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Calculer avec des nombres décimaux
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Introduction :
Ce cours porte sur le calcul avec des nombres décimaux. Pour cela, nous allons utiliser des conventions, c’est-à-dire des règles de priorités.
Dans un premier temps nous verrons comment calculer une expression numérique sans parenthèses. Puis nous apprendrons à calculer une expression numérique avec parenthèses. Avant cela, un rappel est nécessaire.
En 6e, nous avons travaillé sur les cinq opérations élémentaires.
est la somme des termes et .
est la différence entre les termes et .
est le produit du facteur par le facteur .
où :
peut s’écrire
La résolution de certains problèmes complexes nécessite souvent une succession d’opérations.
Nous allons voir comment écrire cette succession d’opérations sur une même ligne et comment calculer cette succession d’opérations.
Calculer une expression numérique sans parenthèses
Succession d’additions et de soustractions
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des additions et des soustractions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.
Léa souhaite pratiquer le tennis de table.
Voici ses achats :
Quelle somme lui rend le commerçant si elle présente un billet de € ?
On nomme cette somme .
Succession de multiplications et de divisions
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.
Combien vaut le septième du double de ?
Nommons ce résultat .
Dans le cas où il n’y a que des additions (ou que des multiplications), on peut effectuer les calculs dans n’importe quel ordre.
Succession d’opérations diverses
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte des opérations diverses, on effectue d’abord les multiplications et les divisions. Elles sont prioritaires par rapport aux additions et aux soustractions.
Combien y a t-il de secondes dans heures minutes et secondes ?
On nomme ce nombre de secondes .
On sait que dans heure, il y a minutes et que dans une minute, il y a secondes.
On peut donc calculer le nombre de secondes dans heure :
Donc :
Calculer une expression numérique avec parenthèses
Expression avec des parenthèses
Pour calculer une expression numérique où figurent des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
S’il y a plusieurs « couples » de parenthèses, on commence par celles qui sont les plus intérieures.
Voici un programme de calcul :
Effectuer ce programme de calcul avec comme nombre de départ.
On nomme le résultat .
Expression avec un trait de fraction
Lorsque la division est indiquée avec un trait de fraction, le numérateur et le dénominateur sont considérés comme des expressions entre parenthèses.
s’écrit aussi :
Utiliser la distributivité pour calculer mentalement
Sans calculatrice et sans poser d’opération, calculer les expressions suivantes.
Mentalement il n’est pas simple de calculer
Il est plus habile de développer le produit
On obtient et
Il est en effet plus facile de calculer mentalement et
On obtient
Donc
Ici, il est plus habile de factoriser la différence :
On obtient
Donc
Il faut ici penser à remplacer par
En effet, donc
On développe
On obtient
Donc
Conclusion :
Les conventions étudiées dans cette leçon permettent de résoudre des problèmes complexes en écrivant une expression numérique à l’aide des 4 signes opératoires et de parenthèses.