Cours : Calculer et convertir des aires : rectangle, carré, triangle et cercle

Calculer et convertir des aires : rectangle, carré, triangle et cercle

Introduction :

L’objectif de ce cours est de revoir la notion d’aire d’une figure géométrique, de donner les formules des aires des figures usuelles et d’effectuer des conversions entre les différentes unités d’aires.

Dans ce cours, nous verrons dans un premier temps la définition de l’aire d’une figure et nous donnerons les formules de l’aire des principales figures géométriques connues (rectangle, carré, triangle et cercle). Dans un deuxième temps, nous effectuerons des conversions entre les unités d’aires et, dans un troisième temps, nous résoudrons des exercices où il s’agit de calculer des aires de figures plus complexes.

Définition de l’aire d’une figure

Définition

Aire :

L’aire d’une figure est la mesure de sa surface. Une fois une unité d’aire donnée, l’aire de cette figure est le nombre de fois que l’on trouve cette unité d’aire à l’intérieur de la figure.

L’aire peut être exprimée en nombre de carreaux ou plus généralement à partir des unités de longueur habituelles (${\mathrm{cm}}^2$, ${\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{km}}^2$, etc.).

Exemple de calcul d’aire à l’aide d’un pavage

$calculer et convertir des aires mathématiques sixième$

L’aire de cette figure est de $9$ unités d’aire (ou carreaux).

Attention

Pour calculer une aire, il faut que les longueurs aient toutes la même unité et l’unité d’aire obtenue est cette même unité de longueur exprimée « au carré » : des centimètres ($\mathrm{cm}$) donneront des ${\mathrm{cm}}^2$, des mètres ($\mathrm{m}$) des ${\mathrm{m}}^2$, etc.

Il ne faut pas confondre le périmètre et l’aire d’une figure. Ces deux grandeurs ne sont pas liées l’une à l’autre : une figure peut avoir un périmètre plus grand qu’une autre figure, mais une aire plus petite.

Formules de l’aire des figures usuelles

Rectangle

À retenir

L’aire d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est :
$$A = L \times l$$

$calculer des périmètres mathématiques sixième$

Exemple

Un terrain rectangulaire de longueur $110~\mathrm{m}$ et de largeur $30~\mathrm{m}$ a pour aire :

$$A = 30\times 110 = 3\ 300\text{ m}^2$$

Une maison qui a la forme d’un rectangle de longueur $13~\mathrm{m}$ et de largeur $5~\mathrm{m}$ a pour aire (surface au sol) :

$$A = 5\times 13 = 65\text{ m}^2$$

Carré

À retenir

L’aire d’un carré de côté $c$ est :
$$A = c \times c = c^2$$

$calculer des périmètres mathématiques sixième$

Exemple

Un jardin potager de forme carrée de côté $12~\mathrm{m}$ a pour aire :

$$A = 12\times 12 = 144\text{ m}^2$$

Dans un collège, une cour de récréation de forme carrée de côté $45~\mathrm{m}$ a pour aire :

$$A = 45\times 45 = 2\ 025\text{ m}^2$$

Triangle

À retenir

L’aire d’un triangle de base $b$ et de hauteur associée $h$ est :
$$A = \frac{b\times h}{2}$$

$aire d’un triangle mathématiques sixième$

Si le triangle est rectangle, l’aire de ce triangle est égale à la moitié du produit des longueurs des côtés adjacents à l’angle droit : l’un sera la base et l’autre sa hauteur associée.

Sur la figure ci-dessus, l’aire du triangle $HED$ rectangle en $H$ est :
$$A = \frac{\mathrm{EH} \times \mathrm{DH}}{2}$$

Astuce

Comme on peut le voir ci-dessous, un triangle rectangle représente la moitié d'un rectangle reconstitué. Son aire est donc égale à la moitié de celle du rectangle reconstitué.

$aire d’un triangle mathématiques sixième$

L'aire du triangle $BCD$ rectangle en $C$ est égale à la moitié de l'aire du rectangle $BCDE$.
On a donc : $$\begin{aligned}A&=\dfrac{\text{Longueur de }BCDE \times \text{largueur de }BCDE} {2}\\ A&=\dfrac{CD\times BC}{2}\end{aligned}$$

Exemple

Un triangle de base $4\text{ m}$ et de hauteur $3\text{ m}$ a pour aire :

$$A = \frac{4\times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ m}^2$$

Disque

À retenir

L’aire d’un disque de rayon $r$ est :

$A = \pi r^2$ (avec $\pi \approx 3,14$)

$aire d'un cercle mathématiques sixième$

Exemple

Dans les exemples suivants, on arrondira $\pi$ à $3,14$.

Une pizzeria fabrique deux pizzas rondes de rayons $13\text{ cm}$ et $17\text{ cm}$. L’aire de chacune de ces deux pizzas est :

$$A_1 = \pi \times 13^2 = 169\pi \approx 530,66\text{ cm}^2$$

$$A_2 = \pi \times 17^2 = 289\pi \approx 907,46 \text{ cm}^2$$

Une piscine ronde de rayon $2,5\text{ m}$ a pour aire (au sol) :

$$A = \pi \times 2,5^2 = 6,25\pi \approx 19,625 \text{ m}^2$$

Unités d’aires et conversion

Unités d’aires

Les unités d’aires les plus courantes sont le kilomètre carré (${\mathrm{km}}^2$), le mètre carré (${\mathrm{m}}^2$) et l’hectare ($1\text{ ha} = 1\text{ hm}^2 = 10\ 000\text{ m}^2$), mais on peut aussi utiliser d’autres unités, multiples ou sous multiples de ces unités.

À retenir

$1\text{ m}^2$ correspond à l’aire d’un carré de $1\text{ m}$ de côté.
Pour convertir une aire d’une unité à la suivante, il faut multiplier ou diviser par $100$ la valeur numérique.

Conversion d’aires

Pour convertir des aires d’une unité à une autre, on peut utiliser un tableau de conversion. Convertissons les aires $6~300\text{ cm}^2$ et $7,8\text{ hm}^2$ dans d’autres unités, en commençant par placer ces aires dans un tableau.

$\text{km}^2$

$\text{hm}^2$

$\text{dam}^2$

$\text{m}^2$

$\text{dm}^2$

$\text{cm}^2$

$\text{mm}^2$

$\text{ha}$

$\text{a}$

$\text{ca}$

$\green 0$

$6$

$3$

$0$

$\green 0$

$7\red ,$

$8$

$\green 0$

On obtient, par exemple :

$6~300\text{ cm}^2 = 630~000\text{ mm}^2 = 0,63\text{ m}^2$
$7,8\text{ hm}^2 = 78~000\text{ m}^2 = 0,078\text{ km}^2$

Aire d’une figure complexe

Exemple

Le parcours du cross d’un collège est schématisé par la figure ci-dessous. La surface à l’intérieur du parcours doit être tondue avant le cross.

Quelle est l’aire de la surface à tondre ?

$calculer et convertir des aires mathématiques sixième$

L’aire de la surface à tondre est la somme de l’aire du rectangle $ABCF$ et du triangle $DEF$ rectangle en $F$.

Le rectangle $ABCF$ a pour aire :
$A_{ABCF} = \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} = 155\times 90 = 13~950 \text{ m}^2$

Le triangle $DEF$ rectangle en $F$ a pour base :
$FD = FC - CD = AB - CD = 155 - 25 = 130\text{ m}$
Et pour hauteur associée :
$FE = AE - AF = AE - BC = 234 - 90 = 144\text{ m}$

Son aire est donc :
$A_{DEF} = \frac{130\times 144}{2} = \frac{18~720}{2}=9~360~\mathrm{m}^2$

Finalement, l’aire de la surface à tondre est : $A = A_{ABCF} + A_{DEF} = 13~950 + 9~360 = 23~310\text{ m}^2 = 2,331\ \mathrm{ha}$.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons revu la notion d’aire d’une figure, l’aire d’une figure étant la mesure de la surface à l’intérieur de son contour. Nous avons ensuite revu les formules à connaître donnant directement l’aire des principales figures géométriques connues (rectangle, carré, triangle et cercle) et nous avons effectué des conversions entre les différentes unités d’aires.