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Géométrie dans l'espace : sphères et boules

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Sphères et boules

boule solide mathématiques quatrième

  • Une sphère est une surface : elle est « creuse ».
  • La boule est un solide ; elle est pleine et sa surface est une sphère.
  • Contrairement aux solides que nous connaissions jusque-là (prisme droit, pyramide, cylindre et cône de révolution), la boule n'a pas de patron : il est impossible de représenter à plat la surface d'une boule, c'est-à-dire une sphère.
  • L'aire AA d'une sphère de rayon RR est donnée par la formule A=4πR2A = 4\pi R^2.
  • Le volume VV d'une boule de rayon RR est donné par la formule V=43πR3V = \dfrac{4}{3}\pi R^3.

Repérage dans l'espace

  • La Terre possède deux pôles par lesquels passe son axe de rotation. Cet axe passe également par le centre de la Terre.
  • Pour se repérer sur la surface de la Terre, on a créé des lignes imaginaires appelées parallèles et méridiens.

méridien parallèle équateur mathématiques quatrième

  • Chaque point de la surface de la Terre est le point d'intersection d'un parallèle et d'un méridien.
  • Chaque point MM de la surface de la Terre peut être repéré par deux coordonnées dites géographiques. Ces coordonnées correspondent aux deux angles qui définissent le parallèle et le méridien dont MM est le point d'intersection :
  • la latitude est la mesure de l'angle qui définit le parallèle passant par MM ;
  • la longitude est la mesure de l'angle qui définit le méridien passant par MM.
  • On note ainsi : MM (latitude ; longitude).
  • Le centre du repère est le centre de la Terre.
  • Les latitudes sont comprises entre 00 et 90°90\degree nord ou sud selon si le point MM se situe au nord ou au sud de l'équateur.
  • Les points situés sur l'équateur ont pour latitude 0°0\degree.
  • Les longitudes sont comprises entre 00 et 180°180\degree est ou ouest selon si le point MM se situe à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich.
  • Les points situés sur le méridien de Greenwich ont pour longitude 0°0\degree.
  • Un repère de l'espace est constitué de trois axes gradués perpendiculaires entre eux (axes du repère) et de même origine (origine du repère).
  • Un pavé droit peut définir un repère de l'espace en prenant pour origine du repère un sommet du pavé droit et pour axes du repère les trois arêtes issues de ce sommet.
  • Tout point MM du pavé droit peut y être repéré par un triplet unique de nombres relatifs (x,y,zx,y,z).
  • L'abscisse xx se lit sur l'axe des abscisses.
  • L'ordonnée yy se lit sur l'axe des ordonnées.
  • L'altitude zz se lit sur l'axe des altitudes.
  • On note M(x,y,z)M(x,y,z).
  • On choisit généralement l'origine du repère sur la base du pavé droit.
  • L'axe des abscisses et l'axe des ordonnées sont généralement portés par les arêtes issues de ce sommet et appartenant au plan de base du pavé droit.
  • L'axe des altitudes est porté par la 3e arête issue du sommet et perpendiculaire au plan de base.
  • Les trois axes sont généralement gradués avec la même unité (repère orthonormé) mais ce n'est pas une obligation.

repère axe ordonnées abscisses altitudes mathématiques quatrième

  • Dans ce repère, voici les coordonnées des sommets du pavé droit :
    A(0 ;0 ;0)A (\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 0) B(0 ;6 ;0)B(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple 0) C(0 ;6 ;3)C(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple 3) D(0 ;0 ;3)D(\red 0\ ;\green 0\ ;\purple 3)
    E(4 ;0 ;0)E(\red 4\ ;\green 0\ ;\purple 0) F(4 ;6 ;0)F(\red 4\ ;\green 6\ ;\purple 0) G(4 ;6 ;3)G(\red 4\ ;\green 6\ ;\purple 3) H(4 ;0 ;3)H(\red 4\ ;\green 0\ ;\purple 3)
  • Soit le point MM défini comme étant le milieu de [BC][BC] ; ses coordonnées sont M(0 ;6 ;1,5)M(\red 0\ ;\green 6\ ;\purple {1,5}).