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Comprendre et utiliser la notion de fonction

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons aborder la notion de fonction, élément clé des mathématiques.

Nous commencerons par en donner la définition, le vocabulaire et les notations spécifiques. Nous introduirons ensuite la notion d’image et d’antécédent que nous apprendrons à déterminer en fonction des trois différentes façons de définir d’une fonction. Enfin, nous verrons comment construire une représentation graphique d’une fonction.

Notion de fonction

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Définition

Fonction :

Une fonction est un processus (une machine) qui à un nombre associe un unique nombre.

Si on appelle ff la fonction et xx le nombre de départ, alors :

  • xx est la variable ;
  • f(x)f(x) est le nombre associé à xx par la fonction ff. Il se lit « ff de xx ».

On écrit f:xf(x)f : x \rightarrow f(x) et on lit « ff est la fonction qui à xx associe ff de xx ».

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Exemple

La fonction ff qui à un nombre associe son double augmenté de 33 s’écrit : f:x2x+3f : x \rightarrow 2x+3

On a : f(x)=2x+3f(x)=2x+3

Pour x=6x=6 :
f(x)=f(6)=2×6+3=15f(x)=f(6)=2 \times 6+3=15

  • Donc au nombre 66, la fonction ff associe le nombre 1515.

Notion d’image et d’antécédent

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Définition

Image :

L’image du nombre xx par la fonction ff est le nombre yy tel que y=f(x)y=f(x)

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Définition

Antécédent :

Un antécédent du nombre yy par la fonction ff est un nombre xx tel que f(x)=yf(x)=y

Comprendre et utiliser la notion de fonction mathématiques troisième

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Exemple

Par la fonction ff :

  • le nombre 66 a pour image le nombre 1515 ;
  • le nombre 1515 a pour antécédent le nombre 66.
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Attention

L’image d’un nombre est unique.
L’antécédent d’un nombre, lui, peut ne pas être unique.

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Exemple

Soit la fonction gg qui à un nombre associe son carré diminué de 11.
La fonction gg s’écrit : g:xx21g :x \rightarrow x^2-1

Pour x=3x=3 : g(x)=g(3)=321=8g(x)=g(3)=3^2-1=8

  • Le nombre 33 a pour image le nombre 88.

Pour x=3x=-3 : g(x)=g(3)=(3)21=8g(x)=g(-3)=(-3)^2-1=8

  • Le nombre 3-3 a pour image le nombre 88.

Le nombre 88 a donc deux antécédents : les nombres 33 et 3-3.

Définition d’une fonction et détermination d’images et d’antécédents

Fonction définie par une formule

On veut calculer la surface d’un rectangle sachant qu’un côté doit mesurer 6 meˋtres6\text{ mètres} moins la longueur de l’autre côté.

Soit xx la longueur d’un côté en mètres. L’autre côté doit mesurer 6x meˋtres6-x\text{ mètres}.
Soit SS la surface du rectangle en m2\text{m}^2, on a : S=x×(6x)=6xx2S= x \times (6-x)=6x-x^2

La formule h(x)=6xx2h(x)=6x-x^2 définit la fonction hh qui associe au nombre xx (correspondant à la longueur d’un côté du rectangle en mètres) le nombre h(x)h(x) (représentant sa surface SS en m2\text{m}^2).

Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’une formule, il suffit de remplacer xx par la valeur du nombre dans la formule.

  • Ici, l’image de 11 est h(1)=6×112=5h(1) = 6\times 1 - 1^2 = 5

Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’une formule, il faut remplacer h(x)h(x) par la valeur du nombre dans la formule puis trouver une valeur de xx qui la vérifie.

  • Ici, un antécédent de 88 est tel qu’il vérifie l’équation 8=6xx28=6x-x^2
    Or 6×222=124=86 \times 2-2^2=12-4=8
    Donc 22 est un antécédent de 88.

Fonction définie par un tableau

xx 3-3 2-2 1-1 00 11 22 33
f(x)f(x) 3-3 1-1 11 33 55 77 99

Ce tableau définit la fonction ff qui à chaque nombre xx de la première ligne associe le nombre f(x)f(x) de la seconde ligne.

Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la première ligne du tableau et de lire son image sur la seconde ligne.

  • Ici, l’image de 22 est 77.

Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la deuxième ligne du tableau et de lire son antécédent sur la première ligne.

  • Ici, un antécédent de 11 est 1-1.

Fonction définie par un graphique

Comprendre et utiliser la notion de fonction mathématiques troisième

La courbe CkCk est constituée de tous les points de coordonnées (x ;k(x))(x\ ; k(x)).
Ce graphique définit la fonction kk qui à chaque valeur de xx associe le nombre y=k(x)y = k(x).

Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’un graphique, il suffit de repérer sur la courbe le point ayant ce nombre pour abscisse et de lire son ordonnée.

  • Ici, l’image de 2-2 est 1,7-1,7.

Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’un graphique, il faut repérer sur la courbe le (ou les) point(s) ayant ce nombre pour ordonnée et de lire son (ou leurs) abscisse(s).

  • Ici, des antécédents de 33 sont 0,70,7 et 2,42,4.
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Astuce

La représentation graphique permet de visualiser rapidement le « comportement » d’une fonction, notamment de repérer les valeurs maximum ou minimum, pour quelles valeurs de variable elles sont obtenues, etc.

Si la fonction à étudier est définie par une formule ou un tableau de valeurs, il peut être utile d’en déterminer une représentation graphique.

Représentation graphique d’une fonction

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Définition

Représentation graphique d’une fonction :

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction ff est l’ensemble des points MM de coordonnées (x ;f(x))(x\ ; f(x)).

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À retenir

xx se lit sur l’axe des abscisses.
y=f(x)y=f(x) se lit sur l’axe des ordonnées.

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Exemple

Reprenons la fonction hh définie par la formule h(x)=6xx2h(x)=6x-x^2 et construisons sa représentation graphique.

La variable xx représentant une longueur, elle ne peut pas prendre de valeurs négatives.
6x6-x étant la longueur de l’autre côté du rectangle, xx ne peut pas non plus être supérieur à 66.

Nous étudierons donc la valeur de h(x)h(x) pour des valeurs de xx comprises entre 00 et 66.

Voici un tableau de valeurs de la fonction hh pour les valeurs entières de la variable xx.

Comprendre et utiliser la notion de fonction mathématiques troisième

On peut maintenant construire le graphique des points de coordonnées (x ;h(x))(x\ ; h(x)).

Soient donc les points :

  • A(0 ;0)A(0\ ; 0)
  • B(1 ;5)B(1\ ; 5)
  • C(2 ;8)C(2\ ; 8)
  • D(3 ;9)D(3\ ; 9)
  • E(4 ;8)E(4\ ; 8)
  • F(5 ;5)F(5\ ; 5)
  • G(6 ;0)G(6\ ; 0)

On positionne ces points dans un repère adapté dans lequel on aura en abscisse les valeurs de xx et en ordonnée les valeurs de h(x)h(x).

On obtient le graphique ci-dessous :

Comprendre et utiliser la notion de fonction mathématiques troisième

En reliant tous les points, on obtient une courbe constituée de tous les points de coordonnées (x ;h(x))(x\ ; h(x)).

Comprendre et utiliser la notion de fonction mathématiques troisième

On a ainsi construit la courbe ChCh, représentation graphique de la fonction h(x)=6xx2h(x)=6x-x^2 pour des valeurs de xx comprises entre 00 et 66.