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Dérivation : rappels, dérivée de uN et des fonctions composées

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Introduction :

Afin d’effectuer une étude complète de fonction en troisième partie de ce cours, nous verrons d’abord quelques rappels sur les calculs de dérivées ainsi que trois nouvelles formules de dérivées spécifiques.

Rappels de 1re sur les calculs de dérivées

Alt texte Formules de dérivées

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Exemple

Dérivons la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$ telle que $f(x)=x^4+2x+\dfrac {3}{x}$

Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$
$f'(x)=4x^3+2-\dfrac {3}{x^2}$

  • Autres formules de dérivation :
  • Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, alors la fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et $(u v)'=u'v+u v' $ ;
  • Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, avec $v(x)\neq0$ pour tout $x\in I$, alors :
  • la fonction $\dfrac {1}{v}$ est dérivable sur $I$ et $(\dfrac {1}{v})' = -\dfrac {v'}{v^2}$ ;
  • la fonction $\dfrac {u}{v}$ est dérivable sur $I$ et $(\dfrac {u}{v})' = \dfrac {u'v-uv'}{v^2}$.
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Exemple

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$par $g(x)=(2x+5)\sqrt x$

La fonction $g(x)$ est le produit de deux fonctions $2x+5$ et $\sqrt x$

  • Posons : $u(x)=2x+5 \to u'(x) =2$ et $v(x)=\sqrt x\to v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$
  • Utilisons la formule de la dérivée d’un produit : $(u v)'=u'v+u v'$

$\begin{aligned}g'(x)&=2\times \sqrt x +(2x+5)\times \dfrac {1}{2\sqrt x} \\ &=2\sqrt x + \dfrac {2x+5}{2\sqrt x}\end{aligned}$

  • Pour simplifier cette expression, nous mettons tout au même dénominateur :

$\begin{aligned}g'(x)&= \dfrac { 2\sqrt x \times 2\sqrt x }{2\sqrt x} + \dfrac {2x+5}{2\sqrt x}\\ &= \dfrac {4x+2x+5}{2\sqrt x}\\ & = \dfrac {6x+5}{2\sqrt x}\end{aligned}$

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Définition

Équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction :

$f$ est une fonction dérivable en $a$ de $I$.

La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite d’équation : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

$f'(a)$ est le coefficient directeur de cette tangente.

Trois nouvelles formules de dérivées

Fonctions de la forme $u^n$

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Définition

Dérivée de la fonction $u^n$ :

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et si, lorsque $n$ est strictement négatif, $u$ ne s’annule pas sur $I$ alors la fonction $u^n$ est dérivable sur $I$ et $(u^n)'=nu'u^{n-1}$

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Exemple

Dérivons la fontion définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =(-3x^2+4)^3$.

  • On reconnaît la forme $u^n$ avec $u(x)=-3x^2+4$ et $n=3$
  • On dérive la fonction $u$ pour pouvoir appliquer la formule $(u^n)'=nu'u^{n-1}$

On obtient : $u'(x)=-6x$;

  • Enfin, $f'(x)=3\times(-6x) \times (-3x^2+4)^{3-1}=-18x{(-3x^2+4)}^2$.

Fonctions de la forme $\sqrt u$

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Définition

Dérivée de la fonction $\sqrt u$ :

Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction $\sqrt u$ est dérivable sur $I$ et $(\sqrt u)'=\dfrac {u'}{2\sqrt u}$

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Exemple

Dérivons la fontion $f(x)= \sqrt{4+x^2}$ .

$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ car $4+x^2>0$ sur $\mathbb{R}$.

  • On reconnaît la forme $\sqrt u$ avec $u(x)= 4+x^2$;
  • On calcule la dérivée de $u$ pour pouvoir appliquer la formule $(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$

On obtient : $u'(x)=2x$

  • Enfin, $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt {4+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt {4+x^2}}$

Fonctions composées

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Définition

Dérivée de la fonction composée :

Les deux formes de fonctions précédentes sont des cas particuliers de la dérivée d’une fonction composée de forme générale $x \to f(u(x))$.

La fonction $x \to f(u(x))$ a pour dérivée la fonction $x \to u'(x) \times f'(u(x))$.

Application de la dérivation : exemple d’étude de fonction

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Astuce

Les étapes d’une étude de fonction :

  • chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé ;
  • calculer la dérivée ;
  • étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
  • calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variation.
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Exemple

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = (\dfrac {2x-1}{x+3})^3$

  • Cherchons l’ensemble de définition de $f$:
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Attention

Il s’agit d’une fonction rationnelle, le dénominateur ne doit pas s’annuler.

La valeur interdite est $x=-3$ car le dénominateur s’annule pour $x=-3$

L’ensemble de définition de la fonction est donc : $$D_f=]-\infty;-3[\:U\: ]-3;+\infty[$$

  • Calculons la dérivée de $f :$

La fonction $f$ est de la forme $u^n$ avec $u(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ et $n=3$

La fonction $u$ est de la forme $\dfrac {v}{w}$ avec $v(x) = 2x-1$ et $w(x) = x+3$

  • Calculons d’abord la dérivée de $u$ :

Pour cela calculons les dérivées de $v $ et $w$ : $v'(x) = 2$ et $w'(x)=1$ (ces deux dérivées peuvent être directement écrites dans le calcul de $u'(x)$ qui suit).

$\begin{aligned}u'(x)&=\dfrac {v'w-vw'}{w^2} \\ &=\dfrac {2(x+3)-(2x-1)1}{(x+3)^2} \\ &=\dfrac {2x+6-2x+1}{(x+3)^2} \\ &=\dfrac {7}{(x+3)^2}\end{aligned}$

  • Calculons à présent la dérivée de $f :$

$\begin{aligned} f'(x)& =n \times u'(x) \times [u(x)]^{n-1} \\ &= 3\times \dfrac {7}{(x+3)^2} \times (\dfrac {2x-1}{x+3})^2 \\ &=\dfrac {21(2x-1)^2}{(x+3)^4}\end{aligned}$

  • Étude du signe de $f'$ et des variations de $f :$

Ensuite faire un tableau de signe de la dérivée pour en déduire le tableau de variation de la fonction.
Dans cet exemple, $21(2x-1)^2$ s’annule pour $x=\dfrac 12$ et reste strictement positif sinon.
De même $(x + 3)^4 > 0$ pour tout $x$ de l’ensemble de définition.
La dérivée est donc supérieure ou égale à $0$ sur les deux intervalles de son ensemble de définition. Tu peux alors construire le tableau suivant :

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Attention

Ne pas oublier la « double barre » correspondant à la valeur interdite.

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Rappel

Lorsque la dérivée de $f$ est positive, la fonction $f$ est croissante. Lorsque la dérivée de $f$ est négative, la fonction $f$ est décroissante.

  • Calculons les limites aux bornes de l’ensemble de définition :
  • En $-\infty :$

$\lim\limits_{x \to -\infty } f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty } [\dfrac {x(2-\dfrac {1}{x})}{x(1+\dfrac {3}{x})}]^3=\lim\limits_{x \to -\infty } [\dfrac {2-\dfrac {1}{x}}{1+\dfrac {3}{x}}]^3=2^3=8$

  • En $+\infty :$

De la même façon, $\lim\limits_{x \to +\infty } f(x)=8$

  • Limite à gauche au point $3$ :

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x < -3 } 2x-1=-7\end{aligned}$ et $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x < -3 } x+3=0^-\end{aligned}$

donc $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x < -3 } \dfrac {2x-1}{ x+3}=+\infty\end{aligned}$ et $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x < -3 } f(x)=+\infty\end{aligned}$

  • Limite à droite au point $3 :$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3 } 2x-1=-7\end{aligned}$ et $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3 } x+3=0^+\end{aligned}$

donc $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3 } \dfrac {2x-1}{ x+3}=-\infty\end{aligned}$ et $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3 } f(x)=-\infty\end{aligned}$