontale).
  • On voit graphiquement que f(x)0f'(x)\le0 pour tout xx de II.

Extremum d’une fonction

Définition

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Définition

Extremum d’une fonction :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et soit aa un réel de cet intervalle :

  • ff admet un maximum en aa sur II lorsque, pour tout xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x)\le f(a). Le maximum vaut f(a)f(a) et est atteint en aa.
  • ff admet un minimum en aa sur II lorsque, pour tout xx appartenant à II, f(x)f(a)f(x)\ge f(a). Le minimum vaut f(a)f(a) et est atteint en aa.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

  • Il est possible de trouver les extremums d’une fonction avec un algorithme sur une calculatrice (Casio ou TI).
bannière exemple

Exemple

Avec la fonction ff définie sur [5 ;3]\big[-5\ ;3\big] et représentée sur ce graphique :

  • Le maximum de ff sur [5 ;3]\big[-5\ ;3\big] est 33 ; il est atteint en x=5x=-5.
  • Le minimum de ff sur [5 ;3]\big[-5\ ;3\big] est 2-2 ; il est atteint en x=3x=-3.
  • Le réel 11 est un maximum local de ff car 11 est le maximum de ff sur l’intervalle ]2 ;0[\big]-2\ ;0\big[ par exemple.
  • Le réel 1-1 est un minimum local de ff car 1-1 est le minimum de ff sur l’intervalle ]0 ;2[\big]0\ ;2\big[ par exemple.

Lien entre extremum et dérivation

Les trois cas possibles d’extremums :

Les trois cas possibles d’extremums

Si la dérivée s’annule et change de signe sur l’intervalle d’étude, alors la fonction admet nécessairement un extremum : il s’agit ici d’un maximum car la dérivée est d’abord positive puis négative (c’est-à-dire que la fonction est d’abord croissante puis décroissante). Si la dérivée ne s’annule pas sur un intervalle, cela signifie que la fonction est soit strictement croissante soit strictement décroissante ; dans ce cas, l’extremum ne peut être atteint qu’en une borne de l’intervalle. Si la dérivée s’annule mais ne change pas de signe sur l’intervalle donné, cela signifie que la fonction ne change pas de sens de variation ; dans ce cas, soit il n’y a pas d’extremum, soit l’extremum sera atteint en une borne de l’intervalle.

Exemples d’étude de fonction

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Astuce

Les étapes d’une étude de fonction sont les suivantes :

  • Chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé ;
  • Calculer la dérivée ;
  • Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction ;
  • Calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variations.
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Exemple

Soit la fonction ff définie par f(x)=2x1x+3f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}. On cherche d’abord l’ensemble de définition de ff : il s’agit d’une fonction rationnelle, le dénominateur ne doit pas s’annuler ; la valeur interdite est donc x=3x=-3.

  • L’ensemble de définition est :

Df=] ;3[]3 ;+[Df=R{3}\begin{aligned} Df&=\big]-\infty\ ; -3\big[\cup\big]-3\ ; +\infty\big[\ Df&=\mathbb R\setminus\lbrace -3\rbrace \end{aligned}

  • Calculons maintenant la dérivée : la fonction ff est de la forme uv\dfrac uv avec :

u(x)=2x1 donc u(x)=2u(x)=2x-1\ \text{donc}\ u'(x)=2 v(x)=x+3 donc v(x)=1v(x)=x+3\ \text{donc}\ v'(x)=1

On a alors :

f(x)=uvuvv2=2×(x+3)(2x1)×1(x+3)2=2x+62x+1(x+3)2=7(x+3)2\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} \ &=\dfrac{2\times(x+3)-(2x-1)\times 1}{(x+3)^2} \ &=\dfrac{2x+6-2x+1}{(x+3)^2} \ &=\dfrac{7}{(x+3)^2}\end{aligned}

  • La dérivée est donc supérieure strictement à 00 sur les deux intervalles de son ensemble de définition.
  • On peut alors construire le tableau suivant :

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Attention

Il ne faut pas oublier la « double barre » correspondant à la valeur interdite.

La dérivée ne s’annulant sur aucun des deux intervalles, la fonction ff n’admet ni minimum ni maximum.

Ce type de tableau pourra être complété en terminale avec le calcul des limites en -\infty et ++\infty

bannière à retenir

À retenir

Lorsque la dérivée est positive la fonction est croissante et lorsque la dérivée est négative la fonction est décroissante.

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Exemple

Soit la fonction gg définie sur [5 ;5]\big[-5\ ;5\big] par g(x)=43x3+2x28x1g(x)=\dfrac{4}{3}x^3+2x^2-8x-1

  • Calculons maintenant la dérivée :

f(x)=4x2+4x8\:f'(x)=4x^2+4x-8

  • On fait un tableau de signe de la dérivée pour en déduire le tableau de variation de la fonction.
  • La dérivée étant un polynôme du second degré, nous allons calculer le discriminant :

Δ=b24ac=424×4×(8)=16+128Δ=144Δ>0\begin{aligned} \Delta &=b^2-4ac \ &=4^2-4×4×(-8)\&=16+128\ \Delta&=144\ \Delta&>0 \end{aligned}

  • Le discriminant étant positif, le trinôme admet deux racines distinctes :

$\text{et} \Bigg\lbrace \begin{aligned} x_1&=\dfrac{-b-\sqrt \Delta}{2a}=\dfrac{-4-12}{8}=\dfrac{-16}{8}=-2 \\ x_2&=\dfrac{-b+\sqrt \Delta}{2a}=\dfrac{-4+12}{8}=\dfrac{8}{8}=1 \end{aligned}$

  • Le polynôme est du signe de $a$, c’est-à-dire positif à l’extérieur des racines,
  • la dérivée est donc positive sur $\big[-5\ ; 2\big]\cup\big[1\ ;5\big]$ et négative sur $\big[-2\ ;1\big]$.
  • Il reste ensuite à calculer les extremums :

$\begin{aligned} f(-5)&=\dfrac{4}{3}\times(-5)^3+2\times(-5)^2-8\times(-5)-1=-\dfrac{233}{3}\approx-77,7 \\ f(-2)&=\dfrac{4}{3}\times(-2)^3+2\times(-2)^2-8\times (-2)-1=\dfrac{37}{3}\approx12,3 \\ f(1)&=\dfrac{4}{3}\times1^3+2\times 1^2-8\times 1-1=-\dfrac{17}{3}\approx-5,7 \\ f(5)&=\dfrac{4}{3}\times5^3+2\times 5^2-8\times 5-1=\dfrac{527}{3}\approx175,7 \end{aligned}$

  • Le minimum de la fonction est $-\dfrac{233}{3}$ et il est atteint en $x=-5$.
  • Le maximum de la fonction est $\dfrac{527}{3}$ et il est atteint en $x=5$.