Dérivation : rappels, dérivée de u à la puissance n et des fonctions composées

Rappels sur les formules de dérivées de 1^re :

• Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $I$, alors la fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et $(uv)'=u'v+uv'$
• Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, avec $v(x)\neq0$ pour tout $x$ de $I$ alors :
• La fonction $\dfrac{1}{v}$ est dérivable sur $I$ et $\big(\dfrac{1}{v}\big)'$ est dérivable sur $I$ et : $$(\dfrac {1}{v})'=-\dfrac {v'}{v^2}$$
• La fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $$\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac {u'v-uv'}{v^2}$$
• La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est la droite d'équation : $$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Les nouvelles formules de dérivées de Terminale

Fonction de la forme $u^n$

• Soit $n$ un entier naturel non nul.

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et si lorsque $n$ est strictement négatif, $u$ ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $u^n$ est dérivable sur $I$ et :

$$(u^n)'=nu'u^{n-1}$$

Fonction de la forme $\sqrt{u}$

• Si $u$ une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et :

$$(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$$

Fonction composée

• La fonction $x\rightarrow f\big(u(x)\big)$ a pour dérivée $x\rightarrow u'(x)\times f'\big(u(x)\big)$

Application de la dérivation

Les étapes d’une étude de fonction :

• chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé ;
• calculer la dérivée ;
• étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
• calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variation.