Fiche de révision : Géométrie dans l'espace : sphères et boules

Sphères et boules

• Une sphère est une surface : elle est « creuse ».
• La boule est un solide ; elle est pleine et sa surface est une sphère.
• Contrairement aux solides que nous connaissions jusque-là (prisme droit, pyramide, cylindre et cône de révolution), la boule n'a pas de patron : il est impossible de représenter à plat la surface d'une boule, c'est-à-dire une sphère.
• L'aire $A$ d'une sphère de rayon $R$ est donnée par la formule $A = 4\pi R^2$.
• Le volume $V$ d'une boule de rayon $R$ est donné par la formule $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Repérage dans l'espace

• La Terre possède deux pôles par lesquels passe son axe de rotation. Cet axe passe également par le centre de la Terre.
• Pour se repérer sur la surface de la Terre, on a créé des lignes imaginaires appelées parallèles et méridiens.

• Chaque point de la surface de la Terre est le point d'intersection d'un parallèle et d'un méridien.
• Chaque point $M$ de la surface de la Terre peut être repéré par deux coordonnées dites géographiques. Ces coordonnées correspondent aux deux angles qui définissent le parallèle et le méridien dont $M$ est le point d'intersection :
• la latitude est la mesure de l'angle qui définit le parallèle passant par $M$ ;
• la longitude est la mesure de l'angle qui définit le méridien passant par $M$.
• On note ainsi : $M$ (latitude ; longitude).
• Le centre du repère est le centre de la Terre.
• Les latitudes sont comprises entre $0$ et $90\degree$ nord ou sud selon si le point $M$ se situe au nord ou au sud de l'équateur.
• Les points situés sur l'équateur ont pour latitude $0\degree$.
• Les longitudes sont comprises entre $0$ et $180\degree$ est ou ouest selon si le point $M$ se situe à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich.
• Les points situés sur le méridien de Greenwich ont pour longitude $0\degree$.
• Un repère de l'espace est constitué de trois axes gradués perpendiculaires entre eux (axes du repère) et de même origine (origine du repère).
• Un pavé droit peut définir un repère de l'espace en prenant pour origine du repère un sommet du pavé droit et pour axes du repère les trois arêtes issues de ce sommet.
• Tout point $M$ du pavé droit peut y être repéré par un triplet unique de nombres relatifs ($x,y,z$).
• L'abscisse $x$ se lit sur l'axe des abscisses.
• L'ordonnée $y$ se lit sur l'axe des ordonnées.
• L'altitude $z$ se lit sur l'axe des altitudes.
• On note $M(x,y,z)$.
• On choisit généralement l'origine du repère sur la base du pavé droit.
• L'axe des abscisses et l'axe des ordonnées sont généralement portés par les arêtes issues de ce sommet et appartenant au plan de base du pavé droit.
• L'axe des altitudes est porté par la 3^e arête issue du sommet et perpendiculaire au plan de base.
• Les trois axes sont généralement gradués avec la même unité (repère orthonormé) mais ce n'est pas une obligation.

• Dans ce repère, voici les coordonnées des sommets du pavé droit :
  $A (\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 0)$ $B(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple 0)$ $C(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple 3)$ $D(\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 3)$
  $E(\red 4\ ;\green 0\ ;\purple 0)$ $F(\red 4\ ;\green 6\ ;\purple 0)$ $G(\red 4\ ;\green 6\ ;\purple 3)$ $H(\red 4\ ;\green 0\ ;\purple 3)$
• Soit le point $M$ défini comme étant le milieu de $[BC]$ ; ses coordonnées sont $M(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple {1,5})$.