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Comprendre et utiliser la notion de fonction
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons aborder la notion de fonction, élément clé des mathématiques.
Nous commencerons par en donner la définition, le vocabulaire et les notations spécifiques. Nous introduirons ensuite la notion d’image et d’antécédent que nous apprendrons à déterminer en fonction des trois différentes façons de définir d’une fonction. Enfin, nous verrons comment construire une représentation graphique d’une fonction.
Notion de fonction
Fonction :
Une fonction est un processus (une machine) qui à un nombre associe un unique nombre.
Si on appelle la fonction et le nombre de départ, alors :
On écrit et on lit « est la fonction qui à associe de ».
La fonction qui à un nombre associe son double augmenté de s’écrit :
On a :
Pour :
Notion d’image et d’antécédent
Image :
L’image du nombre par la fonction est le nombre tel que
Antécédent :
Un antécédent du nombre par la fonction est un nombre tel que
Par la fonction :
L’image d’un nombre est unique.
L’antécédent d’un nombre, lui, peut ne pas être unique.
Soit la fonction qui à un nombre associe son carré diminué de .
La fonction s’écrit :
Pour :
Pour :
Le nombre a donc deux antécédents : les nombres et .
Définition d’une fonction et détermination d’images et d’antécédents
Fonction définie par une formule
On veut calculer la surface d’un rectangle sachant qu’un côté doit mesurer moins la longueur de l’autre côté.
Soit la longueur d’un côté en mètres. L’autre côté doit mesurer .
Soit la surface du rectangle en , on a :
La formule définit la fonction qui associe au nombre (correspondant à la longueur d’un côté du rectangle en mètres) le nombre (représentant sa surface en ).
Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’une formule, il suffit de remplacer par la valeur du nombre dans la formule.
Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’une formule, il faut remplacer par la valeur du nombre dans la formule puis trouver une valeur de qui la vérifie.
Fonction définie par un tableau
Ce tableau définit la fonction qui à chaque nombre de la première ligne associe le nombre de la seconde ligne.
Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la première ligne du tableau et de lire son image sur la seconde ligne.
Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la deuxième ligne du tableau et de lire son antécédent sur la première ligne.
Fonction définie par un graphique
La courbe est constituée de tous les points de coordonnées .
Ce graphique définit la fonction qui à chaque valeur de associe le nombre .
Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’un graphique, il suffit de repérer sur la courbe le point ayant ce nombre pour abscisse et de lire son ordonnée.
Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’un graphique, il faut repérer sur la courbe le (ou les) point(s) ayant ce nombre pour ordonnée et de lire son (ou leurs) abscisse(s).
La représentation graphique permet de visualiser rapidement le « comportement » d’une fonction, notamment de repérer les valeurs maximum ou minimum, pour quelles valeurs de variable elles sont obtenues, etc.
Si la fonction à étudier est définie par une formule ou un tableau de valeurs, il peut être utile d’en déterminer une représentation graphique.
Représentation graphique d’une fonction
Représentation graphique d’une fonction :
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées .
se lit sur l’axe des abscisses.
se lit sur l’axe des ordonnées.
Reprenons la fonction définie par la formule et construisons sa représentation graphique.
La variable représentant une longueur, elle ne peut pas prendre de valeurs négatives.
étant la longueur de l’autre côté du rectangle, ne peut pas non plus être supérieur à .
Nous étudierons donc la valeur de pour des valeurs de comprises entre et .
Voici un tableau de valeurs de la fonction pour les valeurs entières de la variable .
On peut maintenant construire le graphique des points de coordonnées .
Soient donc les points :
On positionne ces points dans un repère adapté dans lequel on aura en abscisse les valeurs de et en ordonnée les valeurs de .
On obtient le graphique ci-dessous :
En reliant tous les points, on obtient une courbe constituée de tous les points de coordonnées .
On a ainsi construit la courbe , représentation graphique de la fonction pour des valeurs de comprises entre et .