Cours : Comprendre et utiliser la notion de fonction

Comprendre et utiliser la notion de fonction

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons aborder la notion de fonction, élément clé des mathématiques, indispensable dans beaucoup de domaines : physique, biologie, géologie, médecine, économie, etc.

Nous commencerons par en donner la définition, le vocabulaire et les notations spécifiques. Nous découvrirons ainsi les notions d’antécédent et d’image d’un nombre par une fonction, et verrons comment les déterminer. Nous verrons aussi comment représenter graphiquement une fonction et comment exploiter une telle représentation.

Notion de fonction

Définition d’une fonction par une expression algébrique

Définition

Fonction :

Une fonction, souvent notée $f$, est un processus (une machine) qui, à un nombre $x$ donné au départ, associe un unique nombre, appelé image de $x$ par la fonction $f$ et noté $f(x)$ (on lit « $f$ de $x$ »).

$La fonction f associe à x une unique image notée f(x)$ La fonction f associe à x une unique image notée f(x)

Prenons l’exemple d’une fonction $f$ qui, au nombre donné au départ, associe son quintuple (on multiplie le nombre de départ par $\textcolor{#DF7401} 5$). Et donnons quelques images de nombres par cette fonction $f$.

L’image de $\textcolor{#DF01D7} {-3}$ par la fonction $f$ est $\textcolor{#1BAF79} {-15}$, puisque $\textcolor{#DF01D7} {-3}\times \textcolor{#DF7401} 5=\textcolor{#1BAF79} {-15}$.
On note : $\textcolor{#DF01D7} {-3}\mapsto \textcolor{#1BAF79} {-15}$ u $f(\textcolor{#DF01D7} {-3})= \textcolor{#1BAF79} {-15}$.
L’image de $\textcolor{#DF01D7} {0}$ par la fonction $f$ est $\textcolor{#1BAF79} {0}$, puisque $\textcolor{#DF01D7} {0}\times \textcolor{#DF7401} 5=\textcolor{#1BAF79} {0}$.
On note : $\textcolor{#DF01D7} {0}\mapsto \textcolor{#1BAF79} {0}$ ou $f(\textcolor{#DF01D7} {0})= \textcolor{#1BAF79} {0}$.
L’image de $\textcolor{#DF01D7} {1}$ par la fonction $f$ est $\textcolor{#1BAF79} {5}$, puisque $\textcolor{#DF01D7} {1}\times \textcolor{#DF7401} 5=\textcolor{#1BAF79} {5}$.
On note : $\textcolor{#DF01D7} {1}\mapsto \textcolor{#1BAF79} {5}$ ou $f(\textcolor{#DF01D7} {1})= \textcolor{#1BAF79} {5}$.
L’image de $\textcolor{#DF01D7} {8}$ par la fonction $f$ est $\textcolor{#1BAF79} {40}$, puisque $\textcolor{#DF01D7} {8}\times \textcolor{#DF7401} 5=\textcolor{#1BAF79} {40}$.
On note : $\textcolor{#DF01D7} {8}\mapsto \textcolor{#1BAF79} {40}$ ou $f(\textcolor{#DF01D7} {8})= \textcolor{#1BAF79} {40}$.

Ainsi, de manière générale, à tout nombre $\textcolor{#DF01D7}x$, la fonction associe le nombre $\textcolor{#1BAF79}{5x}$.
On note :

$$\textcolor{#DF01D7} {x}\mapsto \textcolor{#1BAF79} {5x}\quad \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou\ }}\quad f(\textcolor{#DF01D7} {x})= \textcolor{#1BAF79} {5x}$$

À retenir

La fonction $f$ qui, à $x$, associe $f(x)$ peut être notée :

$$f:x\mapsto f(x)$$

Le nombre $f(x)$ dépend de la valeur de $x$. Autrement dit, $f(x)$ varie en fonction de $x$.

$x$ est appelé variable.

Reprenons la fonction $f$ précédente, qui associe à un nombre son quintuple.
Cette fonction $f$ se note donc :

$$f:x\mapsto 5x$$

On dit aussi que la fonction $f$ est définie par $f(x)=5x$.

Cette expression littérale est appelée expression algébrique de la fonction $f$.

Attention

Il ne faut pas confondre $f$ et $f(x)$ :

$f$ est une fonction ;
$f(x)$ est un nombre, l’image de $x$ par la fonction $f$.

Prenons un autre exemple, pour bien comprendre.

Exemple

On considère la fonction $g$, qui, à un nombre $x$, associe son carré $x^2$.

On peut alors noter la fonction : $g:x\mapsto x^2$.
On peut aussi dire que la fonction $g$ est définie par $g(x)=x^2$.

Ainsi, pour déterminer l’image d’un nombre par la fonction $g$, on remplace, dans l’expression algébrique, $x$ par ce nombre.

On a, par exemple :

$$\begin{aligned} g(\textcolor{#DF01D7}{-7})&=(\textcolor{#DF01D7}{-7})^2= \textcolor{#1BAF79}{49} \\ g(\textcolor{#DF01D7}{2})&=\textcolor{#DF01D7}{2}^2= \textcolor{#1BAF79}{4} \\ g(\textcolor{#DF01D7}{11})&=\textcolor{#DF01D7}{11}^2= \textcolor{#1BAF79}{121} \end{aligned}$$

Antécédent et image d’un nombre

Définition

Antécédent d’un nombre :

On considère une fonction $f$, et un nombre $\textcolor{#DF01D7}x$ dont l’image par $f$ est le nombre $\textcolor{#1BAF79}y$.
$\textcolor{#DF01D7}x$ est appelé antécédent de $\textcolor{#1BAF79}y$ par la fonction $f$.

$Antécédent et image par une fonction$ Antécédent et image par une fonction

Attention

Par une fonction :

un nombre a une unique image ;
mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents !

Exemple

On considère la fonction $f:x\mapsto 5x$.

$f(\textcolor{#DF01D7}{-12})=5\times (\textcolor{#DF01D7}{-12})=\textcolor{#1BAF79}{-60}$ :
$\textcolor{#1BAF79}{-60}$ est l’image de $\textcolor{#DF01D7}{-12}$ par la fonction $f$ ;
$\textcolor{#DF01D7}{-12}$ est un antécédent de $\textcolor{#1BAF79}{-60}$ par la fonction $f$.
$f(\textcolor{#DF01D7}{12})=5\times \textcolor{#DF01D7}{12}=\textcolor{#1BAF79}{60}$ :
$\textcolor{#1BAF79}{60}$ est l’image de $\textcolor{#DF01D7}{12}$ par la fonction $f$ ;
$\textcolor{#DF01D7}{12}$ est un antécédent de $\textcolor{#1BAF79}{60}$ par la fonction $f$.

On considère maintenant la fonction $g:x\mapsto x^2$.

$g(\textcolor{#DF01D7}{-9})=(\textcolor{#DF01D7}{-9})^2=\textcolor{#1BAF79}{81}$ :
$\textcolor{#1BAF79}{81}$ est l’image de $\textcolor{#DF01D7}{-9}$ par la fonction $g$ ;
$\textcolor{#DF01D7}{-9}$ est un antécédent de $\textcolor{#1BAF79}{81}$ par la fonction $g$.
$g(\textcolor{#DF01D7}{9})=\textcolor{#DF01D7}{9}^2=\textcolor{#1BAF79}{81}$ :
$\textcolor{#1BAF79}{81}$ est l’image de $\textcolor{#DF01D7}{9}$ par la fonction $g$ ;
$\textcolor{#DF01D7}{9}$ est un antécédent de $\textcolor{#1BAF79}{81}$ par la fonction $g$.

On voit ainsi que $81$ a pour antécédents, par la fonction $g$, deux nombres différents : $-9$ et $9$.

Déterminer algébriquement le(s) antécédent(s) d’un nombre

À retenir

Pour déterminer le ou les antécédents d’un nombre $a$ par une fonction $f$, on peut utiliser l’expression algébrique qui définit la fonction $f$.

Il s’agit alors de résoudre l’équation $f(x)=a$.

Exemple

On considère toujours les fonctions :

$f$, définie par $f(x)=5x$ ;
$g$, définie par $g(x)=x^2$.

Quels sont le ou les antécédents de $64$ par les fonctions $f$ et $g$ ?

Par la fonction $f:x\mapsto 5x$

Un antécédent de $64$ est un nombre qui a pour image $64$ par la fonction $f$.
On cherche donc $x$ tel que $f(x)=64$, autrement dit, tel que :

$$5x=64$$

Il s’agit alors de résoudre cette équation :

$$\begin{aligned} 5x&=64 \\ \dfrac{5x}5&=\dfrac{64}5 \\ x&=12,8 \end{aligned}$$

On vérifie le résultat, en calculant l’image de $12,8$ par $f$ :

$$f(12,8)=5\times 12,8=64$$

On trouve bien $64$.

$12,8$ est donc un antécédent de $64$ par la fonction $f$.

Remarque :
On sait que $12,8$ est la seule solution de l’équation $5x=64$. Donc $12,8$ est le seul antécédent de $64$ par la fonction $f$.

Par la fonction $g:x\mapsto x^2$

Ici, on cherche donc $x$ tel que $g(x)=64$, c’est-à-dire tel que :

$$x^2=64$$

En reconnaissant en $64$ le carré (parfait) de $8$, on trouve comme solutions :

$$\begin{aligned} \sqrt{64}&=8 \\ -\sqrt{64}&=-8 \end{aligned}$$

On vérifie les résultats, en calculant les images de $-8$ et $8$ par la fonction $g$ :

$$\begin{aligned} g(-8)&=(-8)^2=64 \\ g(8)&=8^2=64 \end{aligned}$$

On trouve bien $64$ dans les deux cas.

$-8$ et $8$ sont des antécédents de $64$ par la fonction $g$.

Remarque :
On sait que $-8$ et $8$ sont les seules solutions de l’équation $x^2=64$. Donc $-8$ et $8$ sont les seuls antécédents de $64$ par la fonction $g$.

Tableau de valeurs

Pour décrire une fonction, on peut rassembler les antécédents et images dans un tableau :

sur la première ligne du tableau, on écrit les antécédents, classés par ordre croissant ;
sur la deuxième ligne, on écrit les images correspondantes par la fonction.
Ce tableau est appelé tableau de valeurs.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=5x$.
On donne dans le tableau de valeurs ci-dessous quelques antécédents et leurs images respectives (on reprend les valeurs déterminées dans les parties précédentes) :

$x$	$-12$	$-3$	$0$	$1$	$8$	$12$	$12,8$
$f(x)$	$-60$	$-15$	$0$	$5$	$40$	$60$	$64$

De la même façon, pour la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2$ :

$x$	$-9$	$-8$	$-7$	$2$	$8$	$9$	$11$
$g(x)$	$81$	$64$	$49$	$4$	$64$	$81$	$121$

À retenir

Un tableau de valeurs permet de trouver très facilement l’image ou un antécédent par une fonction d’un nombre, car ils se lisent directement dans le tableau.

Exemple

On trouve ainsi très facilement, par exemple, l’image de $\textcolor{#DF01D7}{-3}$ ou de $\textcolor{#DF01D7}{12,8}$ par la fonction $f$ :

$x$	$-12$	$\textcolor{#DF01D7}{-3}$	$0$	$1$	$8$	$12$	$\textcolor{#DF01D7}{12,8}$
$f(x)$	$-60$	$\textcolor{#1BAF79}{-15}$	$0$	$5$	$40$	$60$	$\textcolor{#1BAF79}{64}$

Par la fonction $f$ :

l’image de $\textcolor{#DF01D7}{-3}$ est $\textcolor{#1BAF79}{-15}$ ;
l’image de $\textcolor{#DF01D7}{12,8}$ est $\textcolor{#1BAF79}{64}$.

Le tableau de valeurs de la fonction $g$ permet aussi de trouver très vite, par exemple, deux antécédents de $\textcolor{#1BAF79}{64}$ :

$x$	$-9$	$\textcolor{#DF01D7}{-8}$	$-7$	$2$	$\textcolor{#DF01D7}8$	$9$	$11$
$g(x)$	$81$	$\textcolor{#1BAF79}{64}$	$49$	$4$	$\textcolor{#1BAF79}{64}$	$81$	$121$

D’après le tableau, par la fonction $g$, $\textcolor{#1BAF79}{64}$ a pour antécédents $\textcolor{#DF01D7}{-8}$ et $\textcolor{#DF01D7}8$.

Le désavantage principal d’un tableau de valeurs est qu’il n’y a qu’un nombre limité d’antécédents et d’images correspondantes.
En outre, déterminer un ou plusieurs antécédents d’un nombre à l’aide d’un tableau de valeurs ne permet pas de savoir s’il y en a d’autres ou non, contrairement à la méthode algébrique que nous avons vue plus haut.

Dans la pratique, un tableau de valeurs va nous aider à représenter graphiquement une fonction, comme nous allons le voir dans la partie suivante.

Représentation graphique d’une fonction

Représenter graphiquement une fonction

Définition

Représentation graphique d’une fonction :

Dans un repère du plan, la représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $\big(x\ ;\, f(x)\big)$.

On appelle cette représentation graphique courbe représentative de la fonction, qu’on note souvent $\mathscr C_f$.

Astuce

Sur la représentation graphique d’une fonction :

on lit les antécédents sur l’axe des abscisses ;
on lit les images sur l’axe des ordonnées.

À retenir

Pour représenter graphiquement une fonction $f$ :

on calcule les images par $f$ d’un certain nombre de valeurs ;
on donne les résultats dans un tableau de valeurs ;
on place les points correspondants aux valeurs du tableau, en lisant, pour chaque point :
l’abscisse sur la première ligne,
l’ordonnée correspondante sur la seconde ligne ;
on trace ensuite la courbe passant par tous ces points.

Astuce

Plus on aura de valeurs dans notre tableau, plus on aura de points à placer, plus le tracé sera précis.

Exemple

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(x+2)(1-x)$, que l’on veut représenter graphiquement dans un repère.

On calcule l’image de quelques valeurs de $x$ par la fonction $f$, par exemple de :

$x$

$-2,5$

$-2$

$-1,5$

$-1$

$-0,5$

$0$

$0,5$

$1$

$1,5$

Pour calculer ces images, comme on l’a dit dans la première partie, on remplace dans l’expression algébrique qui définit la fonction ($f(\textcolor{#DF01D7} x)= (\textcolor{#DF01D7} x+2)(1-\textcolor{#DF01D7} x)$) par la valeur qui nous intéresse.
On indique les résultats dans un tableau de valeurs, qui nous donnera ainsi les coordonnées des points à placer :

$x$	$-2,5$	$-2$	$-1,5$	$-1$	$-0,5$	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$
$f(x)$	$-1,75$	$0$	$1,25$	$2$	$2,25$	$2$	$1,25$	$0$	$-1,75$
Point	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$	$H$	$I$

On place maintenant les points dans le repère. Pour cela, on se sert du tableau de valeurs pour avoir les coordonnées. Par exemple :

le point $A$ a pour coordonnées $(\textcolor{#DF01D7}{-2,5}\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{-1,75})$ ;
le point $G$ a pour coordonnées $(\textcolor{#DF01D7}{0,5}\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{1,25})$.

$Représentation graphique de la fonction f (étape 1)$ Représentation graphique de la fonction f (étape 1)

On joint ensuite les points, sans utiliser la règle, pour former la courbe représentative $\mathscr C_f$ :

$Représentation graphique de la fonction f (étape 2)$ Représentation graphique de la fonction f (étape 2)

Déterminer graphiquement l’image ou un antécédent d’un nombre

À retenir

Méthode : Comment déterminer graphiquement l’image d’un nombre

On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique dans un repère est donnée.
On cherche à déterminer l’image d’un nombre $a$.

Sur l’axe des abscisses, on place le point d’abscisse $a$.
On trace la droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ce point.
On lit l’ordonnée du point d’intersection de cette droite avec la courbe.
La valeur de cette ordonnée est l’image de $a$.

À retenir

Méthode : Comment déterminer graphiquement un antécédent

On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique dans un repère est donnée.
On cherche à déterminer un (ou plusieurs) antécédent(s) d’un nombre $b$.

Sur l’axe des ordonnées, on place le point d’ordonnée $b$.
On trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point.
Cette droite coupe la courbe représentative de la fonction en un ou plusieurs points.
Les abscisses de ces points d’intersection sont des antécédents de $b$ par la fonction $f$.

Attention

La précision des résultats trouvés graphiquement dépendra de la précision que permet la représentation graphique donnée.

Souvent, on ne pourra donner que des valeurs approchées.

Exemple

On considère la fonction $g$ dont on donne ci-dessous la représentation graphique dans un repère orthogonal :

$Courbe représentative de la fonction g$ Courbe représentative de la fonction g

On cherche à déterminer graphiquement :

l’image de $\textcolor{#7F00FF}{0,5}$ par la fonction $g$
un antécédent, ou des antécédents le cas échéant, de $\textcolor{#CC0000}{-2}$.

On place donc sur l’axe des abscisses le point d’abscisse $\textcolor{#7F00FF}{0,5}$, et on trace la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par ce point.

L’ordonnée de son point d’intersection avec la courbe donne l’image de $\textcolor{#7F00FF}{0,5}$ par $g$.

On place ensuite sur l’axe des ordonnées le point d’ordonnée $\textcolor{#CC0000}{-2}$, et on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par ce point.

L’abscisse de chaque point d’intersection avec la courbe donne un antécédent de $\textcolor{#CC0000}{-2}$.

$Déterminer graphiquement l’image d’un nombre et des antécédents$ Déterminer graphiquement l’image d’un nombre et des antécédents

Par lecture graphique :

l’image de $\textcolor{#7F00FF}{0,5}$ est $\textcolor{#7F00FF}{1,25}$ ;
des antécédents de $\textcolor{#CC0000}{-2}$ sont environ $\textcolor{#CC0000}{-0,8}$ ; $\textcolor{#CC0000}{1,7}$ ; $\textcolor{#CC0000}{2,6}$.

Astuce

Allons un peu plus loin.
La fonction $g$ représentée ci-dessus est en réalité définie par :

$$g(x)=x^3-3,5x^2+x+1,5$$

Et on considère l’équation :

$$x^3-3,5x^2+x+1,5=0$$

En l’état, on ne sait pas (encore) la résoudre algébriquement. On peut toutefois en déterminer graphiquement trois solutions, en se servant de la représentation donnée ci-dessus.

En effet, résoudre $x^3-3,5x^2+x+1,5=0$ revient à résoudre $g(x)=0$. C’est-à-dire à trouver les antécédents de $0$. Ou encore à donner les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de $g$ et de l’axe des abscisses.

La représentation graphique nous permet d’en déterminer trois : $-0,5$ ; $1$ ; $3$.

Conclusion :

Nous avons découvert de manière plus formelle les fonctions. Il est essentiel de bien les comprendre, de savoir les définir, les représenter et les exploiter. En effet, elles servent à modéliser de très nombreux phénomènes au quotidien, en économie, par exemple, pour calculer un bénéfice.
Elles sont ainsi au cœur d’un domaine très important des mathématiques, l’analyse, qui s’intéresse à l’étude des fonctions et qui aura une grande place dans votre formation, au lycée notamment.

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