Cours Calculer et convertir des aires
Introduction :
L’objectif de ce cours est de revoir la notion d’aire d’une figure géométrique, de donner les formules des aires d’un carré et d’un rectangle, et d’effectuer des conversions entre certaines unités d’aires.
Dans ce cours, nous verrons dans un premier temps la définition de l’aire d’une figure et nous donnerons les formules des aires d’un carré et d’un rectangle et, dans un deuxième temps, nous effectuerons quelques conversions entre certaines unités d’aires.
Définition de l’aire d’une figure
Définition de l’aire d’une figure
Définition
Définition
Définition
Aire :
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface. Une fois une unité d’aire donnée, l’aire de cette figure est le nombre de fois que l’on trouve cette unité d’aire à l’intérieur de la figure.
L’aire peut être exprimée en nombre de carreaux ou plus généralement à partir des unités de longueur habituelles (${\mathrm{cm}}^2$, ${\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{km}}^2$, etc.).
Exemple de calcul d’aire à l’aide d’un pavage
Exemple de calcul d’aire à l’aide d’un pavage
L’aire de cette figure est de $9$ unités d’aire (ou carreaux).
Attention
Pour calculer une aire, il faut que les longueurs aient toutes la même unité et l’unité d’aire obtenue est cette même unité de longueur exprimée « au carré » : des centimètres ($\mathrm{cm}$) donneront des ${\mathrm{cm}}^2$, des mètres ($\mathrm{m}$) des ${\mathrm{m}}^2$, etc.
Il ne faut pas confondre le périmètre et l’aire d’une figure. Ces deux grandeurs ne sont pas liées l’une à l’autre : une figure peut avoir un périmètre plus grand qu’une autre figure, mais une aire plus petite.
Formules de l’aire des figures usuelles
Formules de l’aire des figures usuelles
Carré
Carré
À retenir
L’aire d’un carré est égale au produit de son côté par son côté : « Aire = côté × côté ».
L’aire d’un carré de côté $c$ est :
$$A = c \times c = c^2$$
Exemple
- Un jardin potager de forme carrée de côté $12~\mathrm{m}$ a pour aire :
$$A = 12\times 12 = 144\text{ m}^2$$
- Dans un collège, une cour de récréation de forme carrée de côté $45~\mathrm{m}$ a pour aire :
$$A = 45\times 45 = 2\ 025\text{ m}^2$$
Rectangle
Rectangle
À retenir
L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur : « Aire = longueur × largeur ».
L’aire d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est :
$$A = L \times l$$
Exemple
- Un terrain rectangulaire de longueur $110~\mathrm{m}$ et de largeur $30~\mathrm{m}$ a pour aire :
$$A = 30\times 110 = 3\ 300\text{ m}^2$$
- Une maison qui a la forme d’un rectangle de longueur $13~\mathrm{m}$ et de largeur $5~\mathrm{m}$ a pour aire (surface au sol) :
$$A = 5\times 13 = 65\text{ m}^2$$
Unités d’aires et conversion
Unités d’aires et conversion
Unités d’aires
Unités d’aires
Les unités d’aires les plus courantes sont le kilomètre carré (${\mathrm{km}}^2$), le mètre carré (${\mathrm{m}}^2$), le centimètre carré (${\mathrm{cm}}^2$) et l’hectare ($1\text{ ha} = 1\text{ hm}^2 = 10\ 000\text{ m}^2$), mais on peut aussi utiliser d’autres unités, multiples ou sous multiples de ces unités.
À retenir
$1\text{ m}^2$ correspond à l’aire d’un carré de $1\text{ m}$ de côté.
Pour convertir une aire d’une unité à la suivante, il faut multiplier ou diviser par $100$ la valeur numérique.
REMARQUES
- $1~{\mathrm{mm}}^2$ correspond à l’aire d’un carré de 1 mm de côté.
- $1~{\mathrm{km}}^2$ correspond à l’aire d’un carré de 1 km de côté.
Exemples de conversion d’aires
Exemples de conversion d’aires
Convertissons $15~{\mathrm{m}}^2$ en ${\mathrm{dm}}^2$.
- On sait que $1~{\mathrm{m}}^2 = 100~{\mathrm{dm}}^2$.
- On a donc $15~{\mathrm{m}}^2 = 15\times 100~{\mathrm{dm}}^2 = 1~500~{\mathrm{dm}}^2 $.
- En passant d’une unité d’aire à la suivante plus petite, on a multiplié par 100 la valeur numérique.
Convertissons $7,6~{\mathrm{m}}^2$ en ${\mathrm{dm}}^2$.
- On sait que $1~{\mathrm{m}}^2 = 100~{\mathrm{dm}}^2$.
- On a donc $7,6~{\mathrm{m}}^2 = 7,6\times 100~{\mathrm{dm}}^2 = 760~{\mathrm{dm}}^2 $.
- En passant d’une unité d’aire à la suivante plus petite, on a multiplié par 100 la valeur numérique.
Convertissons $2~800~{\mathrm{cm}}^2$ en ${\mathrm{dm}}^2$.
- On sait que $1~{\mathrm{dm}}^2 = 100~{\mathrm{cm}}^2$, donc que $1~{\mathrm{cm}}^2 = \frac{1}{100}~{\mathrm{dm}}^2 = 0,01~{\mathrm{dm}}^2$.
- On a donc $2~800~{\mathrm{cm}}^2 = 2~800\times 0,01~{\mathrm{dm}}^2 = 28~{\mathrm{dm}}^2 $.
- En passant d’une unité d’aire à la suivante plus grande, on a divisé par 100 la valeur numérique.
Convertissons $490~{\mathrm{cm}}^2$ en ${\mathrm{dm}}^2$.
- On sait que $1~{\mathrm{dm}}^2 = 100~{\mathrm{cm}}^2$, donc que $1~{\mathrm{cm}}^2 = \frac{1}{100}~{\mathrm{dm}}^2 = 0,01~{\mathrm{dm}}^2$.
- On a donc $490~{\mathrm{cm}}^2 = 490\times 0,01~{\mathrm{dm}}^2 = 4,9~{\mathrm{dm}}^2 $.
- En passant d’une unité d’aire à la suivante plus grande, on a divisé par 100 la valeur numérique.
REMARQUE
Pour convertir des aires, on passe donc d’une unité d’aire à la suivante en multipliant ou en divisant par 100 la valeur numérique.
On peut utiliser un tableau de conversions où chaque unité d’aires est composée de deux cases pour matérialiser la centaine ou le centième.
Convertissons les aires $6~300\text{ cm}^2$ et $7,8\text{ hm}^2$ dans d’autres unités, en commençant par placer ces aires dans un tableau.
| $\text{km}^2$ | $\text{hm}^2$ | $\text{dam}^2$ | $\text{m}^2$ | $\text{dm}^2$ | $\text{cm}^2$ | $\text{mm}^2$ | |||||||
| $\text{ha}$ | $\text{a}$ | $\text{ca}$ | |||||||||||
On obtient, par exemple :
- $6~300\text{ cm}^2 = 630~000\text{ mm}^2 = 0,63\text{ m}^2$
- $7,8\text{ hm}^2 = 78~000\text{ m}^2 = 0,078\text{ km}^2$
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons revu la notion d’aire d’une figure, qui est la mesure de la surface à l’intérieur de son contour. Nous avons ensuite revu les formules à connaître donnant directement l’aire d’un carré et d’un rectangle, et nous avons effectué quelques conversions d’aires.