Fiche de révision Calcul matriciel : suites et convergence

Suites de nombres et convergence

Une suite de nombres $u_n$ vérifie $u_{n+1}=a\ u_n+b$ avec $-1 < a < 1$.

Alors la suite $u_n$ converge vers le nombre $c$ vérifiant $c=ac+b$.

Déterminer une formule explicite

Une suite de nombres $u_n$ vérifie $u_{n+1}=a\ u_n+b $ avec $a≠1$.

• on résout l’équation $x=ax+b$1 : elle a une solution unique $c$.
• on introduit la suite auxiliaire $x_n$ définie par $x_n=u_n-c$. On prouve qu’elle est géométrique (de raison $a$) ; il en résulte que pour tout naturel $n$, $x_n=a^n\ x_0$.
• on revient à la suite initiale : pour tout naturel $n$, $u_n=x_n+c$. D’où l’expression : $u_n=a^n(u_0-c)+c$.

Suite de matrices

Déterminer une formule explicite à partir de matrices colonnes

Une suite de matrices colonnes $U_n$ vérifie $U_{n+1}=\text A\ U_n+\text B$, où la matrice $\text I-\text A$ est inversible.

• on résout l’équation $\text C=\text A\text C+\text B$ : elle a une solution unique $\text C=(\text I-\text A)^{-1}\text B$.
• on introduit la suite auxiliaire $X_n$ définie par $X_n=U_n-\text C$. On prouve qu’elle vérifie, pour tout naturel $n$, $X_{n+1}=\text A\ X_n$, puis par récurrence que $X_n=\text A^n\ X_0$.
• on revient à la suite initiale : pour tout naturel $n$, $U_n=X_n+\text C$.

D’où l’expression : $U_n=\text A^n(U_0-\text C)+\text C$.

Propriété : convergence lorsque la suite est une matrice ligne

Si $V_n$ est une suite de matrice lignes de même format telle que $V_{n+1}=V_n\ \text A+\text B$, où $\text A$ est une matrice carrée et $\text B$ une matrice ligne, on obtient des résultats analogues : si $\text I-\text A$ est inversible, l’équation $\text C=\text C\text A+\text B$ a une solution unique : $\text C+\text B(\text I-\text A)^{-1}$.

Alors pour tout $n\in\mathbb N$, $V_n=(V_0-\text C)\text A_n+\text C$.

Propriété : convergence d’une suite de matrices

$U_n$ est une suite de matrices de format donné, $\text L$ une matrice de même format. Dire que la suite $U_n$ a pour limite $\text L$ signifie que, pour chaque emplacement, la suite des coefficients de $U_n$ a pour limite le coefficient de $\text L$. On dit aussi que $U_n$ converge vers $\text L$.

Graphe probabiliste, marche aléatoire entre deux états

Les sommets indiquent les états et les flèches indiquent les probabilités de transition.

Propriétés : graphe probabiliste

• Tous les coefficients sont compris entre 0 et 1.
• Pour toutes les flèches partant d’un même sommet, la somme des probabilités vaut 1.

Définition : matrice de transition

On définit ainsi la matrice de transition $T$ : $T=\begin{pmatrix} 1-p & p \\ q & 1-q \end{pmatrix}$

Attention à la position de chaque coefficient : l’état de départ définit le numéro de ligne, l’état d’arrivée le numéro de colonne.

Propriétés : matrice de transition

• Tous les coefficients sont compris entre 0 et 1.
• Pour chaque ligne, la somme des coefficients vaut 1.

Définitions : répartition de probabilité

• La matrice ligne $P_n=(a_n \; b_n) $est appelée la répartition de probabilité à l’étape $n$.
• Pour tout naturel $n$, $P_{n+1}=P_nT$ et donc $P_n=P_0T^n$
• On appelle répartition stable de probabilité une matrice ligne P, dont tous les coefficients sont positifs et de somme 1, vérifiant $P=PT$.
• Une marche aléatoire entre deux états a pour matrice de transition : $T=\begin{pmatrix} 1-p & p \\ q & 1-q \end{pmatrix}$
• $P_n=(a_n \; b_n)$ est la répartition de probabilité à l’étape $n$.

Propriété : répartition de probabilité

Si $p$ et $q$ ne sont pas tous les deux nuls, ni tous les deux égaux à 1, alors il existe une répartition stable de probabilité $P$ et une seule : $\begin{aligned}P= \lbrace\{\frac{q}{p+q} \; \frac{p}{p+q}\rbrace\}\end{aligned}$

De plus, quelle que soit la répartition de probabilité initiale $P_0$, la suite $(P_n)$ converge vers $P$.

Propriété : marche aléatoire entre deux états

Si la matrice de transition $T$ admet une puissance n’ayant aucun coefficient nul, alors :

• Il existe une répartition stable de probabilité $P$ et une seule, telle que $PT=P$;
• Quelle que soit la répartition de probabilité initiale $P_0$, la suite $(P_n)$ converge vers $P$.