Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Dérivation : rappels, dérivée de uN et des fonctions composées

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Afin d’effectuer une étude complète de fonction en troisième partie de ce cours, nous verrons d’abord quelques rappels sur les calculs de dérivées ainsi que trois nouvelles formules de dérivées spécifiques.

Rappels de 1re sur les calculs de dérivées

Alt texte Formules de dérivées

bannière exemple

Exemple

Dérivons la fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R}^* telle que f(x)=x4+2x+3xf(x)=x^4+2x+\dfrac {3}{x}

Pour tout xRx\in\mathbb{R}^*
f(x)=4x3+23x2f'(x)=4x^3+2-\dfrac {3}{x^2}

  • Autres formules de dérivation :
  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, alors la fonction uvuv est dérivable sur II et (uv)=uv+uv(u v)'=u'v+u v' ;
  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, avec v(x)0v(x)\neq0 pour tout xIx\in I, alors :
  • la fonction 1v\dfrac {1}{v} est dérivable sur II et (1v)=vv2(\dfrac {1}{v})' = -\dfrac {v'}{v^2} ;
  • la fonction uv\dfrac {u}{v} est dérivable sur II et (uv)=uvuvv2(\dfrac {u}{v})' = \dfrac {u'v-uv'}{v^2}.
bannière exemple

Exemple

Soit gg la fonction définie sur R+\mathbb{R}^+par g(x)=(2x+5)xg(x)=(2x+5)\sqrt x

La fonction g(x)g(x) est le produit de deux fonctions 2x+52x+5 et x\sqrt x

  • Posons : u(x)=2x+5u(x)=2u(x)=2x+5 \to u'(x) =2 et v(x)=xv(x)=12xv(x)=\sqrt x\to v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}
  • Utilisons la formule de la dérivée d’un produit : (uv)=uv+uv(u v)'=u'v+u v'

g(x)=2×x+(2x+5)×12x=2x+2x+52x\begin{aligned}g'(x)&=2\times \sqrt x +(2x+5)\times \dfrac {1}{2\sqrt x} \ &=2\sqrt x + \dfrac {2x+5}{2\sqrt x}\end{aligned}

  • Pour simplifier cette expression, nous mettons tout au même dénominateur :

g(x)=2x×2x2x+2x+52x=4x+2x+52x=6x+52x\begin{aligned}g'(x)&= \dfrac { 2\sqrt x \times 2\sqrt x }{2\sqrt x} + \dfrac {2x+5}{2\sqrt x}\ &= \dfrac {4x+2x+5}{2\sqrt x}\ & = \dfrac {6x+5}{2\sqrt x}\end{aligned}

bannière definition

Définition

Équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction :

ff est une fonction dérivable en aa de II.

La tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point AA d’abscisse aa est la droite d’équation : y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

f(a)f'(a) est le coefficient directeur de cette tangente.

Trois nouvelles formules de dérivées

Fonctions de la forme unu^n

bannière definition

Définition

Dérivée de la fonction unu^n :

Soit nn un entier naturel non nul.

Si uu est une fonction dérivable sur un intervalle II et si, lorsque nn est strictement négatif, uu ne s’annule pas sur II alors la fonction unu^n est dérivable sur II et (un)=nuun1(u^n)'=nu'u^{n-1}

bannière exemple

Exemple

Dérivons la fontion définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=(3x2+4)3f(x) =(-3x^2+4)^3.

  • On reconnaît la forme unu^n avec u(x)=3x2+4u(x)=-3x^2+4 et n=3n=3
  • On dérive la fonction uu pour pouvoir appliquer la formule (un)=nuun1(u^n)'=nu'u^{n-1}

On obtient : u(x)=6xu'(x)=-6x;

  • Enfin, f(x)=3×(6x)×(3x2+4)31=18x(3x2+4)2f'(x)=3\times(-6x) \times (-3x^2+4)^{3-1}=-18x{(-3x^2+4)}^2.

/b.

bannière definition

Définition

Dérivée de la fonction u\sqrt u :

Si uu est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle II alors la fonction u\sqrt u est dérivable sur II et (u)=u2u(\sqrt u)'=\dfrac {u'}{2\sqrt u}

bannière exemple

Exemple

Dérivons la fontion f(x)=4+x2f(x)= \sqrt{4+x^2} .

ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} car 4+x2>04+x^2>0 sur R\mathbb{R}.

  • On reconnaît la forme u\sqrt u avec u(x)=4+x2u(x)= 4+x^2;
  • On calcule la dérivée de uu pour pouvoir appliquer la formule (u)=u2u(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}

On obtient : u(x)=2xu'(x)=2x

  • Enfin, f(x)=2x24+x2=x4+x2f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt {4+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt {4+x^2}}

Fonctions composées

bannière definition

Définition

Dérivée de la fonction composée :

Les deux formes de fonctions précédentes sont des cas particuliers de la dérivée d’une fonction composée de forme générale xf(u(x))x \to f(u(x)).

La fonction xf(u(x))x \to f(u(x)) a pour dérivée la fonction xu(x)×f(u(x))x \to u'(x) \times f'(u(x)).

Application de la dérivation : exemple d’étude de fonction

bannière astuce

Astuce

Les étapes d’une étude de fonction :

  • chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé ;
  • calculer la dérivée ;
  • étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
  • calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variation.
bannière exemple

Exemple

Soit la fonction ff définie par : f(x)=(2x1x+3)3f(x) = (\dfrac {2x-1}{x+3})^3

  • Cherchons l’ensemble de définition de ff:
bannière attention

Attention

Il s’agit d’une fonction rationnelle, le dénominateur ne doit pas s’annuler.

La valeur interdite est x=3x=-3 car le dénominateur s’annule pour x=3x=-3

L’ensemble de définition de la fonction est donc : Df=];3[U]3;+[D_f=]-\infty;-3[\:U\: ]-3;+\infty[

  • Calculons la dérivée de f:f :

La fonction ff est de la forme unu^n avec u(x)=2x1x+3u(x)=\dfrac{2x-1}{x+3} et n=3n=3

La fonction uu est de la forme vw\dfrac {v}{w} avec v(x)=2x1v(x) = 2x-1 et w(x)=x+3w(x) = x+3

  • Calculons d’abord la dérivée de uu :

Pour cela calculons les dérivées de vv et ww : v(x)=2v'(x) = 2 et w(x)=1w'(x)=1 (ces deux dérivées peuvent être directement écrites dans le calcul de u(x)u'(x) qui suit).

u(x)=vwvww2=2(x+3)(2x1)1(x+3)2=2x+62x+1(x+3)2=7(x+3)2\begin{aligned}u'(x)&=\dfrac {v'w-vw'}{w^2} \ &=\dfrac {2(x+3)-(2x-1)1}{(x+3)^2} \ &=\dfrac {2x+6-2x+1}{(x+3)^2} \ &=\dfrac {7}{(x+3)^2}\end{aligned}

  • Calculons à présent la dérivée de f:f :

f(x)=n×u(x)×[u(x)]n1=3×7(x+3)2×(2x1x+3)2=21(2x1)2(x+3)4\begin{aligned} f'(x)& =n \times u'(x) \times [u(x)]^{n-1} \ &= 3\times \dfrac {7}{(x+3)^2} \times (\dfrac {2x-1}{x+3})^2 \ &=\dfrac {21(2x-1)^2}{(x+3)^4}\end{aligned}

  • Étude du signe de ff' et des variations de f:f :

Ensuite faire un tableau de signe de la dérivée pour en déduire le tableau de variation de la fonction.
Dans cet exemple, 21(2x1)221(2x-1)^2 s’annule pour x=12x=\dfrac 12 et reste strictement positif sinon.
De même (x+3)4>0(x + 3)^4 > 0 pour tout xx de l’ensemble de définition.
La dérivée est donc supérieure ou égale à 00 sur les deux intervalles de son ensemble de définition. Tu peux alors construire le tableau suivant :

bannière attention

Attention

Ne pas oublier la « double barre » correspondant à la valeur interdite.

bannière rappel

Rappel

Lorsque la dérivée de ff est positive, la fonction ff est croissante. Lorsque la dérivée de ff est négative, la fonction ff est décroissante.

  • Calculons les limites aux bornes de l’ensemble de définition :
  • En :-\infty :

lim{x}f(x)=lim{x}[x(21x)x(1+3x)]3=lim{x}[21x1+3x]3=23=8\lim\limits{x \to -\infty } f(x)=\lim\limits{x \to -\infty } [\dfrac {x(2-\dfrac {1}{x})}{x(1+\dfrac {3}{x})}]^3=\lim\limits_{x \to -\infty } [\dfrac {2-\dfrac {1}{x}}{1+\dfrac {3}{x}}]^3=2^3=8

  • En +:+\infty :

De la même façon, lim{x+}f(x)=8\lim\limits_{x \to +\infty } f(x)=8

  • Limite à gauche au point 33 :

lim{x3x<3}2x1=7\begin{aligned}\lim\limits{x \to -3 \atop x < -3 } 2x-1=-7\end{aligned} et lim{x3x<3}x+3=0\begin{aligned}\lim\limits{x \to -3 \atop x < -3 } x+3=0^-\end{aligned}

donc $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x < -3 } \dfrac {2x-1}{ x+3}=+\infty\end{aligned}$ et $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x < -3 } f(x)=+\infty\end{aligned}$

  • Limite à droite au point $3 :$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3 } 2x-1=-7\end{aligned}$ et $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3 } x+3=0^+\end{aligned}$

donc $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3 } \dfrac {2x-1}{ x+3}=-\infty\end{aligned}$ et $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -3 \atop x>-3 } f(x)=-\infty\end{aligned}$