Comprendre et utiliser la notion de fonction

Notion de fonction

Définition d’une fonction par une expression algébrique

Une fonction est un processus (une machine) qui à un nombre associe un unique nombre. Si on appelle $f$ la fonction et $x$ le nombre de départ, alors :

• $x$ est la variable ;
• $f(x)$ est le nombre associé à $x$ par la fonction $f$. Il se lit « $f$ de $x$ ».
• On écrit $f : x \mapsto f(x)$ et on lit « $f$ est la fonction qui à $x$ associe $f$ de $x$ ».

Antécédent et image d’un nombre

On considère une fonction $f$, et un nombre $\textcolor{#DF01D7}x$ dont l’image par $f$ est le nombre $\textcolor{#1BAF79}y$.
$\textcolor{#DF01D7}x$ est appelé antécédent de $\textcolor{#1BAF79}y$ par la fonction $f$.

Par une fonction :

• un nombre a une unique image ;
• mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents !

Tableau de valeurs

Pour décrire une fonction, on peut rassembler les antécédents et images dans un tableau de valeurs :

• sur la première ligne du tableau, on écrit les antécédents, classés par ordre croissant ;
• sur la deuxième ligne, on écrit les images correspondantes par la fonction.

Représentation graphique d’une fonction

Représenter graphiquement une fonction

Dans un repère du plan, la représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $\big(x\ ;\, f(x)\big)$ :

• $x$ se lit sur l’axe des abscisses.
• $y=f(x)$ se lit sur l’axe des ordonnées.

Sur la représentation graphique d’une fonction :

• on lit les antécédents sur l’axe des abscisses ;
• on lit les images sur l’axe des ordonnées.

Pour représenter graphiquement une fonction $f$ :

• on calcule les images par $f$ d’un certain nombre de valeurs ;
• on donne les résultats dans un tableau de valeurs ;
• on place les points correspondants aux valeurs du tableau, en lisant, pour chaque point :
• l’abscisse sur la première ligne,
• l’ordonnée correspondante sur la seconde ligne ;
• on trace ensuite la courbe passant par tous ces points.

Déterminer graphiquement l’image ou un antécédent d’un nombre

Déterminer graphiquement l’image d’un nombre :

On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique dans un repère est donnée.
On cherche à déterminer l’image d’un nombre $a$.

• Sur l’axe des abscisses, on place le point d’abscisse $a$.
• On trace la droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ce point.
• On lit l’ordonnée du point d’intersection de cette droite avec la courbe.
• La valeur de cette ordonnée est l’image de $a$.

Déterminer graphiquement un antécédent :

On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique dans un repère est donnée.
On cherche à déterminer un (ou plusieurs) antécédent(s) d’un nombre $b$.

• Sur l’axe des ordonnées, on place le point d’ordonnée $b$.
• On trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point.
• Cette droite coupe la courbe représentative de la fonction en un ou plusieurs points.
• Les abscisses de ces points d’intersection sont des antécédents de $b$ par la fonction $f$.