Géométrie dans l'espace : sphères et boules
Introduction :
Un repère est un élément de référence qui permet de situer un point, un objet, à l'aide de coordonnée(s) dans ce repère.
Nous avons déjà abordé le repérage sur une droite graduée et le repérage dans un plan. Mais comment se repérer dans l'espace ? Le premier système de repérage qui nous vient à l'esprit est celui utilisé en géographie pour donner la position d'un point sur la surface de la Terre. En géométrie, le repérage d'un point se fait à l'aide d'un repère dont les axes et l'origine peuvent être définis par un pavé droit.
Parce que la surface de la Terre est assimilée à une sphère, nous démarrerons ce cours par l'étude des sphères et des boules. Nous passerons ensuite à l'étude des deux systèmes de repérages dans l'espace qui font l'objet de ce cours : le repérage sur la Terre et le repérage dans un pavé droit.
Sphères et boules
Sphères et boules
Définitions
Définitions
Définition
Sphère :
Soient $O$ un point de l'espace et $R$ un nombre positif, la sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $OM = R$.
Définition
Grand cercle d'une sphère :
Soient $O$ un point de l'espace et $R$ un nombre positif, un grand cercle de la sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $R$.
Définition
Boule :
Soient $O$ un point de l'espace et $R$ un nombre positif, la boule de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $OM \leq R$.
Exemple
Sur le solide représenté ci-dessus, où $OM = R$ et $N \in [OM]$ :
- la sphère est l'ensemble des points $M$ ;
- la boule est l'ensemble des points $N$ (y compris l'ensemble des points $M$ et le point $O$).
À retenir
- Une sphère est une surface : elle est « creuse ».
- La boule est un solide ; elle est pleine et sa surface est une sphère.
Contrairement aux solides que nous connaissions jusque-là (prisme droit, pyramide, cylindre et cône de révolution), la boule n'a pas de patron : il est impossible de représenter à plat la surface d'une boule, c'est-à-dire une sphère.
Aire et volume
Aire et volume
À retenir
L'aire $A$ d'une sphère de rayon $R$ est donnée par la formule $A = 4\pi R^2$.
Le volume $V$ d'une boule de rayon $R$ est donné par la formule $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
Exemple
- Calculons l'aire et le volume de la Terre, sachant que son rayon $R$ est égal à $6\ 378\text{ km}$.
L'aire de la Terre est $A = 4\pi R^2 = 4 \pi \times 6\ 378^2\text{ km}^2\approx 511\ 185\ 933\text{ km}^2$
Son volume est $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 6\ 378^3\text{ km}^3\approx 1\ 086\ 781\ 292\ 543\text{ km}^3$
- On se propose de calculer l'aire, le volume et la masse d'une boule de pétanque sachant qu'elle n'est pas totalement pleine.
Son rayon extérieur est $R = 3,8\text{ cm}$ mais l'acier dont elle est constituée ne fait que $0,65\text{ cm}$ d'épaisseur.
On donne la masse volumique de l'acier égale à $7,8\text{ g/cm}^3$.
L'aire de la surface de cette boule est égale à $A = 4 \pi R^2 = 4\pi \times 3,8^2\text{ cm}^2 \approx 181,46\text{ cm}^2$
Son volume est la différence entre le volume extérieur et le volume intérieur.
Soit $r$ le rayon intérieur de la boule, on a $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 - \dfrac{4}{3}\pi r^3$
Calculons $r$ :
$r = R - \text{épaisseur} = 3,8 - 0,65 = 3,15\text{ cm}$
D'où :
$V =\dfrac{4}{3}\pi \times (3,8^3 - 3,15^3) \approx 98,92\text{ cm}^3$
La masse $m$ de cette boule est telle que $\dfrac{m}{V}=7,8\text{ g/cm}^3$ avec $m$ en grammes et $V$ en $\text{cm}^3$.
D'où $m = V \times 7,8 = 98,92 \times 7,8 \approx 771,58\text{ g}$
Repérage dans l'espace
Repérage dans l'espace
Se repérer sur la Terre
Se repérer sur la Terre
La Terre possède deux pôles par lesquels passe son axe de rotation. Cet axe passe également par le centre de la Terre. La surface de la Terre est assimilée à une sphère. On pourra donc parler de grand cercle.
Définition
Équateur :
L'équateur est le grand cercle de la surface de la Terre appartenant au plan perpendiculaire à l'axe des deux pôles.
Pour se repérer sur la surface de la Terre, on a créé des lignes imaginaires appelées parallèles et méridiens.
Définition
Parallèles :
Les parallèles sont des cercles parallèles à l'équateur. Chaque parallèle est défini par l'angle qu'il forme avec le centre de la Terre et l'équateur.
Définition
Méridiens :
Les méridiens sont des demi-grands cercles passant par les deux pôles. Chaque méridien est défini par l'angle qu'il forme avec le méridien d'origine (méridien de Greenwich).
À retenir
Chaque point de la surface de la Terre est le point d'intersection d'un parallèle et d'un méridien.
Chaque point $M$ de la surface de la Terre peut être repéré par deux coordonnées dites géographiques. Ces coordonnées correspondent aux deux angles qui définissent le parallèle et le méridien dont $M$ est le point d'intersection :
- la latitude est la mesure de l'angle qui définit le parallèle passant par $M$ ;
- la longitude est la mesure de l'angle qui définit le méridien passant par $M$.
On note ainsi : $M$ (latitude ; longitude).
Le centre du repère est le centre de la Terre.
Les latitudes sont comprises entre $0$ et $90\degree$ nord ou sud selon si le point $M$ se situe au nord ou au sud de l'équateur.
Les points situés sur l'équateur ont pour latitude $0\degree$.
Les longitudes sont comprises entre $0$ et $180\degree$ est ou ouest selon si le point $M$ se situe à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich.
Les points situés sur le méridien de Greenwich ont pour longitude $0\degree$.
Exemple
- La position de New Delhi sur la surface de la Terre est indiquée ci-dessous.
Quelles sont ses coordonnées géographiques ?
La mesure de l'angle entre le parallèle passant par New Delhi et l'équateur est de $28\degree$.
New Delhi se situant au nord de l'équateur, sa latitude est de $28\degree\text N$.
La mesure de l'angle entre le méridien passant par New Delhi et le méridien de Greenwich est de $77\degree$.
New Delhi se situant à l'est du méridien de Greenwich, sa longitude est de $77\degree \text E$.
- Les coordonnées géographiques de New Delhi sont donc ($28\degree \text N\ ; 77\degree \text E$).
- On représente parfois la Terre et l'ensemble des parallèles et des méridiens de la façon suivante :
Quelles sont alors les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ ?
Le point $A$ se situe au nord de l'équateur et à l'est du méridien de Greenwich.
- Ses coordonnées sont ($15\degree \text N\ ; 30\degree \text E$).
Le point $B$ se situe au nord de l'équateur et à l'ouest du méridien de Greenwich.
- Ses coordonnées sont ($45\degree \text N\ ; 45\degree \text O$).
Le point $C$ se situe au sud de l'équateur et sur le méridien de Greenwich.
- Ses coordonnées sont ($15\degree \text S\ ; 0\degree$).
Se repérer dans un pavé droit
Se repérer dans un pavé droit
Nous avons, dans les classes précédentes, appris à nous repérer sur un axe gradué.
- Pour repérer un point sur cette droite, on donne alors son abscisse.
Nous avons aussi appris à nous repérer dans le plan (c’est-à-dire en « deux dimensions ») en utilisant un repère formé par deux axes gradués, qui se coupent en un point, appelé origine du repère.
- Un point est alors repéré par son abscisse et son ordonnée, que l’on peut noter $(x\ ;\, y)$.
Pour nous repérer dans l’espace (c’est-à-dire en « trois dimensions »), nous allons aussi utiliser un repère, cette fois avec, logiquement, trois axes gradués.
- Pour cela, nous allons nous servir d’un pavé droit.
Définition
Repère sur un pavé droit :
Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) permet de munir l’espace d’un repère, formé par :
- un sommet du pavé droit ;
- et trois axes gradués portés par les arêtes issues de ce sommet.
Le sommet choisi est appelé origine du repère.
Les trois axes sont nommés :
- axe des abscisses ;
- axe des ordonnées ;
- axe des altitudes.
- Ils sont, dans ce cas, perpendiculaires entre eux.
Propriété
À tout point $M$ de l’espace correspond alors un unique triplet de nombres relatifs $(x\ ;\, y\ ;\, z)$, appelés coordonnées du point :
- $x$ est l’abscisse de $M$ et se lit sur l’axe des abscisses ;
- $y$ est l’ordonnée de $M$ et se lit sur l’axe des ordonnées ;
- $z$ est l’altitude de $M$ et se lit sur l’axe des altitudes.
- Grâce à ces coordonnées, qui dépendent du repère choisi, on peut ainsi repérer tout point $M$ de l’espace, et on note : $M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)$.
- L’origine du repère a pour coordonnées $(0\ ;\, 0\ ;\, 0)$.
Astuce
On est libre de choisir n’importe quel sommet du pavé droit comme origine. Mais, dans un pavé droit vu « à l’horizontale », comme celui-ci-dessus, on choisira souvent un sommet de la face inférieure.
Quant aux axes, on préférera les choisir tels que l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées forment un repère du plan auquel appartient cette face inférieure.
- L’altitude d’un point correspondra ainsi à sa « hauteur », ce qui est assez naturel dans le vocabulaire courant.
Exemple
Considérons le pavé ci-contre et créons un repère de l'espace à partir de ce pavé.
- Nous choisissons comme origine du repère le point $A$ (les trois axes gradués à considérer sont donc portés par les arêtes $[AE]$, $[AB]$ et $[AD]$).
- On choisit la droite $(AE)$ comme axe des abscisses et la droite $(AB)$ comme axe des ordonnées.
- L'axe des altitudes sera porté par la droite $(AD)$.
- L'unité des graduations choisie sur chaque axe est le $\text{cm}$.
Notre repère peut être ainsi représenté :
Dans ce repère, voici les coordonnées des sommets du pavé droit :
$A (\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 0)$ $B(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple 0)$ $C(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple 3)$ $D(\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 3)$
$E(\red 4\ ;\green 0\ ;\purple 0)$ $F(\red 4\ ;\green 6\ ;\purple 0)$ $G(\red 4\ ;\green 6\ ;\purple 3)$ $H(\red 4\ ;\green 0\ ;\purple 3)$
Soit le point $M$ défini comme étant le milieu de $[BC]$ ; ses coordonnées sont $M(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple {1,5})$.
Remarque
Nous aurions pu définir un autre repère du plan à partir de ce pavé droit en choisissant par exemple un autre sommet pour origine du repère.
Nous aurions également pu choisir d'autres graduations en prenant comme unité sur chaque axe la longueur de l'arête. Nous aurions alors obtenu le repère suivant :
Les coordonnées des points auraient alors été les suivantes :
$A (\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 0)$ $B(\red 0\ ;\green 1\ ;\purple 0)$ $C(\red 0\ ;\green 1\ ;\purple 1)$ $D(\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 1)$
$E(\red 1\ ;\green 0\ ;\purple 0)$ $F(\red 1\ ;\green 1\ ;\purple 0)$ $G(\red 1\ ;\green 1\ ;\purple 1)$ $H(\red 1\ ;\green 0\ ;\purple 1)$
Et $M(\red 0\ ;\green 1\ ;\purple {0,5})$.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à nous repérer dans l'espace, plus précisément sur Terre (grâce aux deux coordonnées géographiques que sont la latitude et la longitude) et dans un pavé droit, repère de l'espace qui rappelle le repère du plan avec les abscisses et les ordonnées que nous connaissons déjà, auxquelles nous avons rajouter une troisième dimension, donc une troisième coordonnée : l'altitude.
Nous avons également étudié la sphère (et la boule) ce qui nous a permis de mieux appréhender la Terre et son repère.