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Calculer des probabilités

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Vocabulaire

  • Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.
  • Tous les résultats possibles d’une expérience sont appelés issues.
  • Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) de l’expérience :
  • un événement élémentaire est réalisé par une seule issue ;
  • un événement certain est réalisé par toutes les issues : il est sûr de se produire ;
  • un événement impossible n’est réalisé par aucune issue : il n’a aucune chance de se produire.
  • Deux événements sont contraires si chacun d’entre eux est sûr de se réaliser lorsque l’autre ne se réalise pas.
  • Si on appelle un des deux événements « Événement AA », son événement contraire s’appellera « Événement non AA ».
  • Deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Calcul de probabilités

  • La probabilité d’un événement désigne la proportion de chance que cet événement se produise. Elle s’exprime sous forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
  • Soit AA un événement d’une expérience. On note p(A)p(A) la probabilité que l’événement se réalise.
  • La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 00 et 11.
  • La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience est égale à 11.
  • La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des issues favorables à cet évènement.
  • La probabilité d'un événement impossible est égale à 00.
  • La probabilité d'un événement certain est égale à 11.
  • Lorsque deux événements sont incompatibles :
  • la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité ;
  • la probabilité pour que l’un et l’autre se réalisent est nulle.
  • Soient AA et BB deux événements incompatibles :

p(A ou B)=p(A)+p(B)p(A \text{ ou } B) = p(A) + p(B) p(A et B)=0p(A \text{ et } B) = 0

  • La somme des probabilités d'un évènement et de son contraire est égale à 11 : p(A)+p(non A)=1p(A) + p(\text{non } A) = 1
  • Lors d’une expérience aléatoire, si chaque événement élémentaire a la même chance de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.
  • Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est le quotient du nombre d’issues favorables à l’événement par le nombre d’issues possibles.
    Soit AA un événement d’une expérience à situation d’équiprobabilité, alors :

p(A)=nombre d’issues favorables aˋ Anombre d’issues possiblesp(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}

  • Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une fréquence théorique appelée probabilité.

Représentation en arbre de probabilités pondéré

  • L’arbre de probabilités pondéré d’une expérience aléatoire indique chacune des issues de l’expérience en spécifiant sur chaque branche la probabilité correspondante.
  • La probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites sur les branches conduisant aux issues favorables à cet événement.

Expérience aléatoire à deux épreuves

  • Sur un arbre pondéré d’une expérience aléatoire, une succession de branches s’appelle un chemin.
  • Sur un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin.