Calculer et convertir des longueurs, des masses et des durées : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

L’objectif de ce cours est de travailler sur les principales grandeurs que nous rencontrons dans la vie courante, qui servent à mesurer les longueurs, les poids et le temps. Nous allons donc revoir les principales unités de chacune de ces grandeurs puis convertir des valeurs d’une unité à une autre.

Dans ce cours, nous allons dans un premier temps travailler sur les longueurs puis dans un deuxième temps sur les masses, et enfin sur les durées et horaires.

Longueurs

Rappel

Les principales unités de longueur sont le kilomètre ( $\text{km}$ ), le mètre ( $\text{m}$ ) et le centimètre ( $\text{cm}$ ).

Il en existe d’autres qui servent à mesure l’infiniment petit (par exemple le micromètre avec $1\ \mu \text{m} = 0,001 \text{ mm}$ et le nanomètre avec $1\text{ nm} = 0,000 001\text{ mm}$ ) ou l’infiniment grand (par exemple l’année-lumière qui est proche de $10\ 000$ milliards de kilomètres).

Exemple

Une abeille mesure $1,5\text{ cm}$ .
Un but de handball mesure $2\text{ m}$ de hauteur.
La distance entre Toulouse et Paris est d’environ $680\text{ km}$ .

Conversions

Pour convertir des longueurs d’une unité à une autre, on peut utiliser un tableau de conversion. Convertissons les longueurs $50,8\text{ m}$ et $6,410\text{ km}$ dans d’autres unités, en commençant par placer ces longueurs dans un tableau.

On peut rajouter des zéros puis placer la virgule dans la colonne de l’unité dans laquelle on souhaite effectuer la conversion.

$\text{km}$	$\text{hm}$	$\text{dam}$	$\text{m}$	$\text{dm}$	$\text{cm}$	$\text{mm}$
$\green 0$	$\green 0$	$5$	$0\red ,$	$8$	$\green 0$	$\green 0$
$6\red ,$	$4$	$1$	$0$	$\green 0$	$\green 0$	$\green 0$

On obtient, par exemple :

$50,8\text{ m} = 508\text{ dm} = 50\ 800\text{ mm} = 0,0508\text{ km}$
$6,410\text{ km} = 6\ 410\text{ m} = 641\ 000\text{ cm}$

Astuce

Dans certains cas simples, on peut effectuer la conversion de tête en utilisant la proportionnalité :
$1\text{ km} = 1\ 000\text{ m}$ donc $3\ 000\text{ m} = 3\text{ km}$ .

Exemple

Une abeille qui mesure $1,5\text{ cm}$ mesure aussi $15\text{ mm}$ .
Un but de handball qui mesure $2\text{ m}$ de hauteur mesure aussi $200\text{ cm}$ de hauteur.
Un terrain de handball qui mesure $40\text{ m}$ de long mesure aussi $4\text{ dam}$ de long.

Masses

Rappel

Les principales unités de masse sont le kilogramme ( $\text{kg}$ ), le gramme ( $\text{g}$ ), le milligramme ( $\text{mg}$ ) et la tonne ( $1\text{ t} = 1\ 000\text{ kg}$ ).

Exemple

Il faut $250\text{ g}$ de farine pour faire de la pâte à crêpes.
Le poids du cartable d’un élève de 6^e est de $8\text{ kg}$ .
Un médicament peut contenir $5\text{ mg}$ de substance active.
Une voiture qui tracte un petit voilier peut représenter une masse de $1,2\text{ t}$ .

Conversion

Procédons comme pour les longueurs pour convertir les masses $72\text{ kg}$ , $850\text{ mg}$ et $3,64\text{ t}$ dans d’autres unités, en commençant par placer ces masses dans un tableau.

On peut rajouter des zéros puis placer la virgule dans la colonne de l’unité dans laquelle on souhaite effectuer la conversion.

$\text t$			$\text{kg}$	$\text{hg}$	$\text{dag}$	$\text{g}$	$\text{dg}$	$\text{cg}$	$\text{mg}$
		$7$	$2\red ,$	$\green 0$	$\green 0$	$\green 0$	$\green 0$	$\green 0$
						$\green 0$	$8$	$5$	$0$
$3\red ,$	$6$	$4$	$\green 0$	$\green 0$	$\green 0$	$\green 0$

On obtient, par exemple :

$72\text{ kg} = 72\ 000\text{ g} = 7\ 200\ 000\text{ cg}$
$850\text{ mg} = 0,850\text{ g} = 8,50\text{ dg}$
$3,64\text{ t} = 3\ 640\text{ kg} = 3\ 640\ 000\text{ g}$

Astuce

Dans certains cas simples, on peut effectuer la conversion de tête en utilisant la proportionnalité :
$1\text{ kg} = 1\ 000\text{ g}$ donc $750\text{ g} = 750 \div 1\ 000\text{ kg} = 0,750\text{ kg}$ .

Exemple

Les $250\text{ g}$ de farine utilisés pour faire de la pâte à crêpes pèsent aussi $0,250\text{ kg}$ .
Le cartable d’un élève qui pèse $8\text{ kg}$ pèse aussi $8\ 000\text{ g}$ .
$5\text{ mg}$ de substance active dans un médicament pèsent aussi $0,005\text{ g}$ .

Durées

Rappel

Les unités de temps sur lesquelles nous allons travailler ici sont les heures ( $\text{h}$ ), les minutes ( $\text{min}$ ) et les secondes ( $\text{s}$ ).

À retenir

$1\text{ h} = 60\text{ min}$
$1\text{ min} = 60\text{ s}$
$1\text{ h}= 60\times 60\text{ s} = 3\ 600\text{ s}$

Des durées plus longues peuvent s’exprimer en jours, années ou siècles, et des durées plus courtes en millisecondes ( $1\text{ ms} = 0,001\text{ s}$ ) ou microsecondes ( $1\ \mu \text{m} = 0,000\ 001\text{ s}$ ).

Calcul de durées

Si nous connaissons l’horaire de début et l’horaire de fin d’un évènement, nous pouvons calculer la durée de cet évènement.

Exemple

Un match de football de la coupe du monde 2018 qui a été gagné aux prolongations a été retransmis de $16\text{ h }50$ à $19\text{ h }36$ .

Cherchons la durée de cette retransmission.

$36 < 50$
Nous allons donc tout d’abord transformer l’horaire $19\text{ h }36\text{ min}$ .
$19\text{ h }36\text{ min}= 18\text{ h }96\text{ min}$ car $96\text{ min} = 1\text{ h }36\text{ min}$ .

$96 > 50$
Nous pouvons maintenant calculer plus facilement la durée de cet évènement qui est la différence entre son horaire de fin et son horaire de début.
$19\text{ h }36\text{ min} - 16\text{ h }50\text{ min} = 18\text{ h }96\text{ min} - 16\text{ h }50\text{ min} = 2\text{ h }46\text{ min}$

La retransmission de ce match a donc duré $2\text{ h }46\text{ min}$ .

Calcul d’horaires

Si nous connaissons l’horaire de début d’un évènement et sa durée, nous pouvons calculer l’horaire de fin de cet évènement.
De même, si nous connaissons la durée d’un évènement et son horaire de fin, nous pouvons calculer l’horaire du début de cet évènement.

Exemple

Un match de football de la coupe du monde 2018 a commencé à $16\text{ h }06$ et a duré $1\text{ h }57\text{ min}$ (en comptant les temps additionnels et la mi-temps).

Calculons l’heure du coup de sifflet final à l’aide d’une addition.

$16\text{ h }06\text{ min} + 1\text{ h }57\text{ min} = 17\text{ h }63\text{ min} = 18\text{ h }03\text{ min}$ car $63\text{ min} = 1\text{ h }03\text{ min}$ .

Le coup de sifflet final a donc eu lieu à $18\text{ h }03\text{ min}$ .

La retransmission d’un match de football de la coupe du monde 2018 qui a été gagné aux pénaltys a duré $3\text{ h }25\text{ min}$ et s’est terminée à $23\text{ h }12\text{ min}$ .

Calculons l’heure du début de la retransmission à l’aide d’une soustraction.

$12 < 25$
Nous allons donc tout d’abord transformer l’horaire $23\text{ h }12\text{ min}$ .
$23\text{ h }12\text{ min} = 22\text{ h }72\text{ min}$ car $72\text{ min} = 1\text{ h }12\text{ min}$ .

$72 > 25$
Nous pouvons maintenant calculer plus facilement l’horaire de début de cette retransmission qui est la différence entre son horaire de fin et sa durée.
$23\text{ h }12\text{ min} - 3\text{ h }25\text{ min} = 22\text{ h }72\text{ min} - 3\text{ h }25\text{ min} = 19\text{ h }47\text{ min}$

La retransmission de ce match a donc débuté à $19\text{ h }47$ .

Conversion de durées

Certaines durées sont exprimées en heures et minutes (ou heures, minutes et secondes) et nous pouvons avoir besoin de les exprimer en minutes ou secondes.

Exemple

$\footnotesize 2\text{ h }46\text{ min} = 2\times 60\text{ min} + 46\text{ min} = 120\text{ min} + 46\text{ min} = 166\text{ min}$
$\footnotesize 3\text{ h }21\text{ min }45\text{ s} = 3\times 60\times 60\text{ s} + 21 \times 60\text{ s} + 45\text{ s} = 10\ 800\text{ s} + 1\ 260\text{ s} + 45\text{ s} = 12\ 105\text{ s}$

Inversement, certaines durées sont exprimées en minutes ou secondes et nous pouvons avoir besoin de les exprimer en heures et minutes (ou en heures, minutes et secondes).

Exemple

Convertissons $495\text{ min}$ en heures et minutes.

La division euclidienne de $495$ par $60$ donne l’égalité suivante : $495 = 8\times 60 + 15$ avec $15 < 60$ .

Nous avons donc $495\text{ min} = 8\times 60 + 15\text{ min} = 8\text{ h }15\text{ min}$ car $1\text{ h} = 60\text{ min}$ .
Convertissons $9\ 500\text{ s}$ en heures, minutes et secondes.

La division euclidienne de $9\ 500$ par $60$ donne l’égalité $9\ 500 = 158\times 60 + 20$ avec $20 < 60$ .
Nous avons donc $9\ 500\text{ s} = 158\times 60 + 20\text{ s} = 158\text{ min }20\text{ s}$ car $1\text{ min} = 60\text{ s}$ .

La division euclidienne de $158$ par $60$ donne l’égalité $158 = 2\times 60 + 38$ avec $38 < 60$ .
Nous avons donc $158\text{ min} = 2\times 60 + 38\text{ min} = 2\text{ h }38\text{ min}$ car $1\text{ h}= 60\text{ min}$ .

Finalement, nous avons donc $9\ 500\text{ s} = 158\text{ min }20\text{ s} = 2\text{ h }38\text{ min }20\text{ s}$ .

Conclusion :

Il est important de connaître les principales unités de longueur, masse et de durée, et de savoir convertir des valeurs d’une unité à une autre. Les unités de longueur seront utilisées notamment dans le cours sur les périmètres.