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Marianne

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Calcul matriciel : suites et convergence

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Suites de nombres et convergence

Propriété : convergence de suite

Une suite de nombres unun vérifie un+1=a un+bu{n+1}=a\ u_n+b avec 1<a<1-1 < a < 1.

Alors la suite unu_n converge vers le nombre cc vérifiant c=ac+bc=ac+b.

Déterminer une formule explicite

Une suite de nombres unun vérifie un+1=a un+bu{n+1}=a\ u_n+b avec a1a≠1.

  • on résout l’équation x=ax+bx=ax+b1 : elle a une solution unique cc.
  • on introduit la suite auxiliaire xnxn définie par xn=uncxn=un-c. On prouve qu’elle est géométrique (de raison aa) ; il en résulte que pour tout naturel nn, xn=an x0xn=a^n\ x_0.
  • on revient à la suite initiale : pour tout naturel nn, un=xn+cun=xn+c. D’où l’expression : un=an(u0c)+cun=a^n(u0-c)+c.

Suite de matrices

Déterminer une formule explicite à partir de matrices colonnes

Une suite de matrices colonnes UnUn vérifie Un+1=Un+BU{n+1}=\text A\ U_n+\text B, où la matrice IA\text I-\text A est inversible.

  • on résout l’équation C=AC+B\text C=\text A\text C+\text B : elle a une solution unique C=(IA)1B\text C=(\text I-\text A)^{-1}\text B.
  • on introduit la suite auxiliaire XnXn définie par Xn=UnCXn=Un-\text C. On prouve qu’elle vérifie, pour tout naturel nn, Xn+1=XnX{n+1}=\text A\ Xn, puis par récurrence que Xn=An X0Xn=\text A^n\ X_0.
  • on revient à la suite initiale : pour tout naturel nn, Un=Xn+CUn=Xn+\text C.

D’où l’expression : Un=An(U0C)+CUn=\text A^n(U0-\text C)+\text C.

Propriété : convergence lorsque la suite est une matrice ligne

Si VnVn est une suite de matrice lignes de même format telle que Vn+1=Vn A+BV{n+1}=V_n\ \text A+\text B, où A\text A est une matrice carrée et B\text B une matrice ligne, on obtient des résultats analogues : si IA\text I-\text A est inversible, l’équation C=CA+B\text C=\text C\text A+\text B a une solution unique : C+B(IA)1\text C+\text B(\text I-\text A)^{-1}.

Alors pour tout nNn\in\mathbb N, Vn=(V0C)An+CVn=(V0-\text C)\text A_n+\text C.

Propriété : convergence d’une suite de matrices

UnUn est une suite de matrices de format donné, L\text L une matrice de même format. Dire que la suite UnUn a pour limite L\text L signifie que, pour chaque emplacement, la suite des coefficients de UnUn a pour limite le coefficient de L\text L. On dit aussi que UnUn converge vers L\text L.

Graphe probabiliste, marche aléatoire entre deux états

Définition : graphe probabiliste

Graphe probabiliste Graphe probabiliste

Les sommets indiquent les états et les flèches indiquent les probabilités de transition.

Propriétés : graphe probabiliste

  • Tous les coefficients sont compris entre 0 et 1.
  • Pour toutes les flèches partant d’un même sommet, la somme des probabilités vaut 1.

Définition : matrice de transition

On définit ainsi la matrice de transition TT : T=(1ppq1q)T=\begin{pmatrix} 1-p & p \ q & 1-q \end{pmatrix}

Attention à la position de chaque coefficient : l’état de départ définit le numéro de ligne, l’état d’arrivée le numéro de colonne.

Propriétés : matrice de transition

  • Tous les coefficients sont compris entre 0 et 1.
  • Pour chaque ligne, la somme des coefficients vaut 1.

Définitions : répartition de probabilité

  • La matrice ligne Pn=(an  bn)Pn=(an \; b_n) est appelée la répartition de probabilité à l’étape nn.
  • Pour tout naturel nn, Pn+1=PnTP{n+1}=PnT et donc Pn=P0TnPn=P0T^n
  • On appelle répartition stable de probabilité une matrice ligne P, dont tous les coefficients sont positifs et de somme 1, vérifiant P=PTP=PT.
  • Une marche aléatoire entre deux états a pour matrice de transition : T=(1ppq1q)T=\begin{pmatrix} 1-p & p \ q & 1-q \end{pmatrix}
  • Pn=(an  bn)Pn=(an \; b_n) est la répartition de probabilité à l’étape nn.

Propriété : répartition de probabilité

Si pp et qq ne sont pas tous les deux nuls, ni tous les deux égaux à 1, alors il existe une répartition stable de probabilité PP et une seule : \begin{aligned}P= \lbrace\{\frac{q}{p+q} \; \frac{p}{p+q}\rbrace\}\end{aligned}

De plus, quelle que soit la répartition de probabilité initiale P0P0, la suite (Pn)(Pn) converge vers PP.

Propriété : marche aléatoire entre deux états

Si la matrice de transition TT admet une puissance n’ayant aucun coefficient nul, alors :

  • Il existe une répartition stable de probabilité PP et une seule, telle que PT=PPT=P;
  • Quelle que soit la répartition de probabilité initiale P0P0, la suite (Pn)(Pn) converge vers PP.