Fiche de révision : Calculer des probabilités

Vocabulaire

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.
• Tous les résultats possibles d’une expérience sont appelés issues.
• Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) de l’expérience :
• un événement élémentaire est réalisé par une seule issue ;
• un événement certain est réalisé par toutes les issues : il est sûr de se produire ;
• un événement impossible n’est réalisé par aucune issue : il n’a aucune chance de se produire.
• Deux événements sont contraires si chacun d’entre eux est sûr de se réaliser lorsque l’autre ne se réalise pas.
• Si on appelle un des deux événements « Événement $A$ », son événement contraire s’appellera « Événement non $A$ ».
• Deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Calcul de probabilités

• La probabilité d’un événement désigne la proportion de chance que cet événement se produise. Elle s’exprime sous forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
• Soit $A$ un événement d’une expérience. On note $p(A)$ la probabilité que l’événement se réalise.
• La probabilité d’un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$.
• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience est égale à $1$.
• La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des issues favorables à cet évènement.
• La probabilité d'un événement impossible est égale à $0$.
• La probabilité d'un événement certain est égale à $1$.
• Lorsque deux événements sont incompatibles :
• la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité ;
• la probabilité pour que l’un et l’autre se réalisent est nulle.
• Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles :

$$p(A \text{ ou } B) = p(A) + p(B)$$ $$p(A \text{ et } B) = 0$$

• La somme des probabilités d'un évènement et de son contraire est égale à $1$ : $$p(A) + p(\text{non } A) = 1$$
• Lors d’une expérience aléatoire, si chaque événement élémentaire a la même chance de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.
• Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est le quotient du nombre d’issues favorables à l’événement par le nombre d’issues possibles.
  Soit $A$ un événement d’une expérience à situation d’équiprobabilité, alors :

$$p(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}$$

• Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une fréquence théorique appelée probabilité.

Représentation en arbre de probabilités pondéré

• L’arbre de probabilités pondéré d’une expérience aléatoire indique chacune des issues de l’expérience en spécifiant sur chaque branche la probabilité correspondante.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites sur les branches conduisant aux issues favorables à cet événement.

Expérience aléatoire à deux épreuves

• Sur un arbre pondéré d’une expérience aléatoire, une succession de branches s’appelle un chemin.
• Sur un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin.