Comprendre et utiliser la notion de fonction

Notion de fonction

• Une fonction est un processus (une machine) qui à un nombre associe un unique nombre.
• Si on appelle $f$ la fonction et $x$ le nombre de départ, alors :
• $x$ est la variable ;
• $f(x)$ est le nombre associé à $x$ par la fonction $f$. Il se lit « $f$ de $x$ ».
• On écrit $f : x \rightarrow f(x)$ et on lit « $f$ est la fonction qui à $x$ associe $f$ de $x$ ».

Notion d’image et d’antécédent

• L’image du nombre $x$ par la fonction $f$ est le nombre $y$ tel que $y=f(x)$
• Un antécédent du nombre $y$ par la fonction $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=y$
• L’image d’un nombre est unique.
• L’antécédent d’un nombre, lui, peut ne pas être unique.

Définition d’une fonction et détermination d’images et d’antécédents

• Fonction définie par une formule
• Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’une formule, il suffit de remplacer $x$ par la valeur du nombre dans la formule.
• Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’une formule, il faut remplacer $f(x)$ par la valeur du nombre dans la formule puis trouver une valeur de $x$ qui la vérifie.
• Fonction définie par un tableau
• Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la première ligne du tableau ($x$) et de lire son image sur la seconde ligne ($f(x)$).
• Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la deuxième ligne du tableau ($f(x)$) et de lire son antécédent sur la première ligne ($x$).
• Fonction définie par un graphique
• Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’un graphique, il suffit de repérer sur la courbe le point ayant ce nombre pour abscisse et de lire son ordonnée.
• Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’un graphique, il faut repérer sur la courbe le (ou les) point(s) ayant ce nombre pour ordonnée et de lire son (ou leurs) abscisse(s).
• La représentation graphique permet de visualiser rapidement le « comportement » d’une fonction, notamment de repérer les valeurs maximum ou minimum, pour quelles valeurs de variable elles sont obtenues, etc.

Représentation graphique d’une fonction

• Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x\ ; f(x))$.
• $x$ se lit sur l’axe des abscisses.
• $y=f(x)$ se lit sur l’axe des ordonnées.