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Géométrie dans l'espace : sphères et boules

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Introduction :

Un repère est un élément de référence qui permet de situer un point, un objet, à l'aide de coordonnée(s) dans ce repère.

Nous avons déjà abordé le repérage sur une droite graduée et le repérage dans un plan. Mais comment se repérer dans l'espace ? Le premier système de repérage qui nous vient à l'esprit est celui utilisé en géographie pour donner la position d'un point sur la surface de la Terre. En géométrie, le repérage d'un point se fait à l'aide d'un repère dont les axes et l'origine peuvent être définis par un pavé droit.

Parce que la surface de la Terre est assimilée à une sphère, nous démarrerons ce cours par l'étude des sphères et des boules. Nous passerons ensuite à l'étude des deux systèmes de repérages dans l'espace qui font l'objet de ce cours : le repérage sur la Terre et le repérage dans un pavé droit.

Sphères et boules

Définitions

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Définition

Sphère :

Soient OO un point de l'espace et RR un nombre positif, la sphère de centre OO et de rayon RR est l'ensemble des points MM de l'espace tels que OM=ROM = R.

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Définition

Grand cercle d'une sphère :

Soient OO un point de l'espace et RR un nombre positif, un grand cercle de la sphère de centre OO et de rayon RR est un cercle de centre OO et de rayon RR.

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Définition

Boule :

Soient OO un point de l'espace et RR un nombre positif, la boule de centre OO et de rayon RR est l'ensemble des points MM de l'espace tels que OMROM \leq R.

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Exemple

boule solide mathématiques quatrième

Sur le solide représenté ci-dessus, où OM=ROM = R et N[OM]N \in [OM] :

  • la sphère est l'ensemble des points MM ;
  • la boule est l'ensemble des points NN (y compris l'ensemble des points MM et le point OO).
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À retenir

  • Une sphère est une surface : elle est « creuse ».
  • La boule est un solide ; elle est pleine et sa surface est une sphère.

Contrairement aux solides que nous connaissions jusque-là (prisme droit, pyramide, cylindre et cône de révolution), la boule n'a pas de patron : il est impossible de représenter à plat la surface d'une boule, c'est-à-dire une sphère.

Aire et volume

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À retenir

L'aire AA d'une sphère de rayon RR est donnée par la formule A=4πR2A = 4\pi R^2.

Le volume VV d'une boule de rayon RR est donné par la formule V=43πR3V = \dfrac{4}{3}\pi R^3.

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Exemple

  • Calculons l'aire et le volume de la Terre, sachant que son rayon RR est égal à 6 378 km6\ 378\text{ km}.

L'aire de la Terre est A=4πR2=4π×6 3782 km2511 185 933 km2A = 4\pi R^2 = 4 \pi \times 6\ 378^2\text{ km}^2\approx 511\ 185\ 933\text{ km}^2

Son volume est V=43πR3=43π×6 3783 km31 086 781 292 543 km3V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 6\ 378^3\text{ km}^3\approx 1\ 086\ 781\ 292\ 543\text{ km}^3

  • On se propose de calculer l'aire, le volume et la masse d'une boule de pétanque sachant qu'elle n'est pas totalement pleine.

Son rayon extérieur est R=3,8 cmR = 3,8\text{ cm} mais l'acier dont elle est constituée ne fait que 0,65 cm0,65\text{ cm} d'épaisseur.
On donne la masse volumique de l'acier égale à 7,8 g/cm37,8\text{ g/cm}^3.

sphère exercice mathématiques quatrième

L'aire de la surface de cette boule est égale à A=4πR2=4π×3,82 cm2181,46 cm2A = 4 \pi R^2 = 4\pi \times 3,8^2\text{ cm}^2 \approx 181,46\text{ cm}^2

Son volume est la différence entre le volume extérieur et le volume intérieur.

Soit rr le rayon intérieur de la boule, on a V=43πR343πr3V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 - \dfrac{4}{3}\pi r^3

Calculons rr :
r=Reˊpaisseur=3,80,65=3,15 cmr = R - \text{épaisseur} = 3,8 - 0,65 = 3,15\text{ cm}

D'où :
V=43π×(3,833,153)98,92 cm3V =\dfrac{4}{3}\pi \times (3,8^3 - 3,15^3) \approx 98,92\text{ cm}^3

La masse mm de cette boule est telle que mV=7,8 g/cm3\dfrac{m}{V}=7,8\text{ g/cm}^3 avec mm en grammes et VV en cm3\text{cm}^3.

D'où m=V×7,8=98,92×7,8771,58 gm = V \times 7,8 = 98,92 \times 7,8 \approx 771,58\text{ g}

Repérage dans l'espace

Se repérer sur la Terre

La Terre possède deux pôles par lesquels passe son axe de rotation. Cet axe passe également par le centre de la Terre. La surface de la Terre est assimilée à une sphère. On pourra donc parler de grand cercle.

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Définition

Équateur :

L'équateur est le grand cercle de la surface de la Terre appartenant au plan perpendiculaire à l'axe des deux pôles.

Pour se repérer sur la surface de la Terre, on a créé des lignes imaginaires appelées parallèles et méridiens.

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Définition

Parallèles :

Les parallèles sont des cercles parallèles à l'équateur. Chaque parallèle est défini par l'angle qu'il forme avec le centre de la Terre et l'équateur.

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Définition

Méridiens :

Les méridiens sont des demi-grands cercles passant par les deux pôles. Chaque méridien est défini par l'angle qu'il forme avec le méridien d'origine (méridien de Greenwich).

méridien parallèle équateur mathématiques quatrième

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À retenir

Chaque point de la surface de la Terre est le point d'intersection d'un parallèle et d'un méridien.

Chaque point MM de la surface de la Terre peut être repéré par deux coordonnées dites géographiques. Ces coordonnées correspondent aux deux angles qui définissent le parallèle et le méridien dont MM est le point d'intersection :

  • la latitude est la mesure de l'angle qui définit le parallèle passant par MM ;
  • la longitude est la mesure de l'angle qui définit le méridien passant par MM.

On note ainsi : MM (latitude ; longitude).

Le centre du repère est le centre de la Terre.

Les latitudes sont comprises entre 00 et 90°90\degree nord ou sud selon si le point MM se situe au nord ou au sud de l'équateur.
Les points situés sur l'équateur ont pour latitude 0°0\degree.

Les longitudes sont comprises entre 00 et 180°180\degree est ou ouest selon si le point MM se situe à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich.
Les points situés sur le méridien de Greenwich ont pour longitude 0°0\degree.

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Exemple

  • La position de New Delhi sur la surface de la Terre est indiquée ci-dessous.

méridien parallèle équateur mathématiques quatrième

Quelles sont ses coordonnées géographiques ?

La mesure de l'angle entre le parallèle passant par New Delhi et l'équateur est de 28°28\degree.
New Delhi se situant au nord de l'équateur, sa latitude est de 28°N28\degree\text N.

La mesure de l'angle entre le méridien passant par New Delhi et le méridien de Greenwich est de 77°77\degree.

New Delhi se situant à l'est du méridien de Greenwich, sa longitude est de 77°E77\degree \text E.

  • Les coordonnées géographiques de New Delhi sont donc (28°;77°E28\degree \text N\ ; 77\degree \text E).
  • On représente parfois la Terre et l'ensemble des parallèles et des méridiens de la façon suivante :

méridien équateur coordonnées mathématiques quatrième

Quelles sont alors les coordonnées des points AA, BB et CC ?

Le point AA se situe au nord de l'équateur et à l'est du méridien de Greenwich.

  • Ses coordonnées sont (15°;30°E15\degree \text N\ ; 30\degree \text E).

Le point BB se situe au nord de l'équateur et à l'ouest du méridien de Greenwich.

  • Ses coordonnées sont (45°;45°O45\degree \text N\ ; 45\degree \text O).

Le point CC se situe au sud de l'équateur et sur le méridien de Greenwich.

  • Ses coordonnées sont (15°;0°15\degree \text S\ ; 0\degree).

Se repérer dans un pavé droit

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Définition

Repère de l'espace :

Un repère de l'espace est constitué de trois axes gradués perpendiculaires entre eux (axes du repère) et de même origine (origine du repère).

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Propriété

Un pavé droit peut définir un repère de l'espace en prenant pour origine du repère un sommet du pavé droit et pour axes du repère les trois arêtes issues de ce sommet.

Tout point MM du pavé droit peut y être repéré par un triplet unique de nombres relatifs (x,y,zx,y,z).

  • L'abscisse xx se lit sur l'axe des abscisses.
  • L'ordonnée yy se lit sur l'axe des ordonnées.
  • L'altitude zz se lit sur l'axe des altitudes.

L'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et l'axe des altitudes sont les trois axes du repère.
L'abscisse, l'ordonnée et l'altitude d'un point sont les trois coordonnées de ce point dans le repère.
On note M(x,y,z)M(x,y,z).

MÉTHODOLOGIE

  • On choisit généralement l'origine du repère sur la base du pavé droit.
  • L'axe des abscisses et l'axe des ordonnées sont généralement portés par les arêtes issues de ce sommet et appartenant au plan de base du pavé droit.
  • L'axe des altitudes est porté par la 3e arête issue du sommet et perpendiculaire au plan de base.
  • Les trois axes sont généralement gradués avec la même unité (repère orthonormé) mais ce n'est pas une obligation.
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Exemple

Considérons le pavé ci-contre et créons un repère de l'espace à partir de ce pavé.

pavé droit mathématiques quatrième

  • Nous choisissons comme origine du repère le point AA (les trois axes gradués à considérer sont donc portés par les arêtes [AE][AE], [AB][AB] et [AD][AD]).
  • On choisit la droite (AE)(AE) comme axe des abscisses et la droite (AB)(AB) comme axe des ordonnées.
  • L'axe des altitudes sera porté par la droite (AD)(AD).
  • L'unité des graduations choisie sur chaque axe est le cm\text{cm}.

Notre repère peut être ainsi représenté :

repère axe ordonnées abscisses altitudes mathématiques quatrième

Dans ce repère, voici les coordonnées des sommets du pavé droit :
A(0 ;0 ;0)A (\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 0) B(0 ;6 ;0)B(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple 0) C(0 ;6 ;3)C(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple 3) D(0 ;0 ;3)D(\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 3)
E(4 ;0 ;0)E(\red 4\ ;\green 0\ ;\purple 0) F(4 ;6 ;0)F(\red 4\ ;\green 6\ ;\purple 0) G(4 ;6 ;3)G(\red 4\ ;\green 6\ ;\purple 3) H(4 ;0 ;3)H(\red 4\ ;\green 0\ ;\purple 3)

Soit le point MM défini comme étant le milieu de [BC][BC] ; ses coordonnées sont M(0 ;6 ;1,5)M(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple {1,5}).

Remarque
Nous aurions pu définir un autre repère du plan à partir de ce pavé droit en choisissant par exemple un autre sommet pour origine du repère.
Nous aurions également pu choisir d'autres graduations en prenant comme unité sur chaque axe la longueur de l'arête. Nous aurions alors obtenu le repère suivant :

repère axe ordonnées abscisses altitudes mathématiques quatrième

Les coordonnées des points auraient alors été les suivantes :
A(0 ;0 ;0)A (\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 0) B(0 ;1 ;0)B(\red 0\ ;\green 1\ ;\purple 0) C(0 ;1 ;1)C(\red 0\ ;\green 1\ ;\purple 1) D(0 ;0 ;1)D(\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 1)
E(1 ;0 ;0)E(\red 1\ ;\green 0\ ;\purple 0) F(1 ;1 ;0)F(\red 1\ ;\green 1\ ;\purple 0) G(1 ;1 ;1)G(\red 1\ ;\green 1\ ;\purple 1) H(1 ;0 ;1)H(\red 1\ ;\green 0\ ;\purple 1)

Et M(0 ;1 ;1,5)M(\red 0\ ;\green 1\ ;\purple {1,5}).

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons appris à nous repérer dans l'espace, plus précisément sur Terre (grâce aux deux coordonnées géographiques que sont la latitude et la longitude) et dans un pavé droit, repère de l'espace qui rappelle le repère du plan avec les abscisses et les ordonnées que nous connaissons déjà, auxquelles nous avons rajouter une troisième dimension, donc une troisième coordonnée : l'altitude.

Nous avons également étudié la sphère (et la boule) ce qui nous a permis de mieux appréhender la Terre et son repère.