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Marianne

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Calculer des probabilités

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Introduction :

Les probabilités permettent de prévoir à l’avance les chances qu’un événement a de se produire au cours d’une expérience. L’objectif de ce cours est d’apprendre à calculer ces probabilités.

Nous ferons d’abord le point sur le vocabulaire à connaître. Nous apprendrons ensuite à calculer des probabilités en énumérant et illustrant les nombreuses propriétés de calcul. Enfin, après un rappel sur la construction d’un arbre pondéré, nous nous intéresserons au cas d’une expérience à deux épreuves.

Vocabulaire

Prenons pour exemple une expérience concrète.

Expérience 1

On lance un dé à 66 faces (non truqué) et on regarde le résultat obtenu.

  • Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.
  • Ici, on sait qu’il y a 66 résultats différents possibles, mais on ne sait pas lequel va se réaliser. Le résultat sera dû au hasard.
  • Tous les résultats possibles d’une expérience sont appelés issues.
  • Ici, il y a 66 issues : 11, 22, 33, 44, 55 et 66.
  • Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) de l’expérience.
  • Un événement élémentaire est réalisé par une seule issue.
  • L’événement « le nombre obtenu est 44 » n’est réalisé que par l’issue 44. C’est donc un événement élémentaire.
  • L’événement « le nombre obtenu est impair » est réalisé par les issues 11, 33 et 55. Ce n’est donc pas un événement élémentaire.
  • Un événement certain est réalisé par toutes les issues ; il est sûr de se produire.
  • L’événement « le nombre obtenu est un nombre entier » est un événement certain.
  • Un événement impossible n’est réalisé par aucune issue ; il n’a aucune chance de se produire.
  • L’événement « le nombre obtenu est 99 » est un événement impossible.
  • Deux événements sont contraires si chacun d’entre eux est sûr de se réaliser lorsque l’autre ne se réalise pas.
  • « Le nombre obtenu est pair » et « le nombre obtenu est impair » sont deux événements contraires.
  • « Le nombre obtenu est 11 » est l’événement contraire de « le nombre obtenu n’est pas 11 ».
  • Si on appelle un des deux événements « Événement AA », son événement contraire s’appellera « Événement non AA ».
  • Deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire en même temps.
  • « Le nombre obtenu est 44 » et « le nombre obtenu est un nombre premier » sont deux événements incompatibles (sans être contraires).

Calcul de probabilités

Rappels sur la notion de probabilité

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Définition

Probabilité d’un événement :

La probabilité d’un événement désigne la proportion de chance que cet événement se produise. Elle s’exprime sous forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.

Soit AA un événement d’une expérience. On note p(A)p(A) la probabilité que l’événement se réalise.

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Exemple

Dire que la probabilité d’un événement est de 0,250,25 signifie que cet événement à 25 %25\ \% de chance, soit 11 chance sur 44, de se produire.

Reprenons l’expérience du dé.

Soit l’événement AA «  j’obtiens un nombre pair ».

Il y a 33 chances sur 66 d’obtenir un nombre pair.

La probabilité de l’événement AA est donc : p(A)=36=12p(A) = \dfrac 36 =\dfrac12 Soit 0,50,5 ou 50 %50\ \%.

Propriétés de calculs

Un grand nombre de propriétés permettent de calculer des probabilités.

Pour illustrer chacune d’elles, nous travaillerons ici sur une deuxième expérience.

Expérience 2

On tire une boule d’une urne contenant 77 boules : 44 rouges, 22 vertes et 11 bleue et on regarde la couleur de la boule obtenue.

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Propriété

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 00 et 11.

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Exemple

Les 33 issues possibles ici sont « rouge », « vert » et « bleu ».

Il y a :

  • 44 chances sur 77 de tirer une boule rouge, donc p(rouge)=47p(\red{\text{rouge}}) = \dfrac47 ;
  • 22 chances sur 77 de tirer une boule verte donc p(vert)=27p(\green{\text{vert}}) = \dfrac27 ;
  • 11 chances sur 77 de tirer une boule bleue donc p(bleu)=17p(\blue{\text{bleu}}) = \dfrac 17.
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Propriété

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience est égale à 11.

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Exemple

p(rouge)+p(vert)+p(bleu)=47+27+17=77=1p(\red{\text{rouge}}) + p(\green{\text{vert}}) + p(\blue{\text{bleu}}) = \dfrac 47 + \dfrac 27 + \dfrac 17 = \dfrac 77 = 1

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Propriété

La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des issues favorables à cet évènement.

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Exemple

La probabilité de l’événement BB « je tire une boule rouge ou bleue » est : p(B)=p(rouge)+p(bleu)=47+17=57p(B) = p(\red{\text{rouge}}) + p(\blue{\text{bleu}}) = \dfrac47 + \dfrac17 = \dfrac57

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Propriété

La probabilité d'un évènement impossible est égale à 00.
La probabilité d'un évènement certain est égale à 11.

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Exemple

L’événement CC « je tire une boule noire » est impossible : p(C)=0p(C) = 0 L’événement DD « je tire une boule bleue ou verte ou rouge » est certain : p(D)=1p(D) = 1

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Propriété

Lorsque deux évènements sont incompatibles :

  • la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité ;
  • la probabilité pour que l’un et l’autre se réalisent est nulle.

Soient AA et BB deux événements incompatibles :
p(A ou B)=p(A)+p(B)p(A \text{ ou } B) = p(A) + p(B) p(A et B)=0p(A \text{ et } B) = 0

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Exemple

Les événements EE « je tire une boule bleue » et FF « je tire une boule verte » sont incompatibles :

p(E ou F)=p(E)+p(F)=17+27=37p(E \text{ ou } F) = p(E) + p(F) = \dfrac 17 + \dfrac 27 =\dfrac37 p(E et F)=0p(E \text{ et } F) = 0

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Propriété

La somme des probabilités d'un évènement et de son contraire est égale à 11 : p(A)+p(non A)=1p(A) + p(\text{non } A) = 1

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Exemple

Les événements GG « je tire une boule verte ou une boule rouge » et non GG « je tire une boule bleue » sont contraires : p(G)+p(bleu)=1p(G) + p(\blue{\text{bleu}}) = 1 Donc : p(G)=1p(bleu)=117=67p(G) = 1 - p(\blue{\text{bleu}}) = 1 -\dfrac17 = \dfrac 67

Cas spécifique de l’équiprobabilité

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Définition

Équiprobabilité :

Lors d’une expérience aléatoire, si chaque événement élémentaire a la même chance de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.

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Propriété

Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est le quotient du nombre d’issues favorables à l’événement par le nombre d’issues possibles.

Soit AA un événement d’une expérience à situation d’équiprobabilité, alors :

p(A)=nombre d’issues favorables aˋ Anombre d’issues possiblesp(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}

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Exemple

  • Reprenons l’expérience 1.

Toutes les issues ont la même chance de se réaliser (11 sur 66).

  • C’est donc une situation d’équiprobabilité.

L’événement AA « j’obtiens un nombre pair » a 33 issues favorables (22, 44 et 66).
Il y a en tout 66 issues possibles (11, 22, 33, 44, 55 et 66).

Donc : p(A)=36=12p(A) =\dfrac 36 =\dfrac12

  • Reprenons maintenant l'expérience 2.

Dans cette expérience, toutes les issues n’ont pas la même chance de se réaliser.

En effet, les 33 issues possibles sont « rouge », « vert » et « bleu », et leur probabilités respectives sont :

p(rouge)=47p(\red{\text{rouge}}) =\dfrac47

p(vert)=27p(\green{\text{vert}}) =\dfrac27

p(bleu)=17p(\blue{\text{bleu}}) =\dfrac17

472717\dfrac47\neq \dfrac27\neq \dfrac17

  • Ce n’est donc pas une situation d’équiprobabilité. On ne peut pas utiliser la formule ci-dessus.

Fréquence et probabilité

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Propriété

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une fréquence théorique appelée probabilité.

Il y a des situations où la probabilité ne peut pas se déterminer de façon intuitive, par exemple « lancer une bouteille d’eau et regarder comment elle retombe ». Il y a 33 issues possibles à cette expérience : elle peut retomber sur le fond, sur le bouchon ou sur le côté.

La probabilité de ces issues ne peut pas se calculer de manière intuitive. Seule la méthode expérimentale, c'est-à-dire la répétition de l’expérience un très grand nombre de fois, nous permettra de déterminer la probabilité de chaque issue en calculant sa fréquence de réalisation.

Avant de passer à l’étude d’une expérience aléatoire, rappelons ce qu’est un arbre de probabilités pondéré et quelle est son utilité.

Représentation en arbre de probabilités pondéré

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Définition

Arbre de probabilités pondéré :

L’arbre de probabilités pondéré d’une expérience aléatoire indique chacune des issues de l’expérience en spécifiant sur chaque branche la probabilité correspondante.

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Propriété

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites sur les branches conduisant aux issues favorables à cet événement.

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Exemple

  • Expérience 1

L’événement AA « j’obtiens un nombre pair » est réalisé par les issues 22, 44 et 66 : p(A)=16+16+16=36=12p(A) =\dfrac16 + \dfrac16 + \dfrac16 = \dfrac36 = \dfrac12

  • Expérience 2

L’événement BB « je tire une boule rouge ou bleue » est réalisé par les issues « rouge » et « bleu ». Donc : p(B)=47+17=57p(B) =\dfrac47 + \dfrac17 = \dfrac57

Expérience aléatoire à deux épreuves

Considérons maintenant une troisième expérience composée de deux épreuves.

Expérience 3

La première épreuve consiste à réaliser l’expérience 1 et la deuxième consiste à réaliser l’expérience 2.

Méthodologie

  • Recherche de toutes les issues possibles.
  • Construire l’arbre pondéré de la première épreuve.
  • À chaque extrémité (chaque issue) de l’arbre pondéré de la première épreuve, construire l’arbre pondéré de la deuxième épreuve.
  • Calcul des probabilités pour chaque issue de l’expérience à l’aide de la propriété ci-dessous.
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Propriété

Sur un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin.

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Définition

Chemin :

Sur un arbre pondéré d’une expérience aléatoire, une succession de branches s’appelle un chemin.

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Exemple

calculer des probabilités mathématiques troisième

  • Il y a 1818 issues possibles (6×3)(6\times 3).
  • En utilisant la propriété de l’arbre pondéré, on peut également déterminer la probabilité d’un événement en faisant la somme des probabilités des issues qui lui sont favorables.

Ainsi :

p(vert)=p(1 ;vert)+p(2 ;vert)+p(3 ;vert)+p(4 ;vert)+p(5 ;vert)+p(6 ;vert)=6×121=621\small \begin {aligned}p(\green{\text{vert}}) &= p(1\ ; \green{\text{vert}}) + p(2\ ; \green{\text{vert}}) + p(3\ ; \green{\text{vert}}) + p(4\ ; \green{\text{vert}}) + p(5\ ; \green{\text{vert}}) + p(6\ ; \green{\text{vert}})\&= 6 \times \dfrac{1}{21}\&= \dfrac{6}{21}\end{aligned}

On peut également vérifier la propriété concernant la somme des probabilités de toutes les issues possibles :

6×(221+121+142)=6×(2×2+1×2+1)42=6×742=16 \times (\dfrac {2}{21} + \dfrac{1}{21} + \dfrac{1}{42}) = 6 \times \dfrac{(2 \times 2 + 1 \times 2 + 1)}{42} = 6 \times \dfrac{7}{42} = 1

  • La somme des probabilités de toutes les issues possibles est bien égale à 11.