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Cours : Calculer avec des nombres décimaux

Calculer avec des nombres décimaux

Introduction :

Ce cours porte sur le calcul avec des nombres décimaux. Pour cela, nous allons utiliser des conventions, c’est-à-dire des règles de priorités.

Dans un premier temps nous verrons comment calculer une expression numérique sans parenthèses. Puis nous apprendrons à calculer une expression numérique avec parenthèses. Avant cela, un rappel est nécessaire.

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Rappel

En 6e, nous avons travaillé sur les cinq opérations élémentaires.

  • L’addition

$3+4=7$

$7$ est la somme des termes $3$ et $4$.

  • La soustraction

$15-13=2$

$2$ est la différence entre les termes $15$ et $13$.

  • La multiplication

$4,5 \times 4 =18$

$18$ est le produit du facteur $4,5$ par le facteur $4$.

  • La division

$100 \div 5 =20$ où :

  • $100$ est le dividende ou le numérateur.
  • $5$ est le diviseur ou le dénominateur.
  • $20$ est le quotient exact.
  • La division euclidienne

$21 \div 5$ peut s’écrire $21 =4 \times 5+1$

  • $21$ est le dividende.
  • $5$ est le diviseur.
  • $4$ est le quotient.
  • $1$ est le reste.

La résolution de certains problèmes complexes nécessite souvent une succession d’opérations.

Nous allons voir comment écrire cette succession d’opérations sur une même ligne et comment calculer cette succession d’opérations.

Calculer une expression numérique sans parenthèses

Succession d’additions et de soustractions

Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des additions et des soustractions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.

$$\begin{aligned}A&= 5,2+4-7,7\\ A&=9,2-7,7\\ A&=1,5\end{aligned}$$

bannière exemple

Exemple

Léa souhaite pratiquer le tennis de table.

Voici ses achats :

  • une raquette à $11,90$ € ;
  • une boîte de balles à $3,95$ €.

Quelle somme lui rend le commerçant si elle présente un billet de $20$ € ?
On nomme cette somme $B$.

$\begin{aligned}B&=20-11,90-3,95\\ B&=8,10-3,95\\ B&=4,15\end{aligned}$

  • Le commerçant rend $4,15$ € à Léa.

Succession de multiplications et de divisions

Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.

$$\begin{aligned}C&=12,6 \div 3\times 5\\ C&=4,2\times 5\\ C&=21\end{aligned}$$

bannière exemple

Exemple

Combien vaut le septième du double de $21$ ?
Nommons ce résultat $D$.

$\begin{aligned}D&= 21\times2 \div 7\\ D&=42 \div 7\\ D&=6\end{aligned}$

  • Le septième du double de $21$ vaut $6$.
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Astuce

Dans le cas où il n’y a que des additions (ou que des multiplications), on peut effectuer les calculs dans n’importe quel ordre.

Succession d’opérations diverses

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À retenir

Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte des opérations diverses, on effectue d’abord les multiplications et les divisions. Elles sont prioritaires par rapport aux additions et aux soustractions.

  • On effectue d’abord la multiplication et la division :

$$\begin{aligned} E&= 25-3,5\times 5+1,6 \div 2\\ E&=25-17,5+0,8\end{aligned}$$

  • Puis on calcule de gauche à droite :

$$\begin{aligned} E&=25-17,5+0,8\\ E&=7,5 + 0,8\\ E&=8,3\end{aligned}$$

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Exemple

Combien y a t-il de secondes dans $3$ heures $27$ minutes et $47$ secondes ?
On nomme ce nombre de secondes $F$.

On sait que dans $1$ heure, il y a $60$ minutes et que dans une minute, il y a $60$ secondes.

On peut donc calculer le nombre de secondes dans $1$ heure :

$\begin{aligned}1\text{ heure }&=60\times60\\ 1\text{ heure }&=3600\text{ secondes}\end{aligned}$

Donc :

$\begin{aligned}F&=3\times 3600+27\times 60+47\;\longleftarrow \text{on effectue d’abord les multiplications}\\ F&=10800+1620+47\\ F&=12420+47\\ F&=12467\end{aligned}$

  • Dans $3$ heures $27$ minutes et $47$ secondes, il y a donc $12467$ secondes.

Calculer une expression numérique avec parenthèses

Expression avec des parenthèses

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À retenir

Pour calculer une expression numérique où figurent des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
S’il y a plusieurs « couples » de parenthèses, on commence par celles qui sont les plus intérieures.

$$\begin{aligned} G&=9-2 \times (7-3)\;\longleftarrow \text{le calcul entre parenthèses est prioritaire}\\ G&=9-2\times 4\;\longleftarrow \text{la multiplication est prioritaire}\\ G&=9-8\\ G&=1\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}H&=17,2-(55 \div (6+5))\;\longleftarrow \text{le calcul (6+5) est prioritaire}\\ H&=17,2-(55 \div 11)\;\longleftarrow \text{le calcul ($55 \div 11$) est prioritaire}\\ H&=17,2-5\\ H&=12,2\end{aligned}$$

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Exemple

Voici un programme de calcul :

  • je choisis un nombre ;
  • je lui ajoute $7$ ;
  • je multiplie le résultat par $3$ ;
  • je soustrais $8$ à ce nouveau résultat ;
  • je divise par $4$ ce dernier résultat.

Effectuer ce programme de calcul avec $8,5$ comme nombre de départ.
On nomme le résultat $J$.

$\begin{aligned}J&=((8,5+7)\times 3-8) \div 4\;\longleftarrow \scriptsize\text{on commence par les parenthèses intérieures}\\ J&= (15,5 \times 3-8) \div 4\;\longleftarrow \scriptsize\text{dans les parenthèses, la multiplication est prioritaire}\\ J&= (46,5 - 8) \div 4\\ J&= 38,5 \div 4\\ J&=9,625\end{aligned}$

Expression avec un trait de fraction

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À retenir

Lorsque la division est indiquée avec un trait de fraction, le numérateur et le dénominateur sont considérés comme des expressions entre parenthèses.

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Exemple

$$K=\dfrac{17+4}{16-12}$$

$K$ s’écrit aussi :

$$\begin{aligned}K&= (17+4) \div (16-12)\\ K&=21 \div 4\\ K&=5,25\end{aligned}$$

Utiliser la distributivité pour calculer mentalement

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Exemple

Sans calculatrice et sans poser d’opération, calculer les expressions suivantes.

  • $K= 24\times (10+2)$
  • $L=5,5 \times 26-4,5 \times 26$
  • $M=27 \times 99$
  • $K= 24\times (10+2)$

Mentalement il n’est pas simple de calculer $24\times 12$
Il est plus habile de développer le produit $24\times (10+2)$
On obtient $24\times 10$ et $24\times 2$
Il est en effet plus facile de calculer mentalement $24\times10$ et $24\times 2$
On obtient $K=240+48$
Donc $K=288$

  • $L=5,5\times 26 - 4,5\times 26$

Ici, il est plus habile de factoriser la différence : $L= (5,5-4,5) \times 26$
On obtient $L=1\times 26$
Donc $L=26$

  • $M=27\times 99$

Il faut ici penser à remplacer $99$ par $100$
En effet, $99=100-1$ donc $M=27\times (100-1)$
On développe $M=27\times 100-27\times 1$
On obtient $M=2700-27$
Donc $M=2673$

Conclusion :

Les conventions étudiées dans cette leçon permettent de résoudre des problèmes complexes en écrivant une expression numérique à l’aide des 4 signes opératoires et de parenthèses.