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Introduction :
Un repère est un élément de référence qui permet de situer un point, un objet, à l'aide de coordonnée(s) dans ce repère.
Nous avons déjà abordé le repérage sur une droite graduée et le repérage dans un plan. Mais comment se repérer dans l'espace ? Le premier système de repérage qui nous vient à l'esprit est celui utilisé en géographie pour donner la position d'un point sur la surface de la Terre. En géométrie, le repérage d'un point se fait à l'aide d'un repère dont les axes et l'origine peuvent être définis par un pavé droit.
Parce que la surface de la Terre est assimilée à une sphère, nous démarrerons ce cours par l'étude des sphères et des boules. Nous passerons ensuite à l'étude des deux systèmes de repérages dans l'espace qui font l'objet de ce cours : le repérage sur la Terre et le repérage dans un pavé droit.
Sphères et boules
Définitions
Sphère :
Soient un point de l'espace et un nombre positif, la sphère de centre et de rayon est l'ensemble des points de l'espace tels que .
Grand cercle d'une sphère :
Soient un point de l'espace et un nombre positif, un grand cercle de la sphère de centre et de rayon est un cercle de centre et de rayon .
Boule :
Soient un point de l'espace et un nombre positif, la boule de centre et de rayon est l'ensemble des points de l'espace tels que .
Sur le solide représenté ci-dessus, où et :
Contrairement aux solides que nous connaissions jusque-là (prisme droit, pyramide, cylindre et cône de révolution), la boule n'a pas de patron : il est impossible de représenter à plat la surface d'une boule, c'est-à-dire une sphère.
Aire et volume
L'aire d'une sphère de rayon est donnée par la formule .
Le volume d'une boule de rayon est donné par la formule .
L'aire de la Terre est
Son volume est
Son rayon extérieur est mais l'acier dont elle est constituée ne fait que d'épaisseur.
On donne la masse volumique de l'acier égale à .
L'aire de la surface de cette boule est égale à
Son volume est la différence entre le volume extérieur et le volume intérieur.
Soit le rayon intérieur de la boule, on a
Calculons :
D'où :
La masse de cette boule est telle que avec en grammes et en .
D'où
Repérage dans l'espace
Se repérer sur la Terre
La Terre possède deux pôles par lesquels passe son axe de rotation. Cet axe passe également par le centre de la Terre. La surface de la Terre est assimilée à une sphère. On pourra donc parler de grand cercle.
Équateur :
L'équateur est le grand cercle de la surface de la Terre appartenant au plan perpendiculaire à l'axe des deux pôles.
Pour se repérer sur la surface de la Terre, on a créé des lignes imaginaires appelées parallèles et méridiens.
Parallèles :
Les parallèles sont des cercles parallèles à l'équateur. Chaque parallèle est défini par l'angle qu'il forme avec le centre de la Terre et l'équateur.
Méridiens :
Les méridiens sont des demi-grands cercles passant par les deux pôles. Chaque méridien est défini par l'angle qu'il forme avec le méridien d'origine (méridien de Greenwich).
Chaque point de la surface de la Terre est le point d'intersection d'un parallèle et d'un méridien.
Chaque point de la surface de la Terre peut être repéré par deux coordonnées dites géographiques. Ces coordonnées correspondent aux deux angles qui définissent le parallèle et le méridien dont est le point d'intersection :
On note ainsi : (latitude ; longitude).
Le centre du repère est le centre de la Terre.
Les latitudes sont comprises entre et nord ou sud selon si le point se situe au nord ou au sud de l'équateur.
Les points situés sur l'équateur ont pour latitude .
Les longitudes sont comprises entre et est ou ouest selon si le point se situe à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich.
Les points situés sur le méridien de Greenwich ont pour longitude .
Quelles sont ses coordonnées géographiques ?
La mesure de l'angle entre le parallèle passant par New Delhi et l'équateur est de .
New Delhi se situant au nord de l'équateur, sa latitude est de .
La mesure de l'angle entre le méridien passant par New Delhi et le méridien de Greenwich est de .
New Delhi se situant à l'est du méridien de Greenwich, sa longitude est de .
Quelles sont alors les coordonnées des points , et ?
Le point se situe au nord de l'équateur et à l'est du méridien de Greenwich.
Le point se situe au nord de l'équateur et à l'ouest du méridien de Greenwich.
Le point se situe au sud de l'équateur et sur le méridien de Greenwich.
Se repérer dans un pavé droit
Repère de l'espace :
Un repère de l'espace est constitué de trois axes gradués perpendiculaires entre eux (axes du repère) et de même origine (origine du repère).
Un pavé droit peut définir un repère de l'espace en prenant pour origine du repère un sommet du pavé droit et pour axes du repère les trois arêtes issues de ce sommet.
Tout point du pavé droit peut y être repéré par un triplet unique de nombres relatifs ().
L'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et l'axe des altitudes sont les trois axes du repère.
L'abscisse, l'ordonnée et l'altitude d'un point sont les trois coordonnées de ce point dans le repère.
On note .
MÉTHODOLOGIE
Considérons le pavé ci-contre et créons un repère de l'espace à partir de ce pavé.
Notre repère peut être ainsi représenté :
Dans ce repère, voici les coordonnées des sommets du pavé droit :
Soit le point défini comme étant le milieu de ; ses coordonnées sont .
Remarque
Nous aurions pu définir un autre repère du plan à partir de ce pavé droit en choisissant par exemple un autre sommet pour origine du repère.
Nous aurions également pu choisir d'autres graduations en prenant comme unité sur chaque axe la longueur de l'arête. Nous aurions alors obtenu le repère suivant :
Les coordonnées des points auraient alors été les suivantes :
Et .
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à nous repérer dans l'espace, plus précisément sur Terre (grâce aux deux coordonnées géographiques que sont la latitude et la longitude) et dans un pavé droit, repère de l'espace qui rappelle le repère du plan avec les abscisses et les ordonnées que nous connaissons déjà, auxquelles nous avons rajouter une troisième dimension, donc une troisième coordonnée : l'altitude.
Nous avons également étudié la sphère (et la boule) ce qui nous a permis de mieux appréhender la Terre et son repère.