Exercices Congruence dans ℤ

Soit $n$ un entier naturel. On s’intéresse au reste $r$ de la division euclidienne de $2^n$ par $3$.

• Déterminer le reste $r$ de la division euclidienne de $2^n$ par $3$ pour $n=0$, pour $n=1$, pour $n=2$, et pour $n=3$.
• Conjecturer la valeur du reste $r$ de la division euclidienne de $2^n$ par $3$ en fonction de la valeur de l’entier $n$.

$b$ est un entier relatif. On donne $1247\equiv b [23] $

Quelle est la valeur de $b$ strictement inférieure à $23$ ?

On considère $n\in \mathbb{N}^{\star}$ et $p\in \mathbb{N}^{\star}$

Remarque : $\mathbb{N}^{\star}$ est l’ensemble des entiers naturels strictement supérieurs à 0.

Le but de cet exercice est de montrer que les nombres $n^p$ et $n^{p+4}$ ont le même chiffre des unités.

Commencer par démontrer que $n(n^4-1)$ est un multiple de $5$.