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Calculer avec des nombres décimaux

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Introduction :

Ce cours porte sur le calcul avec des nombres décimaux. Pour cela, nous allons utiliser des conventions, c’est-à-dire des règles de priorités.

Dans un premier temps nous verrons comment calculer une expression numérique sans parenthèses. Puis nous apprendrons à calculer une expression numérique avec parenthèses. Avant cela, un rappel est nécessaire.

bannière rappel

Rappel

En 6e, nous avons travaillé sur les cinq opérations élémentaires.

  • L’addition

3+4=73+4=7

77 est la somme des termes 33 et 44.

  • La soustraction

1513=215-13=2

22 est la différence entre les termes 1515 et 1313.

  • La multiplication

4,5×4=184,5 \times 4 =18

1818 est le produit du du facteur 4,54,5 par le facteur 44.

  • La division

100 ÷5=20100 \div 5 =20 où :

  • 100100 est le dividende ou le numérateur.
  • 55 est le diviseur ou le dénominateur.
  • 2020 est le quotient exact.
  • La division euclidienne

21÷521 \div 5 peut s’écrire 21=4×5+121 =4 \times 5+1

  • 2121 est le dividende.
  • 55 est le diviseur.
  • 44 est le quotient.
  • 11 est le reste.

La résolution de certains problèmes complexes nécessite souvent une succession d’opérations.

Nous allons voir comment écrire cette succession d’opérations sur une même ligne et comment calculer cette succession d’opérations.

Calculer une expression numérique sans parenthèses

Succession d’additions et de soustractions

Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des additions et des soustractions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.

A=5,2+47,7A=9,27,7A=1,5\begin{aligned}A&= 5,2+4-7,7\ A&=9,2-7,7\ A&=1,5\end{aligned}

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Exemple

Léa souhaite pratiquer le tennis de table.

Voici ses achats :

  • une raquette à 11,9011,90 € ;
  • une boîte de balles à 3,953,95 €.

Quelle somme lui rend le commerçant si elle présente un billet de 2020 € ?
On nomme cette somme BB.

B=2011,903,95B=8,103,95B=4,15\begin{aligned}B&=20-11,90-3,95\ B&=8,10-3,95\ B&=4,15\end{aligned}

  • Le commerçant rend 4,154,15 € à Léa.

Succession de multiplications et de divisions

Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.

C=12,6÷3×5C=4,2×5C=21\begin{aligned}C&=12,6 \div 3\times 5\ C&=4,2\times 5\ C&=21\end{aligned}

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Exemple

Combien vaut le septième du double de 2121 ?
Nommons ce résultat DD.

D=21×2÷7D=42÷7D=6\begin{aligned}D&= 21\times2 \div 7\ D&=42 \div 7\ D&=6\end{aligned}

  • Le septième du double de 2121 vaut 66.
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Astuce

Dans le cas où il n’y a que des additions (ou que des multiplications), on peut effectuer les calculs dans n’importe quel ordre.

Succession d’opérations diverses

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À retenir

Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte des opérations diverses, on effectue d’abord les multiplications et les divisions. Elles sont prioritaires par rapport aux additions et aux soustractions.

  • On effectue d’abord la multiplication et la division :

E=253,5×5+1,6 ÷2E=2517,5+0,8\begin{aligned} E&= 25-3,5\times 5+1,6 \div 2\ E&=25-17,5+0,8\end{aligned}

  • Puis on calcule de gauche à droite :

E=2517,5+0,8E=7,5+0,8E=8,3\begin{aligned} E&=25-17,5+0,8\ E&=7,5 + 0,8\ E&=8,3\end{aligned}

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Exemple

Combien y a t-il de secondes dans 33 heures 2727 minutes et 4747 secondes ?
On nomme ce nombre de secondes FF.

On sait que dans 11 heure, il y a 6060 minutes et que dans une minute, il y a 6060 secondes.

On peut donc calculer le nombre de secondes dans 11 heure :

1 heure =60×601 heure =3600 secondes\begin{aligned}1\text{ heure }&=60\times60\ 1\text{ heure }&=3600\text{ secondes}\end{aligned}

Donc :

F=3×3600+27×60+47  on effectue d’abord les multiplicationsF=10800+1620+47F=12420+47F=12467\begin{aligned}F&=3\times 3600+27\times 60+47\;\longleftarrow \text{on effectue d’abord les multiplications}\ F&=10800+1620+47\ F&=12420+47\ F&=12467\end{aligned}

  • Dans 33 heures 2727 minutes et 4747 secondes, il y a donc 1246712467 secondes.

Calculer une expression numérique avec parenthèses

Expression avec des parenthèses

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À retenir

Pour calculer une expression numérique où figurent des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
S’il y a plusieurs « couples » de parenthèses, on commence par celles qui sont les plus intérieures.

G=92×(73)  le calcul entre parentheˋses est prioritaireG=92×4  la multiplication est prioritaireG=98G=1\begin{aligned} G&=9-2 \times (7-3)\;\longleftarrow \text{le calcul entre parenthèses est prioritaire}\ G&=9-2\times 4\;\longleftarrow \text{la multiplication est prioritaire}\ G&=9-8\ G&=1\end{aligned}

H=17,2(55÷(6+5))  le calcul (6+5) est prioritaireH=17,2(55÷11)  le calcul (55÷11) est prioritaireH=17,25H=12,2\begin{aligned}H&=17,2-(55 \div (6+5))\;\longleftarrow \text{le calcul (6+5) est prioritaire}\ H&=17,2-(55 \div 11)\;\longleftarrow \text{le calcul ($55 \div 11$) est prioritaire}\ H&=17,2-5\ H&=12,2\end{aligned}

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Exemple

Voici un programme de calcul :

  • je choisis un nombre ;
  • je lui ajoute 77 ;
  • je multiplie le résultat par 33 ;
  • je soustrais 88 à ce nouveau résultat ;
  • je divise par 44 ce dernier résultat.

Effectuer ce programme de calcul avec 8,58,5 comme nombre de départ.
On nomme le résultat JJ.

J=((8,5+7)×38)÷4  on commence par les parentheˋses inteˊrieuresJ=(15,5×38)÷4  dans les parentheˋses, la multiplication est prioritaireJ=(46,58)÷4J=38,5÷4J=9,625\begin{aligned}J&=((8,5+7)\times 3-8) \div 4\;\longleftarrow \scriptsize\text{on commence par les parenthèses intérieures}\ J&= (15,5 \times 3-8) \div 4\;\longleftarrow \scriptsize\text{dans les parenthèses, la multiplication est prioritaire}\ J&= (46,5 - 8) \div 4\ J&= 38,5 \div 4\ J&=9,625\end{aligned}

Expression avec un trait de fraction

bannière à retenir

À retenir

Lorsque la division est indiquée avec un trait de fraction, le numérateur et le dénominateur sont considérés comme des expressions entre parenthèses.

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Exemple

K=17+41612K=\dfrac{17+4}{16-12}

KK s’écrit aussi :

K=(17+4)÷(1612)K=21÷4K=5,25\begin{aligned}K&= (17+4) \div (16-12)\ K&=21 \div 4\ K&=5,25\end{aligned}

Utiliser la distributivité pour calculer mentalement

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Exemple

Sans calculatrice et sans poser d’opération, calculer les expressions suivantes.

  • K=24×(10+2)K= 24\times (10+2)
  • L=5,5×264,5×26L=5,5 \times 26-4,5 \times 26
  • M=27×99M=27 \times 99
  • K=24×(10+2)K= 24\times (10+2)

Mentalement il n’est pas simple de calculer 24×1224\times 12
Il est plus habile de développer le produit 24×(10+2)24\times (10+2)
On obtient 24×1024\times 10 et 24×224\times 2
Il est en effet plus facile de calculer mentalement 24×1024\times10 et 24×224\times 2
On obtient K=240+48K=240+48
Donc K=288K=288

  • L=5,5×264,5×26L=5,5\times 26 - 4,5\times 26

Ici, il est plus habile de factoriser la différence : L=(5,54,5)×26L= (5,5-4,5) \times 26
On obtient L=1×26L=1\times 26
Donc L=26L=26

  • M=27×99M=27\times 99

Il faut ici penser à remplacer 9999 par 100100
En effet, 99=100199=100-1 donc M=27×(1001)M=27\times (100-1)
On développe M=27×10027×1M=27\times 100-27\times 1
On obtient M=270027M=2700-27
Donc M=2673M=2673

Conclusion :

Les conventions étudiées dans cette leçon permettent de résoudre des problèmes complexes en écrivant une expression numérique à l’aide des 4 signes opératoires et de parenthèses.