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Congruence dans ℤ
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Introduction :
La notion de congruence fait souvent peur aux étudiants mais elle est indispensable en spécialité maths du bac S. Nous verrons dans un premier temps les définitions indispensables à sa compréhension. Ensuite, nous verrons le lien avec la division euclidienne. Les propriétés nous amèneront à une application : l’écriture des nombres en base .
Définitions
Congruence :
désigne un entier naturel non nul, et sont des entiers relatifs.
On dit que et sont congrus modulo lorsque la différence est un multiple de .
Notations : ou ou encore
Quelques raccourcis à connaître :
Lien entre congruence et division euclidienne
Maintenant que nous savons ce qu’est la congruence, voyons le lien avec la division euclidienne vue dans le cours précédent.
Tout nombre est congru modulo au reste de sa division euclidienne par .
Si on fait la division euclidienne de par , on sait qu’il existe appartenant à l’ensemble des entiers relatifs et appartenant à l’ensemble des entiers naturels tels que avec .
On a alors . Donc est un multiple de et ainsi a est congru à modulo .
Par conséquent, il advient la propriété suivante :
Avec la division euclidienne de par , on obtient : donc est congru à modulo
Avec la division euclidienne de par , on obtient : donc est congru à modulo
Propriétés
Si on a et alors
Ce n’est pas valable avec la division ! Par exemple mais
donc , c’est à dire .
Si on a alors
Application : écriture des nombres en base
En mathématiques, l’écriture des nombres se fait en base 10. Cette base est celle utilisée dans notre société. Mais il existe d’autres bases d’écriture de nombres.
Voyons en détail l’écriture en base 10, aussi appelé le système décimal.
Dans ce système, on utilise 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
On fait un regroupement par 10 : c’est-à-dire qu’on forme une dizaine avec 10 unités, une centaine avec 10 dizaines, etc.
De la même manière, on peut faire des groupements par 5 ; ce qui donne un système en base 5 où on utilise 5 chiffres : 0, 1, 2, 3 et 4.
en base 5 correspond à :
Ce qui donne en base 10.
Soit élément de :
Avec et pour tout de , .
L’écriture en base de est :
Écrire en base 10.
Écrire en base 8.
On peut utiliser la division euclidienne :
donc 6 éléments isolés ;
donc 2 groupements du 1er ordre isolés ;
donc 0 groupement du 2e ordre isolé ;
donc 1 groupement du 3e ordre.
La condition d’arrêt est que le quotient soit nul.