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Calcul matriciel : suites et convergence

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Introduction :

Ce cours complète l’étude des matrices. Nous verrons ce qu’est une suite arithmético-géométrique puis l’utilité des matrices dans ce cas avec l’étude de la convergence. Nous modéliserons ensuite un problème à l’aide de graphes probabilistes puis à l’aide de matrices.

Suites et convergence

Suites de nombres et convergence

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Définition

Suite arithmético-géométrique :

Soit unun une suite de nombres vérifiant un+1=aun+bu{n+1}=au_n+b.

Une telle suite est dite arithmético-géométrique ou récurrence affine.

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Astuce

Passer de la formule de récurrence à la formule explicite avec les suites de nombres :

Une suite de nombres unun vérifie un+1=a un+bu{n+1}=a\ u_n+b avec a1a≠1.

  • on résout l’équation x=ax+bx=ax+b1 : elle a une solution unique cc.
  • on introduit la suite auxiliaire xnxn définie par xn=uncxn=un-c. On prouve qu’elle est géométrique (de raison aa) ; il en résulte que pour tout naturel nn, xn=an x0xn=a^n\ x_0.
  • on revient à la suite initiale : pour tout naturel nn, un=xn+cun=xn+c. D’où l’expression : un=an(u0c)+cun=a^n(u0-c)+c.
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Exemple

{u0=12un+1=0,2un+4\bigg\lbrace\begin{aligned} u0&=12\u{n+1}&=0,2u_n+4 \end{aligned}

Si unu_n converge, alors sa limite xx est solution de l’équation x=0,2x+4x=0,2x+4.

Cette équation a pour solution x=5x = 5.

Cela suggère de poser : pour tout naturel nn, xn=un5xn=un-5.

De un+1=0,2un+4u{n+1}=0,2un+4 et 5+0,2×5+45+0,2×5+4, on déduit par soustraction : un+15=0,2(un5)u{n+1}-5=0,2(un-5) soit xn+1=0,2xnx{n+1}=0,2xn.

La suite xnxn est géométrique de raison a=0,2a=0,2 et de premier terme x0=u05=7x0=u_0-5=7.

D’où pour tout naturel nn, xn=x0 anxn=x0\ a^n soit xn=7×0,2nxn=7×0,2^n. Ainsi un5=7×0,2nun-5=7×0,2^n.

On obtient donc la formule explicite : un=7×0,2n+5u_n=7×0,2^n+5.

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Propriété

Propriété : convergence

Une suite de nombres unun vérifie un+1=a un+bu{n+1}=a\ u_n+b avec 1<a<1-1 < a < 1.

Alors la suite unu_n converge vers le nombre cc vérifiant c=ac+bc=ac+b.

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À retenir

La suite est divergente si a1a\leq-1 ou a>1a>1.

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Exemple

Reprenons la suite définie par {u0=12un+1=0,2un+4\bigg\lbrace\begin{aligned} u0&=12\u{n+1}&=0,2u_n+4 \end{aligned}

La raison a=0,2a = 0,2 est telle que 1<a<1-1 < a < 1 donc limn+0,2n=0\lim\limits{n\to+\infty}0,2^n=0. Ainsi limn+un=5\lim\limits{n\to+\infty}u_n=5.

Suites de matrices

Voyons maintenant l’équivalent avec une suite de matrice UnUn vérifiant Un+1=Un+BU{n+1}=\text A\ U_n+\text B.

Par exemple, la suite UnU_n de matrices colonnes de format (2,1)(2,1) est définie par :

U0=(32)U0=\begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix} et pour tout naturel nn, Un+1=Un+BU{n+1}=\text A\ U_n+\text BA=(1412)\text A=\begin{pmatrix}1&4\1&2\end{pmatrix} et B=(122)\text B=\begin{pmatrix}12\ -2\end{pmatrix}.

La méthode pour passer de la forme par récurrence à la forme explicite est inspirée de la méthode précédente avec les suites de nombres.

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Astuce

Passer de la formule de récurrence à la formule explicite avec les suites de matrices :

Une suite de matrices colonnes UnUn vérifie Un+1=Un+BU{n+1}=\text A\ U_n+\text B, où la matrice IA\text I-\text A est inversible.

  • On résout l’équation C=AC+B\text C=\text A\text C+\text B : elle a une solution unique C=(IA)1B\text C=(\text I-\text A)^{-1}\text B.
  • On introduit la suite auxiliaire XnXn définie par Xn=UnCXn=Un-\text C. On prouve qu’elle vérifie, pour tout naturel nn, Xn+1=XnX{n+1}=\text A\ Xn, puis par récurrence que Xn=An X0Xn=\text A^n\ X_0.
  • On revient à la suite initiale : pour tout naturel nn, Un=Xn+CUn=Xn+\text C.

D’où l’expression : Un=An(U0C)+CUn=\text A^n(U0-\text C)+\text C.

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Exemple

Chercher une matrice colonne C\text C de format (2,1)(2,1), telle que C=AC+B\text C=\text A\text C+\text B.

Cette équation d’inconnue C\text C s’écrit CAC=B\text C-\text A\text C=\text B, c’est-à-dire (IA)C=B(\text I-\text A) \text C= \text B.

Si IA\text I-\text A est inversible, il faut multiplier à gauche les deux membres par (IA)1(\text I-\text A)^{-1} ce qui donne : C=(IA)1 B\text C=(\text I-\text A)^{-1}\ \text B.

Or IA=(0411)\text I-\text A=\begin{pmatrix}0&-4\ -1&-1\end{pmatrix}, cette matrice est inversible, et (IA)1=(0,2510,250)(\text I-\text A)^{-1}=\begin{pmatrix}0,25&-1\ -0,25&0\end{pmatrix} donc C=(53)\text C=\begin{pmatrix}5\ -3\end{pmatrix}.

De Un+1=Un+BU{n+1}=\text A\ Un+\text B et C=AC+B\text C=\text A\text C+\text B, on déduit par soustraction : Un+1C=A(UnC)U{n+1}-\text C=\text A( Un-\text C). En posant Xn=UnCXn=Un-\text C pour tout entier naturel nn, on obtient : Xn+1=XnX{n+1}=\text A\ Xn.

On démontre alors par récurrence que l’égalité Xn=An X0Xn=\text A^n\ X0 pour tout entier naturel nn. Pour n=0n = 0, A0=I\text A_0=\text I. Donc l’égalité est vraie au rang 00.

Si Xn=An X0Xn=\text A^n\ X0, alors en multipliant à gauche les deux membres par A\text A, on obtient Xn=An+1 X0\text A\ Xn=\text A^{n+1}\ X0, c’est-à-dire, Xn+1=An+1 X0X{n+1}=\text A^{n+1}\ X0 ( car Xn+1=XnX{n+1}=\text A\ Xn).

  • L’égalité est donc héréditaire.

On conclut que pour tout nNn\in\mathbb N, Xn=An X0Xn=\text A^n\ X0

En revenant à la suite UnUn : pour tout nNn\in\mathbb N, UnC=An (U0C)Un-\text C=\text A^n\ ( U0-\text C) d’où Un=An (U0C)+CUn=\text A^n\ ( U_0-\text C)+\text C qu’on appelle formule explicite.

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Propriété

Convergence lorsque la suite est une matrice ligne :

Si VnVn est une suite de matrice lignes de même format telle que Vn+1=Vn A+BV{n+1}=V_n\ \text A+\text B, où A\text A est une matrice carrée et B\text B une matrice ligne, on obtient des résultats analogues : si IA\text I-\text A est inversible, l’équation C=CA+B\text C=\text C\text A+\text B a une solution unique : C+B(IA)1\text C+\text B(\text I-\text A)^{-1}.

Alors pour tout nNn\in\mathbb N, Vn=(V0C)An+CVn=(V0-\text C)\text A_n+\text C.

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Propriété

Convergence d’une suite de matrices :

UnUn est une suite de matrices de format donné, L\text L une matrice de même format. Dire que la suite UnUn a pour limite L\text L signifie que, pour chaque emplacement, la suite des coefficients de UnUn a pour limite le coefficient de L\text L. On dit aussi que UnUn converge vers L\text L.

Modélisation par un graphe probabiliste puis par des matrices

Vocabulaire des graphes

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Définition

Graphes :

  • Un graphe est constitué d’un ensemble de points reliés par des arcs.
  • Un point du graphe est appelé un sommet.
  • Un arc reliant deux sommets est appelé une arête.
  • Lorsque ces arêtes sont munies d’un sens, on dit que le graphe est orienté.
  • Lorsque ces arêtes sont affectées de coefficients positifs, on dit que le graphe est pondéré et le coefficient associé à une arête est appelé le poids de l’arête.
  • Lorsque la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet est égale à 1, on dit que le graphe est un graphe probabiliste.

Marche aléatoire entre deux états

On considère un système qui peut se trouver soit dans un état A\text A, soit dans un état B\text B, et qui évolue par étapes successives, en changeant d’état à chaque étape de façon aléatoire.

On note pp la probabilité qu’il passe de l’état A\text A à l’état B\text B, qq la probabilité qu’il passe de l’état B\text B à l’état A\text A. La probabilité qu’il reste en A\text A est donc 1p1-p, la probabilité qu’il reste en B\text B est 1q1 - q.

Ces probabilités sont appelées les probabilités de transition du système. On suppose qu’elles sont constantes au cours de cette « marche aléatoire ».

Pout tout nNn\in\mathbb N, on note :

  • An\text An l’événement : « à l’étape nn, le système est dans l’état A\text A », et anan sa probabilité ;
  • Bn\text Bn l’événement contraire : « à l’étape nn, le système est dans l’état B\text B », et bnbn sa probabilité.

Les nombres anan et bnbn sont compris entre 00 et 11, et leur somme est 11.

De plus, pour tout nNn\in\mathbb N :

  • PAn(An+1)=1pP{\text An}(\text A_{n+1})=1-p
  • PAn(Bn+1)=pP{\text An}(\text B_{n+1})=p
  • PBn(An+1)=qP{\text Bn}(\text A_{n+1})=q
  • PBn(Bn+1)=1qP{\text Bn}(\text B_{n+1})=1-q

Arbre probabiliste Arbre probabiliste

D’après cet arbre, pour tout nombre nn : {an+1=(1p)an+qbnbn+1=pan+(1q)bn\bigg\lbrace \begin{aligned} a{n+1}&=(1-p)an+q{bn}\ b{n+1}&=pan+(1-q)b_n \end{aligned}

On représente l’évolution de ce système d’une étape à la suivante par un graphe probabiliste, dont les sommets indiquent les états et les flèches indiquent les probabilités de transition.

Graphe probabiliste Graphe probabiliste

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Propriété

Graphe probabiliste :

  • Tous les coefficients sont compris entre 0 et 1.
  • Pour toutes les flèches partant d’un même sommet, la somme des probabilités vaut 1.

Matrice de transition

On peut reporter les probabilités de transition dans un tableau :

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Définition

Matrice de transition T :

La matrice de transition d’une marche aléatoire est la matrice carrée T=mijT= m{ij} dont le coefficient mijm{ij} est la probabilité de transition du sommet jj vers le sommet ii.

On note : T=(1ppq1q)T=\begin{pmatrix} 1-p & p \ q & 1-q \end{pmatrix}

Attention à la position de chaque coefficient : l’état de départ définit le numéro de ligne, l’état d’arrivée le numéro de colonne.

  • La matrice de transition a les propriétés suivantes :
  • Tous les coefficients sont compris entre 0 et 1.
  • Pour chaque ligne, la somme des coefficients vaut 1.
  • Continuons avec l’écriture matricielle du problème. Voici, les définitions et théorèmes qui vont nous aider.
  • La matrice ligne Pn=(an  bn)Pn=(an \; b_n) est appelée la répartition de probabilité à l’étape nn.
  • Pour tout naturel nn, Pn+1=PnTP{n+1}=PnT et donc Pn=P0TnPn=P0T^n
  • On appelle répartition stable de probabilité une matrice ligne PP, dont tous les coefficients sont positifs et de somme 1, vérifiant P=PTP=PT.
  • Une marche aléatoire entre deux états a pour matrice de transition : T=(1ppq1q)T=\begin{pmatrix} 1-p & p \ q & 1-q \end{pmatrix}
  • Pn=(an  bn)Pn=(an \; b_n) est la répartition de probabilité à l’étape nn.
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Propriété

Répartition de probabilité :

Si pp et qq ne sont pas tous les deux nuls, ni tous les deux égaux à 1, alors il existe une répartition stable de probabilité P et une seule : \begin{aligned}P= \lbrace\{\frac{q}{p+q} \; \frac{p}{p+q}\rbrace\}\end{aligned}

De plus, quelle que soit la répartition de probabilité initiale P0P0, la suite (Pn)(Pn) converge vers PP.

Marche aléatoire entre plusieurs états

On en arrive à la dernière partie de cette leçon avec la marche aléatoire entre plusieurs états.

On considère un système qui peut se trouver dans plusieurs états, incompatibles deux à deux, et recouvrant toutes les possibilités. Il évolue par étapes successives, en changeant d’état de façon aléatoire, les probabilités de transition étant supposées constantes.

On peut représenter son évolution par un graphe et lui associer une matrice de transition. Ce graphe et cette matrice ont les mêmes propriétés que dans le cas des deux états.

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Propriété

Marche aléatoire entre deux états:

Si la matrice de transition TT admet une puissance n’ayant aucun coefficient nul, alors :

  • Il existe une répartition stable de probabilité PP et une seule, telle que PT=PPT=P;
  • Quelle que soit la répartition de probabilité initiale P0P0, la suite (Pn)(Pn) converge vers PP.