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Dérivation : rappels, dérivée de u à la puissance n et des fonctions composées

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Rappels sur les formules de dérivées de 1re :

f(x)f(x) f(x)f'(x) ff est dérivable sur :
ax+bax+b aa R\mathbb{R}
xnx^n (avec nNn \in \mathbb{N}*) f(x)=nxn1f'(x)=nx^{n-1} R\mathbb{R}
1x\dfrac{1}{x} 1x2-\dfrac{1}{x^2} R\mathbb{R}^ *
x\sqrt{x} 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}} ]0;+[]0 ;+\infty[
  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur II, alors la fonction uvuv est dérivable sur II et (uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'
  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, avec v(x)0v(x)\neq0 pour tout xx de II alors :
  • La fonction 1v\dfrac{1}{v} est dérivable sur II et (1v)\big(\dfrac{1}{v}\big)' est dérivable sur II et : (1v)=vv2(\dfrac {1}{v})'=-\dfrac {v'}{v^2}
  • La fonction uv\dfrac{u}{v} est dérivable sur II et : (uv)=uvuvv2\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac {u'v-uv'}{v^2}
  • La tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point AA d'abscisse aa est la droite d'équation : y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

Les nouvelles formules de dérivées de Terminale

Fonction de la forme unu^n

  • Soit nn un entier naturel non nul.

Si uu est une fonction dérivable sur un intervalle II, et si lorsque nn est strictement négatif, uu ne s'annule pas sur II, alors la fonction unu^n est dérivable sur II et :

(un)=nuun1(u^n)'=nu'u^{n-1}

/b.

  • Si uu une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle II, alors la fonction u\sqrt{u} est dérivable sur II et :

(u)=u2u(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Fonction composée

  • La fonction xf(u(x))x\rightarrow f\big(u(x)\big) a pour dérivée xu(x)×f(u(x))x\rightarrow u'(x)\times f'\big(u(x)\big)

Application de la dérivation

Les étapes d’une étude de fonction :

  • chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé ;
  • calculer la dérivée ;
  • étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
  • calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variation.