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Marianne

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Calculer des périmètres

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Introduction :

L’objectif de ce cours est de revoir la notion de périmètre d’une figure géométrique et de donner les formules du périmètre des figures usuelles.

Dans ce cours, nous verrons dans un premier temps la définition du périmètre d’une figure. Dans un deuxième temps, nous donnerons les formules du périmètre des principales figures géométriques connues (rectangle, carré, triangle et cercle) et enfin, dans un troisième temps, nous résoudrons des exercices mettant en jeu des périmètres de figures plus complexes.

Définition du périmètre d’une figure

Définition

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Définition

Périmètre :

Le périmètre d’une figure géométrique est la longueur de son contour.
Il peut être exprimé en nombre de côtés de carreaux ou plus généralement avec les unités de longueur habituelles (cm\text{cm}, m\text{m}, km\text{km}, etc.).

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Attention

Pour pouvoir additionner des longueurs, il faut que celles-ci soient toutes exprimées dans la même unité.

Exemple de calcul par comptage

calculer des périmètres mathématiques sixième

On prend ici comme unité de longueur un côté de carreau.
Le périmètre de cette figure est de 16 unités de longueur (ou 16 côtés de carreaux).

Formules du périmètre de figures usuelles

Périmètre d’un rectangle

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À retenir

Le périmètre d’un rectangle de longueur LL et de largeur ll est :
P=L+l+L+lP=2L+2lP=2×(L+l)\begin{aligned}P&=L+l+L+l\ P&=2L+2l\ P &= 2\times (L + l)\end{aligned}

calculer des périmètres mathématiques sixième

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Exemple

  • Un terrain rectangulaire de longueur 110 m110\text{ m} et de largeur 30 m30\text{ m} a pour périmètre :

P=2×(110+30)=2×140=280 mP = 2\times (110 + 30) = 2\times 140 = 280\text{ m}

  • Une maison qui a la forme d’un rectangle de longueur 13 m13\text{ m} et de largeur 5 m5\text{ m} a pour périmètre (au sol) :

P=2×(13+5)=2×18=36 mP = 2\times (13 + 5) = 2\times 18 = 36\text{ m}

Périmètre d’un carré

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À retenir

Le périmètre d’un carré de côté cc est :
P=4×c=4cP = 4 \times c = 4c

calculer des périmètres mathématiques sixième

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Exemple

  • Un jardin potager de forme carrée de côté 12 m12\text{ m} a pour périmètre :

P=4×12=48 mP = 4\times 12 = 48\text{ m}

  • Dans un collège, une cour de récréation de forme carrée de côté 45 m45\text{ m} a pour périmètre :

P=4×45=180 mP = 4\times 45 = 180\text{ m}

Périmètre d’un triangle

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À retenir

Le périmètre d’un triangle de côtés aa, bb et cc est :
P=a+b+cP = a + b + c

calculer des périmètres mathématiques sixième

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Exemple

Le périmètre d’un triangle de côtés 4 cm4\text{ cm}, 6 cm6\text{ cm} et 9 cm9\text{ cm} est :

P=4+6+9=19 cmP = 4 + 6 + 9 = 19\text{ cm}

Périmètre d’un cercle

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À retenir

Le périmètre d’un cercle de rayon rr (et donc de diamètre d=2rd = 2r) est :

P=2πr=πdP = 2\pi r = \pi d (avec π3,14\pi \approx 3,14)

périmètre cercle mathématiques sixième

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Exemple

Dans les exemples suivants, on arrondira π\pi à 3,143,14.

  • Une pizzeria fabrique des pizzas rondes de diamètres 13 cm13\text{ cm} et 17 cm17\text{ cm}. Le périmètre de ces deux pizzas est respectivement :

P1=2π×13=26π81,6 cmP1=2 \pi \times 13 = 26 \pi \approx 81,6\text{ cm} P2=2π×17=34π106,8 cmP2=2 \pi \times 17 = 34 \pi \approx 106,8\text{ cm}

  • Une piscine ronde de rayon 2,5 m2,5\text{ m} a pour périmètre (au sol) :

P=2π×2,5=5π15,7 mP = 2\pi \times 2,5 = 5 \pi \approx 15,7\text{ m}

Exercices utilisant le périmètre d’une figure

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Exemple

Le parcours du cross d’un collège est schématisé par la figure ci-dessous.

Quelle est la longueur d’un tour du parcours ?

calculer des périmètres mathématiques sixième

La longueur d’un tour du parcours correspond au périmètre de cette figure.

Nous avons donc :
P=AB+BC+CD+DE+EA=155+90+25+194+234=698 mP = AB + BC + CD + DE + EA = 155 + 90 + 25 + 194 + 234 = 698\text{ m}

  • La longueur d’un tour du parcours est de 698 m698\text{ m}.

Un pré à clôturer est représenté ci-dessous.

Pour connaître la longueur de la clôture, nous avons besoin de calculer son périmètre.

calculer des périmètres mathématiques sixième

P=AB+BC+CD+DE+EF+FAP = AB + BC + CD + DE + EF + FA

D’après le codage, on sait que BC=DE=EF=240 mBC=DE=EF=240\text{ m}.
On déduit du codage que FA=BC+DE=480 mFA=BC+DE=480\text{ m}.
On peut également déduire du codage que CD=ABEF=620240=380 mCD=AB-EF=620-240=380\text{ m}.

On a donc :
P=620+240+380+240+240+480 mP = 620 + 240 + 380 + 240 + 240 + 480\text{ m}
P=2 200 mP=2\ 200\text{ m}
P=2,2 kmP=2,2\text{ km} car 1 km=1 000 m1\text{ km}=1\ 000\text{ m}

Une piste d’athlétisme est représentée ci-dessous. Elle est composée de deux parties rectilignes et de deux demi-cercles.

Quelle la longueur d’un tour de cette piste ?

calculer des périmètres mathématiques sixième

La longueur d’un tour de piste correspond au périmètre de cette figure : il s’agit de la somme du périmètre d’un cercle de rayon 58÷2=29 m58\div 2 = 29\text{ m} auquel nous devons additionner 22 fois la longueur 109 m109\text{ m}.

On a donc :
P=2π×29+2×109=58π+218400,1 mP = 2\pi \times 29 + 2\times 109 = 58 \pi + 218 \approx 400,1\text{ m} en prenant π3,14\pi \approx 3,14.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons revu la notion de périmètre d’une figure, le périmètre étant la longueur du contour de cette figure. Nous avons ensuite revu les formules à connaître donnant directement le périmètre des principales figures géométriques connues : rectangle, carré, triangle et cercle.