Les probabilités

Expérience aléatoire et probabilité

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat :

• Les résultats possibles sont appelés issues.
• Modéliser une expérience aléatoire consiste à associer à chaque issue une probabilité.

Règles de probabilité :

• La probabilité de chaque issue est un nombre compris entre $0$ et $1$.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.

Événements :

• Un événement est une condition qui peut être réalisée en fonction de l'issue.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent :

$$\text{p(événement)}=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$$

Types d'événements :

• Un événement élémentaire est réalisé par une seule issue.
• Un événement impossible a une probabilité de $0$.
• Un événement certain a une probabilité de $1$.

L’événement contraire :

L'événement contraire $\overline{E}$ d'un événement $E$ est l'événement qui se réalise lorsque $E$ ne se réalise pas.

$$\begin{aligned} p(E)+p(\overline E)&=1 \\ p(\overline E)&=1-p(E) \\ p(E)&=1-p(\overline E) \end{aligned}$$

Cas des issues équiprobables :

• Les issues sont dites équiprobables lorsqu’elles ont toutes la même probabilité.
• Si une expérience a $n$ issues équiprobables, alors la probabilité de chaque issue est : $\frac 1n$

Fréquences et probabilités

Lorsque les probabilités des issues ne sont pas connues, on peut :

• Répéter un grand nombre de fois une expérience aléatoire ;
• Observer la fréquence d'apparition d'une issue, c’est-à-dire :

$$\text{Fréquence}=\dfrac{\text{nombre d’apparitions}}{\text{nombre total d'expériences}}$$

Lorsqu’on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une issue se stabilise autour de sa probabilité.

Expérience aléatoire à deux épreuves

Une expérience à deux épreuves consiste à réaliser deux expériences successives et s'intéresser aux résultats des deux.

• Si l’issue de la seconde épreuve ne dépend pas du résultat de la première, les deux épreuves sont dites indépendantes.
• On utilise un tableau à double entrée pour représenter toutes les issues possibles de l’expérience à deux épreuves.