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Calculer et convertir des longueurs, des masses et des durées

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Introduction :

L’objectif de ce cours est de travailler sur les principales grandeurs que nous rencontrons dans la vie courante, qui servent à mesurer les longueurs, les poids et le temps. Nous allons donc revoir les principales unités de chacune de ces grandeurs puis convertir des valeurs d’une unité à une autre.

Dans ce cours, nous allons dans un premier temps travailler sur les longueurs puis dans un deuxième temps sur les masses, et enfin sur les durées et horaires.

Longueurs

Rappel

Les principales unités de longueur sont le kilomètre (km\text{km}), le mètre (m\text{m}) et le centimètre (cm\text{cm}).

Il en existe d’autres qui servent à mesure l’infiniment petit (par exemple le micromètre avec 1 μm=0,001 mm1\ \mu \text{m} = 0,001 \text{ mm} et le nanomètre avec 1 nm=0,000001 mm1\text{ nm} = 0,000 001\text{ mm}) ou l’infiniment grand (par exemple l’année-lumière qui est proche de 10 00010\ 000 milliards de kilomètres).

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Exemple

Une abeille mesure 1,5 cm1,5\text{ cm}.
Un but de handball mesure 2 m2\text{ m} de hauteur.
La distance entre Toulouse et Paris est d’environ 680 km680\text{ km}.

Conversions

Pour convertir des longueurs d’une unité à une autre, on peut utiliser un tableau de conversion. Convertissons les longueurs 50,8 m50,8\text{ m} et 6,410 km6,410\text{ km} dans d’autres unités, en commençant par placer ces longueurs dans un tableau.

On peut rajouter des zéros puis placer la virgule dans la colonne de l’unité dans laquelle on souhaite effectuer la conversion.

km\text{km} hm\text{hm} dam\text{dam} m\text{m} dm\text{dm} cm\text{cm} mm\text{mm}
0\green 0 0\green 0 55 0,0\red , 88 0\green 0 0\green 0
6,6\red , 44 11 00 0\green 0 0\green 0 0\green 0

On obtient, par exemple :

  • 50,8 m=508 dm=50 800 mm=0,0508 km50,8\text{ m} = 508\text{ dm} = 50\ 800\text{ mm} = 0,0508\text{ km}
  • 6,410 km=6 410 m=641 000 cm6,410\text{ km} = 6\ 410\text{ m} = 641\ 000\text{ cm}
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Astuce

Dans certains cas simples, on peut effectuer la conversion de tête en utilisant la proportionnalité :
1 km=1 000 m1\text{ km} = 1\ 000\text{ m} donc 3 000 m=3 km3\ 000\text{ m} = 3\text{ km}.

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Exemple

Une abeille qui mesure 1,5 cm1,5\text{ cm} mesure aussi 15 mm15\text{ mm}.
Un but de handball qui mesure 2 m2\text{ m} de hauteur mesure aussi 200 cm200\text{ cm} de hauteur.
Un terrain de handball qui mesure 40 m40\text{ m} de long mesure aussi 4 dam4\text{ dam} de long.

Masses

Rappel

Les principales unités de masse sont le kilogramme (kg\text{kg}), le gramme (g\text{g}), le milligramme (mg\text{mg}) et la tonne (1 t=1 000 kg1\text{ t} = 1\ 000\text{ kg}).

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Exemple

Il faut 250 g250\text{ g} de farine pour faire de la pâte à crêpes.
Le poids du cartable d’un élève de 6e est de 8 kg8\text{ kg}.
Un médicament peut contenir 5 mg5\text{ mg} de substance active.
Une voiture qui tracte un petit voilier peut représenter une masse de 1,2 t1,2\text{ t}.

Conversion

Procédons comme pour les longueurs pour convertir les masses 72 kg72\text{ kg}, 850 mg850\text{ mg} et 3,64 t3,64\text{ t} dans d’autres unités, en commençant par placer ces masses dans un tableau.

On peut rajouter des zéros puis placer la virgule dans la colonne de l’unité dans laquelle on souhaite effectuer la conversion.

t\text t kg\text{kg} hg\text{hg} dag\text{dag} g\text{g} dg\text{dg} cg\text{cg} mg\text{mg}
77 2,2\red , 0\green 0 0\green 0 0\green 0 0\green 0 0\green 0
0\green 0 88 55 00
3,3\red , 66 44 0\green 0 0\green 0 0\green 0 0\green 0

On obtient, par exemple :

  • 72 kg=72 000 g=7 200 000 cg72\text{ kg} = 72\ 000\text{ g} = 7\ 200\ 000\text{ cg}
  • 850 mg=0,850 g=8,50 dg850\text{ mg} = 0,850\text{ g} = 8,50\text{ dg}
  • 3,64 t=3 640 kg=3 640 000 g3,64\text{ t} = 3\ 640\text{ kg} = 3\ 640\ 000\text{ g}
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Astuce

Dans certains cas simples, on peut effectuer la conversion de tête en utilisant la proportionnalité :
1 kg=1 000 g1\text{ kg} = 1\ 000\text{ g} donc 750 g=750÷1 000 kg=0,750 kg750\text{ g} = 750 \div 1\ 000\text{ kg} = 0,750\text{ kg}.

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Exemple

Les 250 g250\text{ g} de farine utilisés pour faire de la pâte à crêpes pèsent aussi 0,250 kg0,250\text{ kg}.
Le cartable d’un élève qui pèse 8 kg8\text{ kg} pèse aussi 8 000 g8\ 000\text{ g}.
5 mg5\text{ mg} de substance active dans un médicament pèsent aussi 0,005 g0,005\text{ g}.

Durées

Rappel

Les unités de temps sur lesquelles nous allons travailler ici sont les heures (h\text{h}), les minutes (min\text{min}) et les secondes (s\text{s}).

bannière à retenir

À retenir

1 h=60 min1\text{ h} = 60\text{ min}
1 min=60 s1\text{ min} = 60\text{ s}
1 h=60×60 s=3 600 s1\text{ h}= 60\times 60\text{ s} = 3\ 600\text{ s}

Des durées plus longues peuvent s’exprimer en jours, années ou siècles, et des durées plus courtes en millisecondes (1 ms=0,001 s1\text{ ms} = 0,001\text{ s}) ou microsecondes (1 μm=0,000 001 s1\ \mu \text{m} = 0,000\ 001\text{ s}).

Calcul de durées

Si nous connaissons l’horaire de début et l’horaire de fin d’un évènement, nous pouvons calculer la durée de cet évènement.

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Exemple

Un match de football de la coupe du monde 2018 qui a été gagné aux prolongations a été retransmis de 16 h 5016\text{ h }50 à 19 h 3619\text{ h }36.

Cherchons la durée de cette retransmission.

36<5036 < 50
Nous allons donc tout d’abord transformer l’horaire 19 h 36 min19\text{ h }36\text{ min}.
19 h 36 min=18 h 96 min19\text{ h }36\text{ min}= 18\text{ h }96\text{ min} car 96 min=1 h 36 min96\text{ min} = 1\text{ h }36\text{ min}.

96>5096 > 50
Nous pouvons maintenant calculer plus facilement la durée de cet évènement qui est la différence entre son horaire de fin et son horaire de début.
19 h 36 min16 h 50 min=18 h 96 min16 h 50 min=2 h 46 min19\text{ h }36\text{ min} - 16\text{ h }50\text{ min} = 18\text{ h }96\text{ min} - 16\text{ h }50\text{ min} = 2\text{ h }46\text{ min}

  • La retransmission de ce match a donc duré 2 h 46 min2\text{ h }46\text{ min}.

Calcul d’horaires

Si nous connaissons l’horaire de début d’un évènement et sa durée, nous pouvons calculer l’horaire de fin de cet évènement.
De même, si nous connaissons la durée d’un évènement et son horaire de fin, nous pouvons calculer l’horaire du début de cet évènement.

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Exemple

Un match de football de la coupe du monde 2018 a commencé à 16 h 0616\text{ h }06 et a duré 1 h 57 min1\text{ h }57\text{ min} (en comptant les temps additionnels et la mi-temps).

Calculons l’heure du coup de sifflet final à l’aide d’une addition.

16 h 06 min+1 h 57 min=17 h 63 min=18 h 03 min16\text{ h }06\text{ min} + 1\text{ h }57\text{ min} = 17\text{ h }63\text{ min} = 18\text{ h }03\text{ min} car 63 min=1 h 03 min63\text{ min} = 1\text{ h }03\text{ min}.

  • Le coup de sifflet final a donc eu lieu à 18 h 03 min18\text{ h }03\text{ min}.

La retransmission d’un match de football de la coupe du monde 2018 qui a été gagné aux pénaltys a duré 3 h 25 min3\text{ h }25\text{ min} et s’est terminée à 23 h 12 min23\text{ h }12\text{ min}.

Calculons l’heure du début de la retransmission à l’aide d’une soustraction.

12<2512 < 25
Nous allons donc tout d’abord transformer l’horaire 23 h 12 min23\text{ h }12\text{ min}.
23 h 12 min=22 h 72 min23\text{ h }12\text{ min} = 22\text{ h }72\text{ min} car 72 min=1 h 12 min72\text{ min} = 1\text{ h }12\text{ min}.

72>2572 > 25
Nous pouvons maintenant calculer plus facilement l’horaire de début de cette retransmission qui est la différence entre son horaire de fin et sa durée.
23 h 12 min3 h 25 min=22 h 72 min3 h 25 min=19 h 47 min23\text{ h }12\text{ min} - 3\text{ h }25\text{ min} = 22\text{ h }72\text{ min} - 3\text{ h }25\text{ min} = 19\text{ h }47\text{ min}

  • La retransmission de ce match a donc débuté à 19 h 4719\text{ h }47.

Conversion de durées

Certaines durées sont exprimées en heures et minutes (ou heures, minutes et secondes) et nous pouvons avoir besoin de les exprimer en minutes ou secondes.

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Exemple

  • 2 h 46 min=2×60 min+46 min=120 min+46 min=166 min\footnotesize 2\text{ h }46\text{ min} = 2\times 60\text{ min} + 46\text{ min} = 120\text{ min} + 46\text{ min} = 166\text{ min}
  • 3 h 21 min 45 s=3×60×60 s+21×60 s+45 s=10 800 s+1 260 s+45 s=12 105 s\footnotesize 3\text{ h }21\text{ min }45\text{ s} = 3\times 60\times 60\text{ s} + 21 \times 60\text{ s} + 45\text{ s} = 10\ 800\text{ s} + 1\ 260\text{ s} + 45\text{ s} = 12\ 105\text{ s}

Inversement, certaines durées sont exprimées en minutes ou secondes et nous pouvons avoir besoin de les exprimer en heures et minutes (ou en heures, minutes et secondes).

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Exemple

  • Convertissons 495 min495\text{ min} en heures et minutes.

La division euclidienne de 495495 par 6060 donne l’égalité suivante : 495=8×60+15495 = 8\times 60 + 15 avec 15<6015 < 60.

  • Nous avons donc 495 min=8×60+15 min=8 h 15 min495\text{ min} = 8\times 60 + 15\text{ min} = 8\text{ h }15\text{ min} car 1 h=60 min1\text{ h} = 60\text{ min}.
  • Convertissons 9 500 s9\ 500\text{ s} en heures, minutes et secondes.

La division euclidienne de 9 5009\ 500 par 6060 donne l’égalité 9 500=158×60+209\ 500 = 158\times 60 + 20 avec 20<6020 < 60.
Nous avons donc 9 500 s=158×60+20 s=158 min 20 s9\ 500\text{ s} = 158\times 60 + 20\text{ s} = 158\text{ min }20\text{ s} car 1 min=60 s1\text{ min} = 60\text{ s}.

La division euclidienne de 158158 par 6060 donne l’égalité 158=2×60+38158 = 2\times 60 + 38 avec 38<6038 < 60.
Nous avons donc 158 min=2×60+38 min=2 h 38 min158\text{ min} = 2\times 60 + 38\text{ min} = 2\text{ h }38\text{ min} car 1 h=60 min1\text{ h}= 60\text{ min}.

  • Finalement, nous avons donc 9 500 s=158 min 20 s=2 h 38 min 20 s9\ 500\text{ s} = 158\text{ min }20\text{ s} = 2\text{ h }38\text{ min }20\text{ s}.

Conclusion :

Il est important de connaître les principales unités de longueur, masse et de durée, et de savoir convertir des valeurs d’une unité à une autre. Les unités de longueur seront utilisées notamment dans le cours sur les périmètres.